Автокорреляция. Возможные причины автокорреляции

 

Содержание

Введение

1. Суть и причины автокорреляции
2. Обнаружение автокорреляции
0.      2.1 Графический метод
0.      2.2 Метод рядов
0.      2.3 Критерий Дарбина-Уотсона
0.      2.4 Тест серий (тест Бреуша-Годфри)
0.      2.5 Q-тест Льюинга - Бокса
3. Последствия автокорреляции
4. Методы устранения
0.      4.1 Определение на основе статистики Дарбина-Уотсона
0.      4.2 Метод Кохрана-Оркатта
0.      4.3 Метод Хилдрета-Лу
0.      4.4 Метод первых разностей

   Заключение

   Список  использованной литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов. Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов. Применение традиционных методов корреляционно-регрессионного анализа для изучения причинно-следственных зависимостей переменных, представленных в форме временных рядов, может привести к ряду серьезных проблем, возникающих как на этапе построения, так и на этапе анализа эконометрических моделей. В первую очередь эти проблемы связаны со спецификой временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании.

Предполагается, что в общем случае каждый уровень временного ряда содержит три основные компоненты: тенденцию (Т), циклические или сезонные колебания (S) и случайную компоненту (E). Если временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к завышению истинных показателей силы и связи изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний в рассматриваемых временных рядах различна. Устранение сезонной компоненты из уровней временных рядов можно проводить в соответствии с методикой построения аддитивной и мультипликативной моделей. Если рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент корреляции по абсолютной величине будет высоким, что в данном случае есть результат того, что х и у зависят от времени, или содержат тенденцию. Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде. Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени, которая получила название «автокорреляция в остатках».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Суть и  причины автокорреляции

Автокорреляция — это взаимосвязь последовательных элементов временного или пространственного ряда данных. В эконометрических исследованиях часто возникают и такие ситуации, когда дисперсия остатков постоянная, но наблюдается их ковариация. Это явление называют автокорреляцией остатков.

Автокорреляция остатков чаще всего наблюдается тогда, когда  эконометрическая модель строится на основе временных рядов. Если существует корреляция между последовательными  значениями некоторой независимой  переменной, то будет наблюдаться и корреляция последовательных значений остатков. Автокорреляция может быть также следствием ошибочной спецификации эконометрической модели. Кроме того, наличие автокорреляции остатков может означать, что необходимо ввести в модель новую независимую переменную.

Автокорреляция в остатках есть нарушение одной из основных предпосылок МНК – предпосылки  о случайности остатков, полученных по уравнению регрессии. Один из возможных  путей решения этой проблемы состоит  в применении к оценке параметров модели обобщенного МНК.

        Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.

Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

Инерция. Многие экономические  показатели (например, инфляция, безработица, ВНП и т.п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансформация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошедшем году вызовет (скорее всего)  ее перепроизводство в текущем году, а следовательно, цена на нее снизится и т.д.

Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может послужить причиной автокорреляции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Обнаружение  автокорреляции

В силу неизвестности  значений параметров уравнения регрессии  неизвестными будут также и истинные значения отклонений ,t=1,2…T. Поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок ,t=1,2…T, полученные из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.

2.1.Графический метод

Существует несколько  вариантов графического определения  автокорреляции. Один из них, указывающий отклонения с моментами t их получении (их порядковыми номерами i), приведен на рис. 2.1.Это так называемые  последовательно-временные графики. В этом случае по оси абсцисс обычно откладывают либо время (момент) получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат- отклонения (либо оценки отклонений )

                                                                      Рис.2.1.

Естественно предположить, что на рис 2.1. а-г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. д скорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.

Например, на рис. 2.1.б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости.

 

2.2. Метод рядов

Этот метод достаточно прост: последовательно определяются знаки отклонений ,t=1,2…T. Например,

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),

Т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная  последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.

Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция .

