Методы экспертных оценок

                                                                                              (5.30)

Энтропийный коэффициент конкордации определяет­ся формулой (коэффициент согласия) [12]:

                                                                                                                    (5.31)

где Н – энтропия, вычисляемая по формуле

                                                                                                        (5.32)

а - максимальное значение энтропии. В формуле для энтропии  - оценки вероятностей j-го ранга, при­сваиваемого i-му объекту. Эти оценки вероятностей вы­числяются в виде отношения количества экспертов , приписавших объекту  ранг j к общему числу экспер­тов [12].

                                                                                                                           (5.33)

Максимальное значение энтропии достигается при равновероятном распределении рангов, т. е. когда . Тогда [12]

                                                                                                                     (5.34)

Подставляя это соотношение в формулу (5.32), получаем [12]

                                                                                              (5.35)

Коэффициент согласия изменяется от нуля до едини­цы. При  расположение объектов по рангам рав­новероятно, поскольку в этом случае . Данный случай может быть обусловлен либо невозможностью ранжировки объектов по сформулированной совокупно­сти показателей, либо полной несогласованностью мне­ний экспертов. При , что достигается при нулевой энтропии (H=0), все эксперты дают одинаковую ранжи­ровку. Действительно, в этом случае для каждого фик­сированного объекта  все эксперты присваивают ему один и тот же ранг j, следовательно, , a   Поэтому и H=0.

Сравнительная оценка дисперсионного и энтропийно­го коэффициентов конкордации показывает, что эти ко­эффициенты дают примерно одинаковую оценку согла­сованности экспертов при близких ранжировках. Одна­ко если, например, вся группа экспертов разделилась в мнениях на две подгруппы, причем ранжировки в этих подгруппах противоположные (прямая и обратная), то дисперсионный коэффициент конкордации будет равен нулю, а энтропийный коэффициент конкордации будет равен 0,7. Таким образом, энтропийный коэффициент конкордации позволяет зафиксировать факт разделения мнений на две противоположные группы. Объем вычис­лений для энтропийного коэффициента конкордации не­сколько больше, чем для дисперсионного коэффициента конкордации.

3.4. Обработка парных сравнений объектов

При решении задачи оценки большого числа объектов (ранжирование, определение относительных весов, бал­льная оценка) возникают трудности психологического характера, обусловленные восприятием экспертами мно­жества свойств объектов. Эксперты сравнительно легко решают задачу парного сравнения объектов. Возникает вопрос, каким образом получить оценку всей совокуп­ности объектов на основе результатов парного сравнения, не накладывая условия транзитивности? Рассмотрим алгоритм решения этой задачи. Пусть m экспертов про­изводят оценку всех пар объектов, давая числовую оценку [12]

                                                                                                        (5.36)

Если при оценке пары   экспертов высказались в пользу предпочтения   экспертов высказались наоборот  и  экспертов считают эти объекты равноценными, то оценка математического ожидания случайной величины  равна [12]

                                                                                       (5.37)

Общее количество экспертов равно сумме

                                                                                                              (5.38)

Определяя отсюда  и подставляя его в (5.37), полу­чаем [12]

                                                                                       (5.39)

Очевидно, что  Совокупность величин  образует матрицу  на основе которой можно по­строить ранжировку всех объектов и определить коэф­фициенты относительной важности объектов.

Введем вектор коэффициентов относительной важно­сти объектов порядка t следующей формулой [12]:

                                                                                                    (5.40)

где  - матрица   математических ожиданий оценок пар объектов,  - вектор коэф­фициентов относительной важности объектов порядка t. Величина  равна [12]

                                                                                                               (5.41)

Коэффициенты относительной важности первого по­рядка есть относительные суммы элементов строк мат­рицы X. Действительно, полагая t=1, из (5.40) получаем [12]

                                                                                                    (5.42)

Коэффициенты относительной важности второго по­рядка (t=2} есть относительные суммы элементов строк матрицы X2 [12].

                                                                                          (5.43)

Если матрица Х неотрицательна и неразложима, то при увеличении порядка  величина  сходится к максимальному собственному числу матрицы Х [12]

                                                                                                                        (5.44)

а вектор коэффициентов относительной важности объек­тов стремится к собственному вектору матрицы X, соот­ветствующему максимальному собственному числу

                                                                                                           (5.45)

Определение собственных чисел и собственных век­торов матрицы производится решением алгебраического уравнения [12]

                                                                                                                       (5.46)

где Е—единичная матрица, и системы линейных урав­нений [12]

                                                                                                            (5.47)

где k – собственный вектор матрицы X, соответствующий максимальному собственному числу . Компоненты соб­ственного вектора есть коэффициенты относительной важности объектов, измеренные в шкале отношений.

С практической точки зрения вычисление коэффици­ентов относительной важности объектов проще произво­дить последовательной процедурой по формуле (5.40) при t=1, 2, … Как показывает опыт, 3-4 последователь­ных вычислений достаточно, чтобы получить значения   и k, близкие к предельным значениям, определяемым уравнениями (5.46), (5.47).

