хij = аijХj

      полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать¹³:

      ∆Фij = фij∆Xji, i = 1…n        (3.2)

      фij - коэффициенты пропорциональности, экономический смысл их заключается в том, что они показывают, какое количество продукции i-той отрасли должно быть вложено вj-тую отрасль для увеличения производственной мощности j-той отрасли на единицу продукции. Предполагается, что производственные мощности используются полностью и прирост продукции равен приросту мощности. Коэффициенты фij называются коэффициентами вложений, или коэффициентами приростной фондоёмкости.

      Они образуют квадратную матрицу n-го порядка:

      || ф11 ф12…ф1n ||

      || ф21 ф22…ф2n ||

      фij = ||…||

      || фn1 фn2…фnn ||

      Эта матрица коэффициентов приростной фондоёмкости даёт значительный материал для экономического анализа и планирования капитальных вложений.

      Далее, с помощью коэффициентов прямых материальных затрат и коэффициентов  вложений фij систему уравнений (3.1) можно представить в следующем виде¹⁴:

      Xi = ∑aijXj + ∑фij∆Xj + Yi', i=1…n      (3.3)

      Учитывая, что все объёмы валовой и конечной продукции относятся к некоторому периоду t, а прирост валовой продукции определён в сравнении с (t-1)-ым периодом¹⁵:

      Хi(t) = = ∑aijXj(t) + ∑фij(Xj(t) – Xj(t-1)) + Yi'(t), i=1…n

      Отсюда  можно записать следующие соотношения:

      Хi(t) = = ∑(aij + фij)Xj(t) – ∑фijXj(t-1) + Yi'(t), i=1…n   (3.4)

      Пусть нам известны уровни валовой продукции  всех отраслей в предыдущем периоде (величины Хо(t-1) и конечный продукт отраслей в t-м периоде. Тогда соотношения (3.4) представляют собой систему n линейных уравнений с n неизвестными уровнями производства t-го периода.

      Таким образом, решение динамической системы  линейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем  периоде в зависимости от уровня , достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений фij, характеризующие фондоёмкость единицы прироста продукции.

      Эти более сложные по своему экономическому содержанию выводы из анализа динамической модели В. Леонтьева были опубликованы в форме дифференциальных уравнений в СССР в 1958 г. книге «Исследование структуры американской экономики».

 

ГЛАВА 3. Практическое применение метода «затраты -выпуск»

3.1. Достоинства и  недостатки метода

 

      В конце 40-х - начале 50-х гг. все больше стран начинают разрабатывать балансы «затрата-выпуск», использовать их в прогнозировании, государственных программах социально-экономического развития. Особую целенаправленность эта деятельность приобретает во Франции, Нидерландах, Норвегии, Италии, Японии и других странах с развитой системой государственного регулирования и программирования. С конца 50-х гг. исследования на основе межотраслевых связей стали быстро развиваться и в социалистических странах. Общее же число стран, в которых были построены балансы «затраты-выпуск», - около 100.

      Однако  не все экономисты склонны были признать метод затраты - выпуск как эффективный  путь изучения экономических проблем. Находясь под влиянием традиционного  образа мыслей, критики Леонтьева  оказывали заметное сопротивление  его попыткам революционизировать науку. Особенно не понравилась им идея о фиксированных коэффициентах. Однако если метод Леонтьева модифицировать с учетом более поздних открытий в области линейного программирования, он в состоянии обеспечить и анализ меняющихся производственных функций. В этом случае уровень использования производственных затрат становится переменной величиной и возникает возможность установить критерии для оценки метода производства, основанные либо на минимальных издержках производства, либо на максимальном "благосостоянии". С этой точки зрения система Леонтьева может рассматриваться как особый случай общей теории линейного программирования. Аналитический метод Леонтьева предполагает, что при больших размерах затрат на единицу выпуска уровень последнего может и не быть величиной положительной. Если рассуждать последовательно, при нулевом конечном спросе на продукцию занятость и объем производства должны быть равны нулю. Но если в качестве "товарного остатка" или конечного спроса были взяты заграничные инвестиции, равные нулю, было бы ошибочно думать, что производство также будет равно нулю. Таким образом, становится очевидной необходимость получения дополнительной информации в отношении конечного спроса. Критики метода утверждали также, что схема затраты -выпуск не раскрывает влияния инвестиций в одной отрасли экономики на другие, поскольку здесь исключаются "обратные связи" и явления многостороннего порядка. Соответствующую корректировку расчетов необходимо осуществлять с помощью мультипликатора.

      Критики Леонтьева настаивали на том, что выбор технологии производства, взаимозаменяемость элементов затрат и производство сопряженных продуктов возможны лишь при менее жестких допущениях. Но это означало возврат к нелинейным методам экономического анализа, от которых теоретики метода затраты - выпуск отказались. Чтобы объяснить значительные разрывы, приходилось снова исходить из изменчивости колебаний, охарактеризованных Хиксом и Харродом. Однако возможности практического применения метода Леонтьева таковы, что они оправдывали такую модификацию, ибо он оставался одним из немногих инструментов экономического анализа, поддающихся численному решению. Этой схеме может быть предъявлено обвинение в том, что она не содержит уравнений, выражающих действия покупателя на рынке, полностью игнорирует экономическую психологию и статистическими выводами подменяет анализ реакций потребителя¹⁶.

      Наиболее  резкое критическое замечание о  системе Леонтьева сводилось  к тому, что его таблицы затраты - выпуск - это лишь немногим большее, чем удобная классификация данных, относящихся к прошлому. Но, как отметил Р. Голдсмит, леонтьевские таблицы представляются разумной аппроксимацией к вальрасовским уравнениям, если сообщить последним динамический характер. Главная трудность их практического применения заключается в невозможности своевременного получения данных, ибо если таблицы затраты - выпуск не составляются достаточно часто, то они превращаются в своего рода историческую статистику. Возражение же о том, что нельзя определить понятие отрасли или сектора, совершенно необоснованно. Более серьезными кажутся недостатки, вытекающие из тезиса о фиксированных коэффициентах, предполагающих постоянную доходность, и отсутствие возможности избрать технологический вариант производства. Но с чисто теоретической точки зрения в этих недостатках не было ничего фатального; Самуэльсон показал, что, если исходить из допущения эффективности производства, характеризующейся наилучшим значением коэффициентов затрат, то говорить о взаимозаменяемости затрат или выборе варианта бессмысленно, ибо производство фактически в этом случае уже достигло оптимального состояния¹⁷. Несмотря на такую изобретательную защиту метода Леонтьева и заложенных в нем возможностей, экономисты все больше прибегают ныне к методу линейного программирования, который кажется им более гибким. Тот факт, что он, по-видимому, практичен и более приспособлен к анализу проблем микроэкономики, чем метод затраты - выпуск с его глобальным подходом, делает его более привлекательным. Экономистов подкупает и то, что в линейном анализе они не сталкиваются с теоретическими тонкостями. Они получили в руки общепринятую теорию и мощную математическую технику.

      Подводя итоги, можно следующим образом  вывести достоинства и недостатки метода «затраты-выпуск»:

      Достоинства метода:

      • Позволяет планировать отрасли  системно с учетом места и веса каждой отрасли. Дает возможность планирования на ряд лет, позволяя найти пути подъема, как всей экономики страны, так  и отдельных отраслей. (Успехи Леонтьева  в Германии и Японии после войны.) Практическое применение метода затраты выпуск достаточно широко. В США после Второй мировой войны по руководством Леонтьева составлена матричная таблица включающая 400 отраслей экономики США. Результаты экономического анализа были использованы для прогнозирования занятости населения в послевоенный период. Модели Леонтьева позволили смягчить топливный кризис 1970 года, продовольственный 1972-74 годов, экологический конца 70-х начала 80-х годов.)

