План выпуска продукции

Содержание: 
 
 

 

Задача 1

По приведенным  ниже вариантам работ требуется:

1. Определить план выпуска продукции (Х), обеспечивающий максимальную выручку (прибыль) от реализации.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти оптимальные значения двойственных оценок единичных затрат ресурсов (Y).
3. Определить интервалы двойственности оптимальных двойственных оценок.
4. Выявить изменение выручки (прибыли) от реализации продукции, определяемой оптимальным планом ее производства при измерении объемов производственного потребления ресурсов (Db_i). Произвести анализ влияния изменений ресурсов по отдельности и одновременно.

B=(800 600 120)^T;  DB=(50 -10 70)^T;  C=(108 112 126);

.

Решение:

1. Определить план выпуска продукции (X), обеспечивающий максимальную выручку (прибыль) от реализации.

     Для определения плана выпуска продукции  требуется найти оптимальный  план прямой ЗЛП. Сформулируем ее:

Решаем поставленную задачу с помощью программного пакета MS Excel: 
 
 

 

     Отчеты, автоматически создаваемые МS Excel, приведены в приложении 1 к данной работе.

    Таким образом, получен оптимальный план выпуска изделий, гарантирующий  максимальную величину объема реализации  Fmax:  Х*=(100;0;1200), Fmax=162000 руб.

    При таком плане недоиспользование  сырья составляет:

    I вид сырья – 0 кг;

    II вид сырья – 200 кг;

    III вид сырья – 0 кг. 

2. Сформулировать  двойственную задачу и найти оптимальные  значения двойственных оценок единичных  затрат ресурсов (Y).

    Сформулируем  двойственную ЗЛП:

    

      

В соответствии с 1-й группой условий справедливы  соотношения:

    

        

    Из 2-й группы условий получится:

             

         Таким образом:

                

         Окончательно,

          Выполняется  утверждение 1-й  теоремы двойственности:

          ,

Fmax=Фmin =162000. 

3. Определить  интервалы устойчивости оптимальных двойственных оценок.

       Оптимальные двойственные оценки в определенных интервалах изменения объемов производственных ресурсов устойчивы. В пределах устойчивости оптимальных двойственных оценок, последние могут служить показателями эффективности использования ресурсов.

    

      где  искомые величины (изменение ресурсов, при которых оптимальные двойственные переменные неизменны).

     - матрица обратная матрице  P, составленной из компонент столбцов, соответствующих переменным целевой функции прямой задачи,  попавшим в оптимальный план со строго положительными значениями.

            

    С помощью пакета MS Excel вычисляем обратную матрицу :

    Получаем:

               (1)

    Решение системы неравенств в следующих  трех ситуациях приводит:

    1)  и ,       

    2)  и ,       

    3)  и ,         

    Согласно  первой и третьей ситуациям, если количество одного из двух видов сырья I или III вида принадлежит соответственно промежутку                           (800-80;800+400)=(720;1200) или (120-120;120+13 1/3)=(0;133 1/3), а количество сырья остальных видов остается первоначальным, то оптимальные двойственные оценки - неизменны. Они также неизменны, если количество сырья II вида принадлежит интервалу (400;¥), а количество остальных ресурсов остается первоначальным.

      Таким образом, в интервалах , и при поочередной неизменности остальных видов сырья оптимальные двойственные оценки , и служат показателями экономической эффективности использования ресурсов.

4. Выявить изменение выручки (прибыли) от реализации продукции, определяемой оптимальным планом её производства при изменении объёмов производственного потребления ресурсов (Db_i). Произвести анализ влияния изменений ресурсов по отдельности и одновременно.

    По  условию , , . Следует выяснить, остается ли  оптимальным решением двойственной ЗЛП при указанном изменении количества ресурсов или нет; для этого нужно проверить, удовлетворяют данные значения , и системе неравенств (1) или нет.

             

     При одновременном изменении  объемов ресурсов в указанных размерах, оптимальное решение двойственной задачи изменится. Найдем его с помощью программного пакета MS Excel.

 

    Таким образом объем реализации составит:

       при

    Это означает, что уменьшение количества сырья II вида на 10 кг. и увеличение количества сырья I и III видов соответственно на 50 и 70 кг. приведет к возможности формирования такого плана выпуска изделий, при котором суммарная величина их реализации возрастет на 186200-162000=      = 24200 руб.

      Влияния изменений количеств  ресурсов в отдельности на  суммарный объем реализации составят:

    I  вид сырья:  Þ руб.

    II вид сырья: Þ руб.

    III вид сырья: Þ для определения изменения объема реализации продукции определяем новый оптимальный план прямой ЗЛП при измененном количестве ресурса вида III.