Функции косвенной полезности и расходов потребителя: определение и свойства

Утверждение. Пусть функция полезности непрерывна на множестве и описывает заданное на X локально ненасыщаемое отношение предпочтения потребителя o. Тогда функция расходов :

1. линейно однородна по ценам благ;
2. строго возрастает по переменной u и не убывает по ценам рассматриваемых благ, т.е. переменным ;
3. вогнута по ценам ;
4. непрерывна по ценам и полезности u.

Доказательство.

      1. Очевидно, что пропорциональное  изменение цен не влечет за  собой изменения области допустимых  планов задачи (2) (множества наборов  благ, полезность которых не ниже  заданного уровня u). В силу же того, что целевая функция задачи (2) линейна по ценам рассматриваемых благ, то таковой является и функция расходов.

      2. Первая часть утверждения очевидны  образом вытекает из того факта,  что множество допустимых планов  задачи (2) строго убывает по «u», т.е. если , то . Доказываемое утверждение следует из того, что: (а) минимальное значение функции на множестве не превышает минимального значения этой же функции, достигаемого на любом из его подмножеств; (б) описываемое функцией полезности отношение индивидуального предпочтения o локально ненасыщаемое.

      3. Пусть векторы  и представляют собой сочетания векторов цен и потребительского выбора, которые минимизируют расходы потребителя на достижение уровня полезности u, т.е. при системе цен минимум расходов на получения уровня полезности u обеспечивается набором благ , а при системе цен p, соответственно, набором x. Пусть система цен представляет собой выпуклую комбинацию векторов цен и p, т.е. . Тогда по определению функции расходов для вектора цен существует свой набор благ такой, что . Подставив в последнее равенство определение , получим следующее равенство: . В силу того, что набор благ не минимизирует расходы потребителя на достижение заданного уровня полезности u, т.е. и , имеем .

      4. Непрерывность функции расходов  по ценам вытекает из того, что  вогнутая по p зависимость. Непрерывность по уровню полезности u гарантирует следующая теорема.

Теорема: Рассмотрим параметрическую задачу максимизации вида: , в которой непрерывная функция с компактной областью значений. Допустим, что непрерывное точечно-множественное отображение и при любых значениях множество допустимых планов непусто и компактно. Тогда:

(а)  является непрерывной функцией ;

(б) Точечно-множественное  отображение параметра  в множество оптимальных планов параметрической задачи оптимизации является полунепрерывным сверху, причем в случаях, когда множество оказывается одноточечным, соответствующая функция будет непрерывной.

      При рассмотрении цен и требуемого потребителю  уровня полезности в качестве переменных величин  представляет собой векторозначную функцию, значением которой выступает вектор (набор) благ, обеспечивающий потребителю минимум расходов на достижение уровня полезности u при системе цен p. Функция называется функцией индивидуального спроса Хикса. Ее также принято называть функцией компенсированного спроса.

      Такое название подразумевает следующую  трактовку зависимости  . Значением функционала ММР является минимальный уровень дохода, требуемый потребителю для того, чтобы при системе цен p достичь уровня полезности u. Соответственно, минимальный уровень дохода есть ничто иное как значение функции расходов . В связи с этим, рассматривая функцию индивидуального спроса как зависимость, определяемую ценами и доходом потребителя, выступает в качестве функции, позволяющей определить величину дохода, которая обеспечит потребителю неизменный уровень получаемой полезности при изменении цен, т.е. скомпенсирует изменение цен. Функция индивидуального спроса Хикса представляет собой теоретическую конструкцию в силу того, что в качестве переменной содержит непосредственно ненаблюдаемый уровень полезности u. Однако сама по себе она полезна для теоретического анализа.

Утверждение: Если функция имеет своим значением набор благ, минимизирующий расходы потребителя на достижение уровня полезности u при системе цен p, а функция расходов дифференцируема по ценам , то тогда имеет место равенство:

                   .

Доказательство:

      Пусть для вектора  ММР имеет решение в точке , т.е. . Определим функцию следующим образом: . Очевидно, что по своему построению функция неотрицательна для любого заданного уровня полезности u и достигает своего минимума, равного нулю, в точке , т.е. . Поскольку функция расходов дифференцируема по ценам, то необходимые условия минимума в точке заданы следующей системой равенств:

                   . 
 
 
 
 
 

Взаимосвязь между функциями  косвенной полезности и расходов

      Пусть набор благ является решением задачи (1) при заданном уровне дохода , т.е. . Рассмотрим ММР, в которой требуемая потребителю полезность задана на уровне . Нетрудно видеть, что в случае выполнения условий неоклассической модели потребительского выбора значение соответствующей функции определяется набором благ , т.е. (см. рис. 3). При этом очевидна справедливость следующих соотношений:

1. Для системы цен минимальная величина расходов потребителя, позволяющая достичь уровень полезности равен , т.е. .
2. Для системы цен максимальный уровень полезности, доступный потребителю при наличии дохода в размере , равен u, т.е. .
3. Функция спроса Маршалла при уровне дохода совпадает с функцией спроса Хикса, соответствующей полезности , т.е. .
4. Функция спроса Хикса, соответствующая уровню полезности u, совпадает с функцией спроса Маршалла при доходе, равном .