Матрица  неотрицательная, поскольку все ее элементы (5.39) неотрицательны. Матрица называется неразложимой, если перестановкой рядов (строк и одно­именных столбцов) ее нельзя привести к треугольному виду [12]

                                                                                                  (5.48)

где  - неразложимые подматрицы матрицы X. Пред­ставление матрицы Х в виде (5.48) означает разбиение объектов на l доминирующих множеств [12]

                                                                                                        (5.49)

При 1=n матрица Х неразложима, т. е. существует толь­ко одно доминирующее множество, совпадающее с ис­ходным множеством объектов. Разложимость матрицы Х означает, что среди экспертов имеются большие раз­ногласия в оценке объектов.

Если матрица Х неразложима, то вычисление коэф­фициентов относительной важности  по­зволяет определить, во сколько раз один объект превос­ходит другой объект по сравниваемым показателям. Вычисление коэффициентов относительной важности объектов позволяет одновременно построить ранжиров­ку объектов. Объекты ранжируются так, что первым объ­ектом считается объект, у которого коэффициент относи­тельной важности наибольший. Полная ранжировка определяется цепочкой неравенств [12]

из которой следует

Если матрица Х является разложимой, то определить коэффициенты относительной важности можно только для каждого множества . Для каждой матрицы  определяется максимальное собственное число и соответ­ствующий этому числу собственный вектор. Компоненты собственного вектора и есть коэффициенты относитель­ной важности объектов, входящих в множество . По этим коэффициентам осуществляется ранжировка объ­ектов данного множества. Общая ранжировка объектов дается соотношением [12]

Таким образом, если матрица Х неразложима, то по результатам парного сравнения объектов возможно как измерение предпочтительности объектов в шкале отно­шений, так и в шкале порядка (ранжирование). Если же матрица Х разложима, то возможно только ранжиро­вание объектов.

Следует отметить, что отношение предпочтения  может быть выражено любым положительным числом С. При этом должно выполняться условие  В частности, можно выбрать С=2 так, что если , то  если  то  и если , то .

3.5. Определение взаимосвязи ранжировок

При обработке результатов ранжирования могут возник­нуть задачи определения зависимости между ранжиров­ками двух экспертов, связи между достижением двух различных целей при решении одной и той же совокуп­ности проблем или взаимосвязи между двумя призна­ками.

В этих случаях мерой взаимосвязи может служить коэффициент ранговой корреляции. Характеристикой взаимосвязи множества ранжировок или целей будет яв­ляться матрица коэффициентов ранговой корреляции. Известны коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена опре­деляется формулой [12]:

                                                                                                                      (5.50)

где  - взаимный корреляционный момент первой и второй ранжировок,   - дисперсии этих ранжиро­вок. По данным двум ранжировкам оценки взаимного корреляционного момента и дисперсии вычисляются по формулам [12]:

                                                                                       (5.51)

                                                           (5.52)

где n – число ранжируемых объектов,   - ранги в первой и второй ранжировках соответственно,   - средние ранги в первой и второй ранжировках. Оценки средних рангов определяются формулами [12]:

                                                                                    (5.53)

Вычислим оценки средних рангов и дисперсий в пред­положении, что в ранжировках отсутствуют связанные ранги, т. е. обе ранжировки дают строгое упорядочение объектов. В этом случае средние ранги (5.53) представ­ляют собой суммы натуральных чисел от единицы до n, поделенные на n. Следовательно, средние ранги для обе­их ранжировок одинаковы и равны [12]

                                                                                            (5.54)

При вычислении оценок дисперсий заметим, что если раскрыть круглые скобки в формулах (5.52), то под зна­ком сумм будут находиться натуральные числа и их квадраты. Две ранжировки могут отличаться друг от друга только перестановкой рангов, но сумма натураль­ных чисел и их квадратов не зависит от порядка (пере­становки) слагаемых. Следовательно, дисперсии (5.52) для двух любых ранжировок (при отсутствии связанных рангов) будут одинаковы и равны [12]

 (i=1,2).                                                 (5.55)

Подставляя значение  из (5.51) и   из (5.55) в формулу (5.50), получим оценку коэффициента ранго­вой корреляции Спирмена [12]

                                                                                          (5.56)

Для проведения практических расчетов удобнее поль­зоваться другой формулой для коэффициента корреля­ции Спирмена. Ее можно получить из (5.56), если вос­пользоваться тождеством [12]

                                  (5.57)

В равенстве (5.57) первые две суммы в правой части, как это следует из выражения (5.55), одинаковы и рав­ны [12]

                                                       (5.58)

Подставляя в формулу (5.56) значение суммы из (5.57) и используя равенство (5.58), получаем следу­ющую удобную для расчетов формулу коэффициента ранговой корреляции Спирмена [12]: