Построение и анализ математической модели с одним входным и одним выходным параметром

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 15 Февраля 2012 в 01:09, курсовая работа

Описание

Коэффициент парной корреляции является мерой тесноты линейной связи между двумя случайными величинами. В общем случае его величина может меняться от 0 до ±1. Если коэффициент корреляции равен 0, связь либо вообще отсутствует, либо отлична от линейной. Если он равен ±1. связь является линейной. В промежуточных случаях между полной корреляцией и отсутствием корреляции коэффициент корреляции выражает ту долю вариации одной из переменных, которая линейно связана с изменением значений другой.

Содержание

1 Исходные данные 4
2 Методика расчета 5
2.1 Выбор типа математической модели методом корреляционного анализа 5
2.2 Расчет коэффициентов математической модели методом наименьших квадратов 9
2.3 Проверка адекватности математической модели по критерию Фишера 11
3 Текст программы расчетов для ЭВМ 13
4 Описание алгоритма решения задачи 19
4.1 Алгоритм программы для выбора типа математической модели методом корреляционного анализа 20
4.2 Алгоритм программы для выбора тип аматематической модели методом наименьших квадратов 21
4.3 Проверка адекватности математической модели по критерию Фишера 22
5 Результаты расчетов 24
Список использованных источников 28

Работа состоит из  1 файл

МатМоделирование Курсовой проект Кулинка.doc

— 299.50 Кб (Скачать документ)

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

Механико-технологический  факультет 

Кафедра «Металлургия литейных сплавов» 

                   Утверждаю

                   Заведующий  кафедрой

                  «Металлургия литейных сплавов»

                   ____________ /Б.М. Немененок/

                «____»_____________ 2011 год 
                 

Курсовая  работа

по дисциплине: Математическое моделирование технологических  процессов 

Тема: «Построение  и анализ математической модели с  одним входным и одним выходным параметром» 
 

Исполнитель:       

студент 4 курса гр. 104138    М.С. Кулинка 

Руководитель:     

к.т.н., доцент                               И.В. Рафальский 

Нормоконтроль:

к.т.н., ассистент            А.А. Пивоварчик 
 
 
 

Минск 2011

 

Содержание 

 
 
 
 
 
 
 

 

  1. Исходные  данные

    В таблице 1 представлены значения входного и  выходных параметров. 

    Таблица 1 – Исходные данные

Номер опыта Значение  входного параметра Х Значение  выходного параметра Y
Номер измерения
1 2 3 4 5
1 0.95 2.74 3.21 3.01 2.81 3.26
2 2.28 4.92 5.37 5.17 4.97 5.42
3 3.38 7.84 8.27 8.07 7.87 8.32
4 4.51 12.54 12.96 12.76 12.56 13.01
5 7.45 41.83 42.24 42.04 41.84 42.29
6 10.52 145.76 146.16 145.96 145.76 146.21

 

  1. Методика  расчета
    1. Выбор типа математической модели методом корреляционного анализа

     Выбор типа моделей методом корреляции может быть использован при любом количестве опытов (более трех) и при любых значениях входного параметра (в пределах Хm1n - Хmax) и основан на расчете коэффициента парной корреляции (R) для всех рассматриваемых типов моделей. Для решения поставленной задачи используем в расчетах семь самых распространенных моделей, представленных в таблице 2. 

     Таблица 2 – Наиболее распространенные типы моделей

      Номер модели Вид модели Функция
      1 линейная Y = B0 +B1X
      2 нелинейная Y = B0+B1/X
      3 нелинейная Y = 1/(B0+B1X)
      4 нелинейная Y = X/(B0+B1X)
      5 нелинейная Y = B0B1X
      6 нелинейная Y = B0XB1
      7 нелинейная Y = B0+B1log(X)
 

     Коэффициент парной корреляции является мерой тесноты  линейной связи между двумя случайными величинами. В общем случае его величина может меняться от 0 до ±1. Если коэффициент корреляции равен 0, связь либо вообще отсутствует, либо отлична от линейной. Если он равен ±1. связь является линейной. В промежуточных случаях между полной корреляцией и отсутствием корреляции коэффициент корреляции выражает ту долю вариации одной из переменных, которая линейно связана с изменением значений другой. Естественно, чем ближе величина коэффициента корреляции к 1, тем линейная связь сильнее, чем ближе к 0, тем линейная связь слабее. Знак коэффициента корреляции указывает на направление связи: увеличение одной из переменных при положительной корреляции влечет за собой увеличение, а при отрицательной корреляции - уменьшение другой.