          Последнее соотношение означает, что функция спроса Хикса, имеющая в качестве аргумента ненаблюдаемую переменную полезности u, может быть вычислена через функцию спроса Маршалла, у которой все аргументы являются наблюдаемыми. Условие совпадения двух функций спроса состоит в том, что значение дохода должно быть минимальным для достижения заданного значения полезности u.

Уравнение Роя. Если функция косвенной полезности дифференцируема по всем переменным при ; и >0, причем , то справедливо следующее равенство

             .

Доказательство.

Пусть набор благ максимизирует полезность потребителя при системе цен и доходе . Обозначим обеспечиваемый уровень полезности через . Согласно выше установленным соотношениям имеем

                   ,       (3)

а также  . Последнее равенство означает, что независимо от системы цен для потребителя, имеющего доход, величина которого является минимальной для достижения уровня полезности при установленных ценах, максимальное значение достижимой полезности равно . В силу того, что последнее соотношение представляет собой тождество, мы можем продифференцировать его по переменным . В результате получим следующее равенство .

Воспользовавшись  леммой Шефарда и соотношением (3), получаем

             .

Равенство доказано, поскольку оно справедливо  для всех сочетаний цен и дохода и .

Стоимостная функция полезности

      Введенная выше функция расходов потребителя  имеет своим аргументом уровень получаемой полезности. Проблематичность выбора количественной переменной, характеризующей полезность, существенно осложняет применение функции расходов в эмпирических исследованиях. В связи с этим логично попытаться тем или иным способом «исключить» полезность из числа аргументов, заменив ее другой, более «осязаемой» переменной.

      Принятые  в рамках неоклассических предпосылок  свойства функции полезности гарантируют нам единственность ее значения для каждого набора благ и разбиение всего множества наборов благ на непересекающиеся подмножества - кривые безразличия. Каждое из этих множеств соответствует некоторому, отличному от других, значению полезности . Поскольку в ММР, генерирующей функцию расходов, множество эффективных допустимых наборов благ⁴ совпадает с , то необходимости явного задания конкретного значения полезности можно избежать, если считать известным или зафиксировать набор благ, полезность которого равна . Последнее будет означать, что потребитель должен выбрать такой набор, который:

• по предпочтительности будет не хуже некоторого заранее известного набора ;
• минимизировать расходы потребителя на получение уровня полезности, обеспечиваемого набором .

Таким образом ММР можно записать в  следующей форме:

                          (4)

где - заранее заданный вектор (набор) благ.

      Для задачи (4), как и для задачи (2) можно  определить функцию расходов, отличную только тем, что скалярная переменная полезности в ней заменена на векторную (n-мерную) . Она примет следующий вид:

      Нетрудно  видеть, что функция  для фиксированного набора благ полностью воспроизводит свойства функции расходов по переменной цен, а именно:

• монотонно не убывает по ценам благ ;
• линейно однородна по ценам благ;
• вогнута по ценам благ;
• непрерывна по .

      Менее очевиден тот факт, что в случае фиксированных цен на блага  , рассматриваемая как зависимость объемов благ , представляет собой функцию полезности.Это обусловлено тем, что функция расходов строго возрастает по переменной полезности ввиду того, что описываемое функцией полезности отношение предпочтения o является локально ненасыщаемым. Поэтому при фиксированном векторе цен функция представляет собой монотонно возрастающее преобразование функции полезности и тем самым сама является функцией полезности. Функция всем наборам благ, находящимся на одной кривой безразличия с вектором , ставит в соответствие в качестве оценки полезности минимальную величину дохода, обеспечивающую потребителю получение полезности, которой обладает набор .

      Функцию называют стоимостной формой функции полезности или просто стоимостной функцией полезности (money metric utility function) или функцией минимального дохода (minimum income function).

      Аналогичным образом для косвенной полезности вводится определение стоимостной  функции косвенной полезности (money metric indirect utility function). Ее формальное определение выглядит следующим образом:

                   .

Значением функции  выступает минимальная величина дохода, которая потребуется потребителю при системе цен для того, чтобы обеспечить тот максимальный уровень полезности, который был ему доступен при системе цен при наличии у него дохода в размере M единиц. Также, как и в случае со стоимостной функции полезности , функция воспроизводит свойства функции расходов по переменной (переменные и M фиксированы). В свою очередь при заданном векторе цен эта функция представляет собой зависимость от и M, которая просто является монотонно возрастающим преобразованием функции косвенной полезности и, соответственно, сама является таковой. Таким образом, стоимостная функция косвенной полезности в качестве оценки уровня максимального уровня полезности, доступного потребителю при ценах и доходе M, использует минимальный доход, требуемый для сохранения потребления на том же уровне полезности при системе цен . Общая черта функций и состоит в том, что и одна и другая в качестве переменных используют наблюдаемые переменные, тогда как лежащие в их основе исходные зависимости в числе своих аргументов содержат ненаблюдаемые переменные полезности (u и , соответственно).