Производственная функция фирмы: сущность, виды, применение

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«Южно-Уральский  государственный университет»

Факультет «Экономика и управление»

Кафедра «Экономическая теория и мировая  экономика 
 

   Монопольная прибыль: сущность, источники, границы

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Микроэкономика»

(по дисциплине  «Экономическая теория: микроэкономика») 
 
 

Руководитель, доцент

Сигатова Н.А.

«____»____________20__ г.

Автор работы

Студент группы ЗЭиУ-102

Мехтиев А.Х.

«____»____________20__ г.

Работа  защищена

«____»____________20__ г.

с оценкой ___________ 
 
 
 

Челябинск 2012

 
 
                                                                                                                                                            
                                                                                                                       ОГЛАВЛЕНИЕ                       ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………..3 
 
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДСТВА И ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ…..7 
 
                                                            ВИДЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 
 
2.1. Производственная функция Кобба-Дугласа……………………………..13 
 
2.2. Производственная функция CES…………………………………………13 
 
2.3. Производственная функция с фиксированными пропорциями………...14 
 
2.4. Производственная функция затрат-выпуска (функция Леонтьева)……14 
 
2.5. Производственная функция анализа способов производственной     деятельности……………………………………………………………………14 
 
2.6. Линейная производственная функция……………………………………15 
 
2.7. Изокванта и ее типы……………………………………………………….16 
 
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ. 
 
3.1 Моделирование издержек и прибыли предприятия (фирмы)…………...21 
 
3.2 Методы учета научно-технического прогресса…………………………..28 
 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………...34 
 
Библиографический список……………………………………………………35 
  
ВВЕДЕНИЕ. 
Экономическая деятельность может осуществляться различными субъектами - индивидуальными лицами, семьей, государством и т.п., но основные производительные функции в экономике относятся к предприятию или фирме. С одной стороны, фирма - сложная материально-технологическая и социальная система, обеспечивающая производство экономических благ. С другой стороны, это сама деятельность по организации производства различных товаров и услуг. Как система, производящая экономические блага, фирма целостна и выступает в качестве самостоятельного воспроизводственного звена, относительно обособленного от других звеньев. Фирма самостоятельно осуществляет свою деятельность, распоряжается выпущенной продукцией и полученной прибылью, оставшейся после уплаты налогов и других платежей.  
 
Так что же такое производственная функция? Обратимся к словарю и получим следующее: 
 
ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ — экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинамипродукции (выпуска). Производственные функции применяются для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска в определенный момент времени (статический вариант производственной функции) и для анализа, а также прогнозирования соотношения объемов факторов и объема выпуска в разные моменты времени (динамический вариант производственной функции) на различных уровнях экономики — отфирмы (предприятия) до народного хозяйства в целом (агрегированная производственная функция, в которой выпуском служит показательсовокупного общественного продукта или национального дохода и т. п.). В отдельной фирме, корпорации и т. п. производственная функция описывает максимальный объем выпуска продукции, которую они в состоянии произвести при каждом сочетании используемых факторов производства. Она может быть представлена множеством изоквант, связанных с различными уровнями объема производства. 
 
Такой вид производственной функции, когда устанавливается явная зависимость объема производства продукции от наличия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска. 
 
В частности, широко используются функции выпуска в сельском хозяйстве, где с их помощью изучается влияние на урожайность таких факторов, как, например, разные виды и составы удобрений, методы обработки почвы. Наряду с подобными производственными функциями используются обратные к ним функции производственных затрат. Они характеризуют зависимость затрат ресурсов от объемов выпуска продукции (строго говоря, они обратные только к производственным функциям с взаимозаменяемыми ресурсами). Частными случаями производственных функций можно считать функцию издержек (связь объема продукции и издержек производства), инвестиционную функцию (зависимость потребныхкапиталовложений от производственной мощности будущего предприятия) и др. 
 
Математически производственные функции могут быть представлены в различных формах — от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени. 
 
Наиболее широко распространены мультипликативно-степенные формы представления производственных функций. Их особенность состоит в следующем: если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается в нуль. Легко заметить, что это реалистично отражает тот факт, что в большинстве случаев в производстве участвуют все анализируемые первичные ресурсы и без любого из них выпуск продукции оказывается невозможным. В самой общей форме (она называется канонической) эта функция записывается так: 
 или   
Здесь коэффициент А, стоящий перед знаком умножения, учитывает размерность, он зависит от избранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы оказывают влияние на общий результат (выпуск). Например, в производственной функции, которая применяется для изучения экономики в целом, можно в качестве результативного показателя принять объем конечного продукта, а сомножителей — численность занятого населения x₁, сумму основных и оборотных фондов x₂, площадь используемой земли x₃. Только два сомножителя у функции Кобба—Дугласа, с помощью которой была сделана попытка оценить связь таких факторов, как труд и капитал, с ростом национального дохода США в 20—30-е гг. ХХ в.: 
N = A · L^α · K^β, 
где N — национальный доход; L и K — соответственно объемы приложенного труда и капитала.                                                                   . 
Степенные коэффициенты (параметры) мультипликативно-степенной производственной функции показывают ту долю в процентном приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей (или на сколько процентов возрастет продукт, если затраты соответствующего ресурса увеличить на один процент); они являются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса. Если сумма коэффициентов составляет 1, это означает однородность функции: она возрастает пропорционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когда сумма параметров больше или меньше единицы; это показывает, что увеличение затрат приводит к непропорционально большему или непропорционально меньшему росту выпуска (Эффект масштаба). 
 
