Санкт-Петербургский  Университет Аэрокосмического Приборостроения

 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

Функции косвенной полезности и расходов потребителя: определение  и свойства 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург

2012 год

Оглавление 

Поведение потребителя

      Модель  поведения потребителя описывает осуществляемый им на рынке выбор набора благ. Принимая решение о покупке конкретного набора благ , потребитель (экономический агент) исходит из:

1. представленной неоклассической функцией системы собственных (индивидуальных) предпочтений;
2. системы цен на рассматриваемые в модели (включенные в набор) благ ;
3. величины дохода М, которым он располагает в момент выбора.

   Экономико-математическая модель, описывающая потребительский  выбор (поведение потребителя), представляет собой  экстремальную задачу следующего вида:

                           (1)

Оптимальное решение задачи (1) при заданных значениях  цен  и дохода М – вектор представляет индивидуальный спрос потребителя. Последний очевидным образом определяется ценами приобретаемых благ и величиной наличного дохода, выступающими в качестве параметров (экзогенных переменных) оптимизационной задачи (1). Соответственно, мы можем говорить о функции индивидуального спроса, как зависимости, которая системе цен на блага и величине дохода M ставит в соответствие наиболее предпочтительный для потребителя (т.е. обеспечивающий максимальный из достижимых уровней полезности) набор благ .

      Предположение о неоклассических свойствах  функции полезности гарантирует наличие следующих свойств у функции индивидуального спроса :

1. Стоимость оптимального набора благ равна величине имеющегося у потребителя дохода, т.е. .
2. Нулевой однородности по ценам и доходу, т.е. для любого положительного числа имеет место равенство .
3. В точке потребительского выбора предельная норма замены благ совпадает с экономической нормой замены, которая представляет собой задаваемую ценами альтернативную стоимость блага i, выраженную в единицах блага j, т.е. .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Функция косвенной полезности

      Введенное выше определение функции индивидуального  спроса позволяет нам сконструировать еще одну функциональную зависимость, которая оказывается полезной в экономическом анализе поведения потребителя. Это так называемая функция косвенной полезности (indirect utility function), переменными которой, как и в случае функции индивидуального спроса, выступают цены благ и доход потребителя (M), а зависимой переменной (скалярной!!!) является максимальный уровень полезности, доступный потребителю при данных значениях цен и дохода. Формально функция косвенной полезности определяется как значение целевой функции экстремальной задачи (1) в точке оптимального решения¹, т.е. , где есть множество доступных потребителю по стоимости наборов благ.

      Как следует их определения функции  косвенной полезности, она характеризует  уровень полезности, потенциально доступный потребителю с его индивидуальными предпочтениями, представленными функцией полезности , при заданной системе цен и доходе М. Функция , характеризуя полезность потребителя, оправдывает использование термина косвенной полезности по двум причинам:

• Во-первых, в отличие от обычной функции полезности , которая имеет своим значением полезность произвольного набора благ , характеризует наибольший уровень полезности, достижимый для потребителя при заданных значениях цен благ и дохода. Однако данный максимальный уровень полезности достижим только потенциально и поэтому характеризует получаемую потребителем полезность косвенно (потребитель может выбрать из числа доступных ему наборов неоптимальный).
• Во-вторых, аргументами функции косвенной полезности выступают отнюдь не объемы присутствующих в наборе благ, а цены на них и величина имеющегося у потребителя дохода. В силу этого обстоятельства можно трактовать как полезность (потенциальную, поскольку речь идет о достижимом максимуме) дохода M для потребителя при системе цен .

   При фиксированном значении дохода представление  функции косвенной полезности точно также, как и в случае функции полезности , возможно через линии уровня (кривые безразличия). Кривая безразличия функции косвенной полезности описывает для фиксированного уровня дохода M множество векторов/систем цен , при которых для потребителя достижим заданный полезности u. В связи с этим ее называют кривой безразличия систем цен (price indifference curves). Формальное определение кривой безразличия систем цен выглядит следующим образом: . Соответственно, для кривой безразличия систем цен определяются два множества: верхний и нижний контуры. По своему определению верхний контур представляет собой множество всех систем/векторов цен, при которых потенциально достижимый потребителем уровень полезности не ниже u. Соответственно, нижний контур есть множество всех систем/векторов цен, при которых потенциально достижимый потребителем уровень полезности не превышает u. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Свойства  функции косвенной  полезности

      Очевидно, что свойства определенной выше функции  косвенной полезности должны быть тесно  связаны со свойствами порождающих ее функций, а именно: полезности и индивидуального спроса . Нетрудно показать, что функция косвенной полезности обладает следующими свойствами:

1. Неубывания по доходу потребителя и невозрастания по ценам благ, т.е. при любых значениях цен и дохода выполнены следующие соотношения: если , то ; и, если , то .
2. Нулевой однородности по ценам и доходу, т.е. для любого положительного числа справедливо равенство.
3. Квазивыпуклости²  по ценам , т.е. при любых значениях множества выпукло.
4. Непрерывности по переменным при , .

Доказательство:

1.   Возрастание по доходу следует  из того, что для любых двух  значений дохода  и таких, что , имеем . Невозрастание по ценам благ вытекает из того, что для любых двух векторов цен и , различающихся только по компоненте i таким образом, что , имеем .

2.   Очевидно в силу того, что пропорциональное  изменение цен и дохода не  приводит к изменению бюджетного  множества  .

3.   Рассмотрим  и такие, что , и их выпуклую комбинацию . Покажем, что , что будет равносильно тому, что для всех x, таких что . Соответствующие каждой системе цен бюджетные множества выглядят следующим образом:

.

      Покажем, что любой набор  принадлежит либо множеству B, либо множеству , либо их пересечению. Иными словами, требуется доказать, что .

      Предположим, что это не так, то есть существуют наборы x такие, что , но при этом и . Последние два неравенства можно записать в эквивалентной форме: и . Суммируя эти неравенства, получим , что противоречит исходному предположению.

      Теперь  осталось показать, что  . По определению . Поскольку , то . В свою очередь так, как и , откуда и следует требуемое неравенство .

4.   Следует из свойства (3).

      Отличие карты кривых безразличия функции  полезности от карты кривых безразличия функции косвенной полезности состоит в том, что если в первой более удаленные от начала координат кривые соответствуют большим значениям полезности, то во второй  в силу свойства невозрастания по ценам (свойство 1) ситуация прямо противоположная – более удаленная от начала координат кривая имеет более низкий уровень полезности. Тем самым имеет место следующее включение нижних контуров функции косвенной полезности: (см. рис.1).

      Рис. 1 Кривые цен  безразличия

В силу того, что функция косвенной полезности при фиксированных ценах благ является неубывающей по доходу потребителя, а в случае, если система его предпочтений является локально ненасыщаемой (что и имеет место в случае неоклассической функции полезности), - монотонно возрастающей, то график зависимости максимально достижимой потребителем полезности от величины дохода имеет вид, аналогичный представленному на рис. 2.

      Рис. 2. Зависимость косвенной полезности от дохода при фиксированных ценах 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Функция расходов потребителя

      Тот факт, что косвенная полезность потребителя, представляющая собой максимум полезности, достижимый им при заданных ценах на блага, представляет собой монотонно возрастающую зависимость от величины наличного дохода, означает существование обратной зависимости, которая заранее известному уровню полезности u ставит в соответствие минимальную величину дохода, необходимую потребителю для получения при фиксированных ценах благ полезности в размере u.

      Формальное  определение функции расходов (expenditure function) вводится через модель поведения потребителя в несколько отличной от (1) постановке, хотя при этом для описания принимаемого потребителем решения используются те же самые переменные. Как и в (1) речь идет о выборе потребителем набора благ, который от собирается приобрести на рынке по заранее известным ценам . Однако в этом случае выбор осуществляется, исходя из заранее известного уровня полезности u, который по соображениям экономической рациональности требуется достичь с минимальными расходами. Таким образом, в данном случае поведение потребителя описывается экстремальной задачей, в которой целевой функцией выступает минимизация расходов, а ограничением служит определяемое через неоклассическую функцию полезности достижение заданного уровня благосостояния (благополучия, полезности). Сама экстремальная (оптимизационная) задача выглядит следующим образом:³

                          (2)

Порождаемая оптимизационной задачей (2) функция  расходов потребителя определяется как зависимость следующего вида: ,

где - оптимальное решение задачи (2), т.е. набор благ, обеспечивающий потребителю получение полезности u и с минимальными расходами при ценах . Таким образом, функция расходов представляет собой зависимость, аргументами которой выступают цены представленных на рынке благ и требуемый потребителю уровень полезности u, а значением – минимальный размер дохода, необходимого потребителю для достижения полезности u при ценах .

      Функция расходов обладает рядом свойств, которые определяются свойствами функции полезности и вектора оптимального решения задачи (2).