      Недостатки:

      • Опора на матрицу коэффициентов  полных затрат приводит к трудоемкому  процессу сбора и обработки большого объема статистической информации. Процесс  производится с периодичностью 5 лет, что не дает полной картины динамики отрасли.

      • Нет учета технологических изменений в отраслях за период между сбором информации о матрице затрат.

 

ГЛАВА 4. Пример расчета межотраслевого баланса

4.1. Построение межотраслевого  баланса производства  и распределения  продукции

 

      Для трёхотраслевой экономической системы  заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции¹⁸:

      || 0.3 0.1 0.4|| || 2 0 0 ||

      А = || 0.2 0.5 0.0|| Y = || 1 0 0 ||

      || 0.3 0.1 0.2 || || 3 0 0 ||

      1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц

      - находим матрицу (Е-А):

      || 1 0 0 || || 0.3 0.1 0.2 || || 0.7 – 0.1 – 0.4 ||

      (Е-А) = || 0 1 0 || – || 0.2 0.5 0.0|| = ||-0.2 0.5 0.0 ||

      || 0 0 1 || || 0.3 0.1 0.2|| ||-0.3 -0.1 0.8||

      -вычисляем определитель этой матрицы:

      || 0.7 - 0.1 - 0.4||

      |Е-А|= ||-0.2 0.5 0.0|| = 0.196

      ||-0.3 -0.1 0.8||

      - транспонируем матрицу (Е- А):

      || 0.7 -0.1 -0.4 ||

      |Е-А|= || -0.2 0.5 0.0 ||

      || -0.3 -0.1 0.8 ||

      находим алгебраическое дополнение для элементов  матрицы (Е-А):

      А11 = (-1)| 0.5-0.1 | = 0.40

      | 0.0 0.8 |

      А13 = (-1)|-0.1 0.5 | = 0.20

      |-0.4 0.0 |

      А22 = (-1)| 0.7 -0.3 | = 0.44

      | -0.4 0.8 |

      А31 = (-1) |-0.2 -0.3 | = 0.17

      | 0.5-0.1|

      А11 =(-1) | 0.7-0.2 | = 0.33

      |-0.1 0.5 |

      |-0.1 0.1 |

      А12 = (-1)| -0.4 0.8 |=0.12

      | -0.2 -0.3 |

      А21= (-1)| 0.0 0.8 | = 0.16

      | 0.7 -0.2 |

      А23= (-1)|-0.4 0.0 | = 0.08

      | 0.7-0.3|

      А32=(-1)|-0.1-0.1 |=0.10

      Таким образом, присоединённая к матрице (Е-А) матрица имеет вид:

      ||0.40 0.12 0.20||

      (Е-А) = ||0.16 0.44 0.08||

      ||0.17 0.10 0.33||

      Чтобы найти матрицу коэффициентов  полных материальных затрат, воспользуемся формулой матричной алгебры:

      В= (Е-А) = (Е-А) |Е-А| (1,245)

      Получим: При этом проблема создания рациональной и высокоэффективной межотраслевой  экономики чрезвычайно важна  для всех стран.

      ||2.041 0.612 1.020||

      В=(Е-А) = || 0.816 2.245 0.408||

      || 0.867 0.510 1.684||

      2. Найдём величины валовой продукции  трёх отраслей (вектор X), используя формулу 2.6 (рассмотренную во второй главе):

      ||2.041 0.612 1.020|| ||200|| ||775.3||

      Х= ВY = ||0.816 2.245 0.408|| * ||100|| =||510.1||

      ||0.867 0.510 1.684|| ||300|| ||739.6||

      3. Итак, теперь определим квадранты  материального межотраслевого баланса.  Для получения первого столбца  первого квадранта нужно элементы  первого столбца заданной матрицы А умножить на величину Х1 = 775.3; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х2= 510.1; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х3=729.6.