 

 

2.3 Критерий  Дарбина-Уотсона

Наиболее известным  критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина- Уотсона и расчет величины

(2.3.1)

Согласно (2.3.1) величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Значение критерия Дарбина – Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F-критериев.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как 

 

где

 (2.3.2)

Между критерием Дарбина–Уотсона  и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка имеет  место следующее соотношение:

 

 

 

Таким образом, если в  остатках существует полная положительная  автокорреляция и  = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то = – 1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то = 0 и d = 2. Следовательно, 0 < d < 4.

Алгоритм выявления  автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина–Уотсона следующий. Выдвигается  гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по таблице (приложение А) определяются критические значения критерия Дарбина–Уотсона и для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости a. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1–a) рассматривается на рис. 2.3.

 

Рис. 2.3.1. Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

 

        Если фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0.

 

Пример 2.3.1. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках.

Исходные данные, значения и результаты промежуточных расчетов

представлены в табл. 2.3.1.

 

Таблица 2.3.1. - Расчет критерия Дарбина–Уотсона для модели зависимости потребления от дохода

 

Фактическое значение критерия Дарбина–Уотсона для этой модели составляет d = 4,1233/1,6624 = 2,48. Сформулируем гипотезы:

Н0 – в остатках нет  автокорреляции;

Н1 – в остатках есть положительная автокорреляция;

Н1* – в остатках есть отрицательная автокорреляция.

Зададим уровень значимости a = 0,05. По таблицам значений критерия Дарбина–Уотсона определим для числа наблюдений n = 7 и числа независимых переменных модели k' = 1 критические dL = 0,700 и dU = 1,356. Получим следующие промежутки внутри интервала [0;4]

 

Рис. 2.3.2. Промежутки внутри интервала [0; 4]

Фактическое значение d = 2,48 попадает в промежуток от до 4 – . Следовательно, нет оснований отклонять гипотезу H0 об отсутствии автокорреляции в остатках.

Пример 2.3.2. В таблице 2.3.2. приведены  данные, отражающие спрос на некоторый  товар за восьмилетний период, т.е. временной ряд спроса

 

Таблица 2.3.2.

Выявить на уровне значимости 0,05 наличие  автокорреляции в остатках для временного ряда.

 

         Получили  уравнение тренда:

         В таблице  2.3.3 приведены необходимые вычисления

         Таблица  2.3.3

          По формуле  вычислили 

          По таблице критических точек  при n=15 , , т.е. фактически найденное d=2.34 находится в пределах от до 4- (1.36<d<2.64). При n<15 критических значений d-статистики в таблице нет, но судя по тенденции их изменений с уменьшением n, можно предполагать, что найденное значение останется в интервале ( ,4- ), т.е. для рассматриваемого временного ряда спроса на уровне значимости 0,005 гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков не отвергается .

 

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина–Уотсона. Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии. Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина – Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы. В-третьих, критерий Дарбина–Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.

 

 

 

 

2.4. Тест серий  (Бреуша-Годфри)

Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними наблюдениями, то естественно ожидать, что в уравнении

, t =1,…,n    (2.4.1)

(где  -остатки регрессии, полученные обычным методом наименьших квадратов), коэффициент окажется значимо отличающимся от нуля.

Практическое применение теста  заключается в оценивании методом  наименьших квадратов регрессии (2.4.1)

Преимущество теста  Бреуша–Годфри по сравнению с  тестом Дарбина-Уотсона содержит зону неопределенности для значений статистики d. Другим преимуществом теста является возможность обобщения: в число регрессоров могут быть включены не только остатки с лагом 1, но и с лагом 2,3 и т.д., что позволяет выявить корреляцию не только между соседними, но и между более отдаленными наблюдениями.

Рассмотрим в качестве примера (2.4) временной ряд - ряд последовательных значений курса ценной бумаги А, наблюдаемых в моменты времени 1,…,100. Результаты наблюдений графически изображены на рисунке 2.4.