В динамическом варианте применяются разные формы производственных функций. Например, (в 2-факторном случае): Y(t) = A(t) L^α(t) K^β(t), где множитель A(t) обычно возрастает во времени, отражая общий рост эффективности производственных факторов в динамике                 . 
 
Логарифмируя, а затем, дифференцируя по t указанную функцию, можно получить соотношения между темпами прироста конечного продукта     (национального дохода) и прироста производственных факторов (темпы   прироста переменных принято здесь описывать в процентах)                    . 
 
Дальнейшая “динамизация” производственных функций может заключаться в использовании переменных коэффициентов эластичности              . 
 
Описываемые производственную функцию соотношения носят статистический характер, т. е. проявляются только в среднем, в большой массенаблюдений, поскольку реально на результат производства воздействуют не только анализируемые факторы, но и множество неучитываемых. Кроме того, применяемые показатели как затрат, так и результатов неизбежно являются продуктами сложного агрегирования (например, обобщенный показатель трудовых затрат в макроэкономической функции вбирает в себя затраты труда разной производительности, интенсивности, квалификации и т. д.). 
 
Особая проблема — учет в макроэкономических производственных функций фактора технического прогресса. С помощью производственных функций изучается также эквивалентная взаимозаменяемость факторов производства, которая может быть либо неизменной, либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресурсов). Соответственно функции делят на два вида: с постоянной эластичностью замены (CES — Constant Elasticity of Substitution) и спеременной (VES — Variable Elasticity of Substitution)                             . 
 
На практике применяются три основных метода определения параметров макроэкономических производственных функций: на основе обработкивременных рядов, на основе данных о структурных элементах агрегатов и о распределении национального дохода. Последний метод называетсяраспределительным. 
 
При построении производственных функций необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности параметров и автокорреляции — в противном случае неизбежны грубые ошибки                                       . 
 
Приведем некоторые важные производственные функции                  
 
Линейная производственная функция:                                         :   
P = a₁x₁ + ... + a_nx_n,                                                ,  
где a₁, ..., a_n — оцениваемые параметры модели: здесь факторы производства замещаемы в любых  пропорциях.                                               .                                       
Функция CES: 
P = A [(1 – α) K^-b + αL^-b]^-c/b                                 , 
в этом случае эластичность замещения ресурсов не зависит ни от K, ни от L и, следовательно, постоянна                                       : 
 
 
Отсюда и происходит название функции.                                           . 
Функция CES, как и функция Кобба— Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельной нормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластичность замещения капитала трудом и, наоборот, труда капиталом в функции Кобба—Дугласа, равная единице, здесь может принимать различные значения, не равные единице, хотя и является постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба—Дугласа логарифмирование функции CES не приводит ее к линейному виду, что вынуждает использовать для оценки параметров более сложные методы нелинейногорегрессионного анализа. 
1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДСТВА И ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 
 
Под производством понимается любая деятельность по использованию природных, материально-технических и интеллектуальных ресурсов для получения как материальных, так и нематериальных благ.                             .  
 
С развитием человеческого общества характер производства меняется. На ранних стадиях развития человечества господствовали природные, натуральные, естественно возникшие элементы производительных сил. Да и сам человек в это время в большей степени был продуктом природы. Производство в этот период получило название натурального.                                   .  
С развитием средств производства начинают преобладать исторически созданные материально-технические элементы производительных сил. Это эпоха капитала. В настоящее время решающее значение имеют знания, технологии, интеллектуальные ресурсы самого человека. Наша эпоха это эпоха информатизации, эпоха господства научно-технических элементов производительных сил. Владение знаниями, новыми технологиями имеет решающее значение для производства. Во многих развитых странах ставится задача всеобщей информатизации общества. Потрясающими темпами развивается всемирная компьютерная сеть Internet.                            . 
Традиционно роль общей теории производства выполняет теория материального производства, понимаемая как процесс превращения производственных ресурсов в продукт. Основными производственными ресурсами являются труд (L) и капитал (K). Способы производства или существующие производственные технологии определяют, какой объем продукции производится при заданных количествах труда и капитала. Математически существующие технологии выражаются через производственную функцию. Если обозначить объем выпускаемой продукции через Y , то производственную функцию можно записать  
 
Y = f ( K , L ).  
 