     После расчета коэффициентов парной корреляции устанавливается их статистическая значимость (точнее, проверяется гипотеза об отличии вычисленного коэффициента от нуля). С этой целью по таблице распределения коэффициентов корреляции находится при выбранном уровне значимости а (вероятности практически невозможных событий, обычно принимаемой 0,001  (что соответствует доверительной вероятности

     Р = 99,9%): 0,01 (Р = 99%): 0,05 (Р = 95%): или 0,10 (Р = 90%) и числе степеней свободы

                 f =N – 2

критическое значение коэффициента корреляции Rкрит.

     Так как в нашем случае из 7 рассматриваемых  моделей 6 являются нелинейными, использовать расчетные значения коэффициента линейной парной корреляции для определения типа математической модели по имеющимся экспериментальным данным можно после преобразования параметров X и Y к линейному типу модели. Тогда значения коэффициента корреляции будут принимать только полюсные (крайние) значения: для искомой модели они будут равны =1 или близки к ней.для других моделей – равны или близки к 0.

     Особенностью  рассматриваемых моделей 2 – 7 является то, что они могут быть сведены  к линейной зависимости с помощью несложных преобразований. Рассмотрим два примера преобразований - для модели б и модели 4.

     Модель 6.

     Прологарифмируем  обе части уравнения нелинейной функции модели 6:

            Y = ВоХB1      (1)

     В результате получим выражение:

               lnY = ln( BoXB1),     (2)

               lnY = lnBo + ln(XB1),    (3)

               lnY = lnВ0+ B1lnX.    (4)

     Преобразуем данную модель(6) к линейной, введя  новые переменные – Y’= lnY и X’ = lnХ, и новые константы - bo = lnBo и b1=B1. Тогда модель примет линейный вид

               Y' = bo +b1X',     (5)

     Где между параметрамиВо, bo, B1 и b1 имеется следующая связь:

B1=b1; B0= 10b0 (из bо=lnВ0) – нахождение коэффициентов.

      Пусть эта модель (6) является искомой для  нашего набора данных (R = 1). Тогда после определения коэффициентов линейная математическая модель для переменных X' и Y' будет иметь вид Y' =0,796 + 0,203X'. Возвращаясь к исходным переменным X и Y, получаем реальный вид модели:

               Y = 5,875X0,203     (6)

     Модель 4.

     Умножим обе части уравнения 7 на выражение 1/(XY).

               Y = Х/(Во+В1Х)     (7)

     В результате получим выражение:

               Y/(XY)=X/((B0+B1X) (XY),   (8)

               1/Х  = l/(Y (B0+B1X)).    (9)

     Преобразуем данную модель к линейной, введя новые переменные – Y’ = 1/Y и X1 = 1, и новые константы - b1 = Во и bo = B1. Тогда модель 4 примет следующий вид:

               X1 = Y’/(b1+ boX)       (10)

               Y' = X'(b1+ boX)      (11)

               Y' = X'b1+ boxX'X     (12)

               Y’ = X'b1+ boX/X     (13)

               Y' = X'b1 +b0.      (14)

       Формулы преобразования для всех  рассматриваемых типов моделей к линейному виду приведены в таблице 3. 
 
 
 

     Таблица 3 – Преобразование параметров моделей 1-7 к линейному виду 

Номер модели Тип модели Параметры функции
X’ Y’ B0 B1
1 Y=B0+B1∙X X Y b0 b1
2 Y=B0+B1/X 1/X Y b0 b1
3 Y=1/(B0+B1∙X) X 1/Y b0 b1
4 Y=X/(B0+B1∙X) 1/X 1/Y b1 b0
5 Y=B0∙B1X X ln(Y) ebo eb1
6 Y=B0∙XB1 ln(X) ln(Y) eb0 b1
7 Y=B0+B1∙ln(X) ln(X) Y b0 b1

     Коэффициент Rj рассчитывается по формуле: 
 

Информация о работе Построение и анализ математической модели с одним входным и одним выходным параметром