Это выражение означает, что объем выпуска является функцией количества капитала и количества труда. Производственная функция описывает множество существующих в данный момент технологий. Если изобретается лучшая технология, то при тех же затратах труда и капитала объем выпуска увеличивается. Следовательно, изменения в технологии изменяют и производственную функцию. Методологически теория производства во многом симметрична теории потребления. Однако если в теории потребления основные категории измеряются лишь субъективно или вообще пока не подлежат измерению, то основные категории теории производства имеют объективную основу и могут быть измерены в определенных натуральных или стоимостных единицах.  
 
Несмотря на то, что понятие производство может представиться очень широким, нечетко выраженным и даже расплывчатым, поскольку в реальной жизни под производством понимается и предприятие, и стройка, и сельскохозяйственная ферма, и транспортное предприятие, и очень крупная организация типа отрасли народного хозяйства, тем не менее, экономико-математическое моделирование выделяет нечто общее, присущее всем этим объектам. Этим общим является процесс преобразования первичных ресурсов (производственных факторов) в конечные результаты процесса. Поэтому основным исходным понятием в описании экономического объекта становится технологический способ, который представляется обычно как вектор затрат выпуска v, включающий в себя перечисление объемов затрачиваемых ресурсов (вектор x) и сведения о результатах их преобразования в конечные продукты или другие характеристики (прибыль, рентабельность и т.п.) (вектор y):  
 
v = ( x ; y )                                             .  
 
Размерность векторов x и y , а также способы их измерения (в натуральных или стоимостных единицах) существенно зависят от изучаемой проблемы, от уровней, на которых ставятся те или иные задачи экономического планирования и управления. Совокупность векторов технологических способов, которые могут служить описанием (с допустимой точки зрения исследователя точностью) производственного процесса, реально осуществимого на некотором объекте, называется технологическим множеством V данного объекта. Для определенности мы будем полагать, что размерность вектора затрат x равна N , а вектора выпуска y соответственно M . Таким образом, технологический способ v является вектором размерности (M + N), а технологическое множество VCR₊^{M +N}. Среди всех технологических способов, осуществимых на объекте, особое место занимают способы, которые выгодно отличаются от всех прочих тем, что они требуют либо меньших затрат при одинаковом выпуске, либо соответствуют большему выпуску при одинаковых затратах. Те из них, которые занимают в определенном смысле предельное положение в множестве V , представляют особый интерес, поскольку они являются описанием допустимого и предельно выгодного реального производственного процесса.  
 
Скажем, что вектор ν⁽¹⁾=(х⁽¹⁾;у⁽¹⁾) предпочтительнее, чем вектор ν⁽²⁾=(х⁽²⁾;у⁽²⁾)  с обозначением ν⁽¹⁾> ν⁽²⁾если выполняются следующие условия:  
1) у_i^{(1 )} ≥ y_i⁽²⁾(i=1,…,М ).                                         ;  
 
2) x_j⁽¹⁾  ≤  x_j⁽²⁾ (j=1,…М);  
и при этом имеет место по крайней мере одно из двух:  
 
а) существует такой номер i ₀ , что у_i0 ^{(1 )}> y_i0 ⁽²⁾                                               
б) существует такой номер j ₀ , что x_j0 ⁽¹⁾ < x_j0 ^{(2)                    )}                               
Технологический способ ۷ называется эффективным, если он принадлежит технологическому множеству V и не существует другого вектора  ν Є Vкоторый был бы предпочтительнее ۷. Приведенное определение означает, что эффективными считаются те способы, которые не могут быть улучшены ни по одной затратной компоненте, ни по одной позиции выпускаемой продукции, без того чтобы не перестать быть допустимыми. Множество всех технологически эффективных способов обозначим через V* . Оно является подмножеством технологического множества V или совпадает с ним. По существу задача планирования хозяйственной деятельности производственного объекта может быть интерпретирована как задача выбора эффективного технологического способа, наилучшим образом соответствующего некоторым внешним условиям. При решении такой задачи выбора достаточно существенным оказывается представление о самом характере технологического множества V , а также его эффективного подмножества V*                     .  
 
В ряде случаев оказывается возможным допустить в рамках фиксированного производства возможность взаимозаменяемости некоторых ресурсов (различных видов топлива, машин и работников и т.п.). При этом математический анализ подобных производств основывается на предпосылке о континуальном характере множества V , а следовательно, на принципиальной возможности представления вариантов взаимной замены при помощи непрерывных и даже дифференцируемых функций, определенных на V . Указанный подход получил свое наибольшее развитие в теории производственных функций                        .  
 
С помощью понятия эффективного технологического множества        производственную функцию можно определить как отображение       
 
y = f(x), где ν=(х;у) Є V*.                                   . 
 
Указанное отображение, вообще говоря, является многозначным, т.е. множество f(x) содержит более чем одну точку. Однако для многих реалистичных ситуаций производственные функции оказываются однозначными и даже, как сказано выше, дифференцируемыми. В наиболее простом случае производственная функция есть скалярная функция  N аргументов:  
           
y= f(x₁,…,x_N). 
 
Здесь величина y имеет, как правило, стоимостный характер, выражая объем производимой продукции в денежном выражении. В качестве аргументов выступают объемы затрачиваемых ресурсов при реализации соответствующего эффективного технологического способа. Таким образом, приведенное соотношение описывает границу технологического множества V ,поскольку при данном векторе затрат (x₁ , ..., x_N) производить продукции, в количестве большем, чем y , невозможно, а производство продукции в количестве меньшем, чем указанное, соответствует неэффективному технологическому способу. Выражение для производственной функции оказывается возможным использовать для оценки эффективности принятого на данном предприятии методе хозяйствования. В самом деле, для заданного набора ресурсов можно определить фактический выпуск продукции и сравнить его с рассчитанным по производственной функции. Полученная разница дает полезный материал для оценки эффективности в абсолютном и относительном измерении.  
 
Производственная функция представляет собой очень полезный аппарат плановых расчетов, и поэтому в настоящее время развит статистический подход к построению производственных функций для конкретных хозяйственных единиц. При этом обычно используется некоторый стандартный набор алгебраических выражений, параметры которых находятся при помощи методов математической статистики. Такой подход означает, в сущности, оценку производственной функции на основе неявного предположения о том, что наблюдаемые производственные процессы являются эффективными. Среди разнообразных типов производственных функций наиболее часто применяются линейные функции вида поскольку для них легко решается задача оценивания коэффициентов по статистическим данным, а также степенные функции  
 
 
 
 
 
для которых задача нахождения параметров сводится к оцениванию линейной формы путем перехода к логарифмам.                                             . 
В предположении о дифференцируемости производственной функции в каждой точке множества X возможных комбинаций затрачиваемых ресурсов полезно рассмотреть некоторые связанные с производственной функцией  величины.  
 
В частности, дифференциал                                        
 
 
представляет собой изменение стоимости выпускаемой продукции при переходе от затрат набора ресурсов x=(x₁ , ..., x_N) к набору x+dx=(x₁+dx₁,..., x_N+dx_N) при условии сохранения свойства эффективности соответствующих технологических способов. Тогда величину частной производной  
 
 
можно трактовать как предельную (дифференциальную) ресурсоотдачу или, иными словами, коэффициент предельной продуктивности, который показывает, на сколько увеличится выпуск продукции в связи с увеличением затрат ресурса с номером j на малую единицу. Величина предельной продуктивности ресурса допускает истолкование как верхний предел цены p_j , которую производственный объект может уплатить за дополнительную единицу j -того ресурса с тем, чтобы не оказаться в убытках после ее приобретения и использования. В самом деле, ожидаемый прирост продукции в этом случае составит  и,следовательно,соотношение позволит получить дополнительную прибыль.                                  . 
В коротком периоде, когда один ресурс рассматривается как постоянный, а другой как переменный, большинство производственных функций обладают свойством убывающего предельного продукта. Предельным продуктом переменного ресурса называют прирост общего продукта в связи с увеличением применения данного переменного ресурса на единицу.  
Предельный продукт труда можно записать как разность  
MPL = F ( K , L + 1)- F ( K , L ), где MPL предельный продукт труда. Предельный продукт капитала можно также записать как разность  
MPK = F ( K +1, L )- F ( K , L ), где  MPK  предельный продукт капитала. Характеристикой производственного объекта является также величина средней ресурсоотдачи (продуктивности производственного фактора)  
имеющего ясный экономический смысл количества выпускаемой продукции в расчете на единицу используемого ресурса (производственного фактора). Величина, обратная к ресурсоотдаче  обычно называется ресурсоемкостью, поскольку она выражает количество ресурса j , необходимое для производства одной единицы продукции в стоимостном выражении. Весьма употребительны и понятны такие термины, как фондоемкость, материалоемкость, энергоемкость, трудоемкость, рост которых обычно связывают с ухудшением состояния экономики, а их снижение рассматривается как благоприятный результат.Частное от деления дифференциальной продуктивности на среднюю     
называется коэффициентом эластичности продукции по производственному фактору j и дает выражение относительного прироста продукции (в процентах) при относительном приросте затрат фактора на 1%. Если E_j   0, то происходит абсолютное снижение выпуска продукции при увеличении потребления фактора j; такая ситуация может иметь место при использовании технологически неподходящих продуктов или режимов. Например, излишнее потребление топлива приведет к излишнему повышению температуры и необходимая для производства продукта химическая реакция не пойдет. Если 0 < E_j   1, то каждая последующая дополнительная единица затрачиваемого ресурса вызывает меньший дополнительный прирост продукции, чем предыдущая.  
Если E_j > 1, то величина приростной (дифференциальной) продуктивности превосходит среднюю продуктивность. Таким образом, дополнительная единица ресурса увеличивает не только объем выпускаемой продукции, но и среднюю характеристику ресурсоотдачи. Так процесс повышения фондоотдачи происходит, когда вводятся в действие весьма прогрессивные, эффективные машины и приборы. Для линейной производственной функции коэффициент a_j численно равен величине дифференциальной продуктивности j-того фактора, а для степенной функции показатель степени a_jимеет смысл коэффициента эластичности по j-тому ресурсу.  

2. ВИДЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 
2.1. Производственная функция Кобба-Дугласа.  
 
Первый успешный опыт построения производственной функции, как уравнения регрессии на базе статистических данных, был получен американскими учеными - математиком Д. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 году. Предложенная ими функция изначально имела вид:  
 
                   (1)где Y - объем выпуска, K - величина производственных фондов (капитал), L - затраты труда,   - числовые параметры (масштабное число и показатель эластичности). Благодаря своей простоте и рациональности, эта функция широко применяется до сих пор, и получила дальнейшие обобщения в различных направлениях. Функцию Кобба-Дугласа иногда мы будем записывать в виде 
 
 
 
Легко проверить, что    и 
 
 
Кроме того, функция  (1)  линейно-однородна: 
 
 
 
Таким образом, функция Кобба-Дугласа (1) обладает всеми вышеуказанными свойствами. 
 
Для многофакторного производства функция Кобба-Дугласа имеет вид: 
 
 
 
Для учета технического прогресса в функцию Кобба-Дугласа вводят специальный множитель (технического прогресса)  , где t - параметр времени,    - постоянное число, характеризующее темп развития. В результате функция принимает "динамический" вид:  
 
 
 
где не обязательно  . Как будет показано в следующем параграфе, показатели степени в функции (1) имеют смысл эластичности выпуска по капиталу и труду. 
2.2. Производственная функция  
CES 
(с постоянной эластичностью замещения)  
 
Имеет вид: 
 
                   (2) 
 
Где  - коэффициент шкалы,  - коэффициент распределения,    - коэффициент замещения, - степень однородности. Если выполнены условия:  
 
то функция (2) удовлетворяет неравенствам   и  . С учетом технического прогресса функция CES записывается: 
 
 
 
Название данной функции следует из того факта, что для нее эластичность замещения постоянна. 
 
2.3. Производственная функция с фиксированными пропорциями. Эта функция получается из (2) при    и имеет вид: 
 
}                                 (3) 
 
2.4. Производственная функция затрат-выпуска (функция Леонтьева) получается из (3) при  : 
 
 
 
Содержательно эта функция задает пропорцию, с помощью которой определяется количество затрат каждого вида, необходимое для производства одной единицы выпускаемой продукции. Поэтому в литературе часто встречаются другие формы записи: 
 
 
 
или 
 
 
Здесь   - количество затрат вида k, необходимое для производства одной единицы продукции, а y - выпуск. 
2.5. Производственная функция анализа способов производственной деятельности.  
 
Данная функция обобщает производственную функцию затрат-выпуска на случай, когда существует некоторое число (r) базовых процессов (способов производственной деятельности), каждый из которых может протекать с любой неотрицательной интенсивностью. Она имеет вид "оптимизационной задачи" 
 
 
 
Где                   (5) 
 Здесь   - выпуск продукции при единичной интенсивности j-го базового процесса,   - уровень интенсивности,  - количество затрат вида k, необходимых при единичной интенсивности способа j. Как видно из (5) , если выпуск, произведенный при единичной интенсивности и затраты, необходимые на единицу интенсивности, известны, то общий выпуск и общие затраты находятся путем сложения выпуска и затрат соответственно для каждого базового процесса при выбранных интенсивностях. Заметим, что задача максимизации функции f по   в (5) при заданных ограничениях-неравенствах является моделью анализа производственной деятельности (максимизация выпуска при ограниченных ресурсах). 
 
2.6. Линейная производственная функция (функция с взаимозамещением ресурсов)  
 
Применяется при наличии линейной зависимости выпуска от затрат: 
 
 
                                                                  (6) 
 
Где  - норма затрат k-го вида для производства единицы продукции (предельный физический продукт затрат). 
 
Среди приведенных здесь производственных функций наиболее общей является функция CES. 
 
Для анализа процесса производства и различных его показателей наряду с предельными продуктами, 
 
 
 
(верхние черточки обозначают фиксированные значения переменных), показывающими величины дополнительных доходов, получаемых при использовании дополнительных количеств затрат, применяются понятия средних продуктов.  
 
Средним продуктом по k-му виду затрат называется объем выпуска, приходящийся на единицу затрат k-го вида при фиксированном уровне затрат других видов: 
 
 
 
Зафиксируем затраты второго вида на некотором уровне   и сравним графики трех функций:  
 
 
 
 
 
Рис.1. Кривые выпуска. 
 
Пусть график функции    имеет три критические точки (как это показано на рис.1 ):   - точка перегиба,   - точка касания с лучом из начала координат,         - точка максимума. Эти точки соответствуют трем стадиям производства. Первая стадия соответствует отрезку   и характеризуется превосходством предельного продукта над средним:   Следовательно, на этой стадии осуществление дополнительных затрат целесообразно.                                                             Вторая стадия соответствует отрезку   и характеризуется превосходством среднего продукта над предельным: (дополнительные затраты не целесообразны). На третьей стадии     и дополнительные затраты приводят к обратному эффекту. Это объясняется тем, что   является оптимальным объемом затрат и дальнейшее увеличение их неразумно.  
 
Для конкретных наименований ресурсов средние и предельные величины приобретают смысл конкретных экономических показателей. Рассмотрим, например, функцию Кобба-Дугласа (1) , где   - капитал, а  - труд. Средние продукты  
 
 
 
 
 
имеют смысл соответственно средней производительности труда и средней производительности капитала (средней фондоотдачи). Видно, что средняя производительность труда убывает с ростом трудовых ресурсов. Это и понятно, так как производственные фонды (K) остаются неизменными, и потому вновь привлекаемая рабочая сила не обеспечивается дополнительными средствами производства, что и приводит к снижению производительности труда. Аналогичное рассуждение верно и для фондоотдачи как функции от капитала.  
Для функции (1) предельные продукты 
 
 
 
 
 
имеют смысл соответственно предельной производительности труда и предельной производительности капитала (предельной фондоотдачи). В микроэкономической теории производства считается, что предельная производительность труда   равна заработной плате (цене труда), а предельная производительность капитала   - рентным платежам (цене услуг капитальных благ). Из условия  следует, что при неизменных основных фондах (трудовых затратах) увеличение численности работающих (объема основных фондов) приводит к падению предельной производительности труда (предельной фондоотдачи). Видно, что для функции Кобба-Дугласа предельные продукты пропорциональны средним продуктам и меньше их. 
 
2.7. Изокванта и ее типы 
 
При моделировании потребительского спроса один и тот же уровень полезности различных комбинаций потребительских благ графически отображается с помощью кривой безразличия.  
 
В экономико-математических моделях производства каждая технология графически может быть представлена точкой, координаты которой отражают минимально необходимые затраты ресурсов K и L для производства данного объема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту. Таким образом, производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска.  
 
 
Рис.2. Изокванты, соответствующие различному объему производства  
На рис. 2 представлено три изокванты, соответствующие объему производства в 200, 300 и 400 единиц продукции. Можно сказать, что для выпуска 300 единиц продукции необходимо K ₁ единиц капитала и L ₁единиц труда или K ₂ единиц капитала и L ₂ единиц труда, или любая другая их комбинация из того множества, которое представлено изоквантой Y ₂ = 300.  
 
В общем случае в множестве X допустимых наборов производственных факторов выделяется подмножество  , называемое изоквантой производственной функции, которое характеризуется тем, что для всякого вектора  справедливо равенство  
 
 
 
Таким образом, для всех наборов ресурсов, соответствующих изокванте, оказываются равными объемы выпускаемой продукции. По существу изокванта представляет собой описание возможности взаимной замены факторов в процессе производства продукции, обеспечивающей неизменный объем производства. В связи с этим оказывается возможным определить коэффициент взаимной замены ресурсов, используя дифференциальное соотношение вдоль любой изокванты  
 
 
 
Отсюда коэффициент эквивалентной замены пары факторов j и k равен:  
 
 
 
Полученное соотношение показывает, что если производственные ресурсы замещаются в отношении, равном отношению приростных продуктивностей, то количество производимой продукции остается неизменным. Нужно сказать, что знание производственной функции позволяет охарактеризовать масштабы возможности осуществить взаимную замену ресурсов в эффективных технологических способах. Для достижения этой цели служит коэффициент эластичности замены ресурсов по продукции  
 
 
 
который вычисляется вдоль изокванты при неизменном уровне затрат прочих производственных факторов. Величина s_jk представляет собой характеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсов при изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсов изменится на s_jk процентов, то коэффициент взаимной замены sjk изменится на один процент. В случае линейной производственной функции коэффициент взаимной замены остается неизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать, что эластичность s _jk = 1. Соответственно большие значения s_jk свидетельствуют о том, что возможна большая свобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основные характеристики производственной функции (продуктивности, коэффициент взаимозамены) будут меняться очень слабо.  
 
Для степенных производственных функций для любой пары взаимозаменяемых ресурсов справедливо равенство s _jk = 1. В практике прогнозирования и предплановых расчетов часто используются функции постоянной эластичности замены (СЕS), имеющие вид:  
 
 
 
Для такой функции коэффициент эластичности замены ресурсов  
 
 
 
и не меняется в зависимости от объема и отношения затрачиваемых ресурсов. При малых значениях s _jk ресурсы могут заменять друг друга лишь в незначительных размерах, а в пределе при s _jk = 0 они теряют свойство взаимозаменяемости и выступают в процессе производства лишь в постоянном отношении, т.е. являются взаимодополняющими. Примером производственной функции, описывающей производство в условиях использования взаимодополняющих ресурсов, является функция выпуска затрат, которая имеет вид  
 
 
 
где a _j постоянный коэффициент ресурсоотдачи j -того производственного фактора. Нетрудно видеть, что производственная функция такого типа определяет выпуск по узкому месту на множестве используемых производственных факторов. Различные случаи поведения изоквант производственных функций для различных значений коэффициентов эластичности замены представлены на графике (рис. 3).  
 
Представление эффективного технологического множества с помощью скалярной производственной функции оказывается недостаточным в тех случаях, когда нельзя обойтись единственным показателем, описывающим результаты деятельности производственного объекта, но необходимо использовать несколько (М) выходных показателей. В этих условиях можно использовать векторную производственную функцию  
 
 
 
 
 
Рис. 3. Различные случаи поведения изоквант  
 
Важное понятие предельной (дифференциальной) продуктивности вводится соотношением  
 
 
 
Аналогичное обобщение допускают все остальные главные характеристики скалярных производственных функций.  
 
Подобно кривым безразличия изокванты также подразделяются на различные типы.  
 
Для линейной производственной функции вида  
 
 
 
где Y объем производства; A , b ₁ , b ₂ параметры; K , L затраты капитала и труда, и полном замещении одного ресурса другим изокванта будет иметь линейную форму (рис. 4).  
 
Для степенной производственной функции  
 
 
 
изокванты будут иметь вид кривых (рис. 5).  
 
Если изокванта отражает лишьодин технологический способ производства данного продукта, то труд и капитал комбинируются в единственно возможном сочетании (рис. 6).  
 

 
 
 
 
                        Рис. 6. Изокванты при жесткой дополняемости      ресурсов  
 
Рис. 7. Ломаные изокванты  
Такие изокванты иногда называют изоквантами леонтьевского типа по имени американского экономиста В.В. Леонтьева, который положил такой тип изокванты в основу разработанного им метода inputoutput (затраты выпуск).  
 
Ломаная изокванта предполагает наличие ограниченного количества технологий F(рис. 7).  
 
Изокванты подобной конфигурации используются в линейном программировании для обоснования теории оптимального распределения ресурсов. Ломаные изокванты наиболее реалистично представляют технологические возможности многих производственных объектов. Однако в экономической теории традиционно используют главным образом кривые изокванты, которые получаются из ломаных при увеличении числа технологий и увеличении соответственно точек излома.  
 
 
3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ.       

3.1 Моделирование издержек  и прибыли предприятия  (фирмы) 
 
В основе построения моделей поведения производителя (отдельного предприятия или фирмы; объединения или отрасли) лежит представление о том, что производитель стремится к достижению такого состояния, при котором ему была бы обеспечена наибольшая прибыль при сложившихся рыночных условиях, т.е. прежде всего при имеющейся системе цен.  
 
Наиболее простая модель оптимального поведения производителя в условиях совершенной конкуренции имеет следующий вид: пусть предприятие (фирма) производит один продукт в количествеy физических единиц. Если p экзогенно заданная цена этого продукта и фирма реализует свой выпуск полностью, то она получает валовой доход (выручку) в размере  
 
 
 
В процессе создания этого количества продукта фирма несет производственные издержки в размере C (y). При этом естественно считать, что C'(y) > 0, т.е. издержки возрастают с увеличением объема производства. Также обычно полагают, что C'' (y) > 0. Это означает, что дополнительные (маргинальные) издержки на производство каждой дополнительной единицы продукции возрастают по мере увеличения объема производства. Это предположение связано с тем, что при рационально организованном производстве, при малых объемах могут быть использованы лучшие машины и высококвалифицированные работники, которых уже не окажется в распоряжении фирмы,когда объем производства вырастет. Производственные издержки состоят из следующих составных частей:  
 
1) материальные затраты C _m , в число которых входят расходы на сырье, материалы, полуфабрикаты и т.п.  
 
Разность между валовым доходом и материальными затратами называется добавленной стоимостью (условно чистой продукцией):  
 
 
 
2) расходы на оплату труда C _L ;  
 
 
Рис. 8. Линии выручки и издержек предприятия  
3) расходы, связанные с использованием, ремонтом машин и оборудования, амортизация, так называемая оплата услуг капитала C _k ;  
 
4) дополнительные расходы C _r , связанные с расширением производства, строительством новых зданий, подъездных путей, линий связи и т.д.  
 
Совокупные производственные издержки:  
 
 
 
Как уже было отмечено выше,  
 
 
 
однако эта зависимость от объема выпуска (у) для разных видов издержек различна. А именно имеют место:  
 
а) постоянные расходы C ₀ , которые практически не зависят от y , в т.ч. оплата административного персонала, аренда и содержание зданий и помещений, амортизационные отчисления, проценты за кредит, услуги связи и т.п.;  
 
б) пропорциональные объему выпуска (линейные) затраты C ₁ , сюда входят материальные затраты C _m , оплата труда производственного персонала (часть C_L), расходы по содержанию действующего оборудования и машин (часть C _k ) и т.п.:  
 
 
 
где а обобщенный показатель затрат указанных видов в расчете на одно изделие;  
 
в) сверхпропорциональные (нелинейные) затраты С ₂ , в составе которых выступают приобретение новых машин и технологий (т.е. затраты типа С _r), оплата сверхурочного труда и т.п. Для математического описания этого вида затрат обычно используется степенная зависимость  
 
 
 
Таким образом, для представления совокупных издержек можно использовать модель  
 
 
 
(Заметим, что условия C' ( y ) > 0, C'' ( y ) > 0 для этой функции выполнены.)  
 
Рассмотрим возможные варианты поведения предприятия (фирмы) для двух случаев:  
 
1. Предприятие имеет достаточно большой резерв производственных мощностей и не стремится к расширению производства, поэтому можно полагать, что C ₂ = 0 и совокупные издержки являются линейной функцией объема выпуска :  Прибыль составит      
 
Очевидно, что при малых объемах выпуска  
фирма несет убытки, так как П < 0.  
 
Здесь y _w точка безубыточности (порог рентабельности), определяемая соотношением   
 
Если y > y _w , то фирма получает прибыль, и окончательное решение об объеме выпуска зависит от состояния рынка сбыта производимой продукции (см. рис. 8).  
 
2. В более общем случае, когда С ₂ 0, имеются две точки безубыточности  и   причем положительную прибыль фирма получит, если объем выпуска y удовлетворяет условию  
 
 
 
На этом отрезке в точке  достигается наибольшее значение прибыли. Таким образом, существует оптимальное решение задачи о максимизации прибыли. В точке А , соответствующей издержкам при оптимальном выпуске, касательная к кривой издержек С параллельна прямой линии дохода R .  
 
Следует заметить, что окончательное решение фирмы также зависит от состояния рынка, но с точки зрения соблюдения экономических интересов ей следует рекомендовать оптимизирующее значение выпуска (рис. 9).  
 
 
Рис. 9. Оптимальный объем выпуска  
 
По определению прибылью считается величина  
 
 
 
Точки безубыточности  и  определяются из условия равенства прибыли нулю, а максимальное ее значение достигается в точке  которая удовлетворяет уравнению  
 
или   
 
Таким образом, оптимальный объем производства характеризуется тем, что в этом состоянии маргинальный валовой доход (R(y)) в точности равен маргинальным издержкам C ( y ).  
 
В самом деле, если y <  ,то R (y) > C (y), и тогда следует увеличить выпуск продукции, поскольку ожидаемый дополнительный доход превысит ожидаемые дополнительные издержки. Если же y >  , то R (y) < C (y), и всякое увеличение объема уменьшит прибыль, поэтому естественно рекомендовать уменьшить объем производства и придти в состояние y =   (рис. 10).  

 
Рис. 10. Точка максимума прибыли и зона безубыточности  
 
 
 
 
Нетрудно видеть, что при увеличении цены (р) оптимальный выпуск, а также прибыль увеличиваются, т.е.  
 
 
 
Это верно также и в общем случае, так как  
 
 
 
Пример. Фирма производит сельскохозяйственные машины в количестве у штук, причем объем производства в принципе может изменяться от 50 до 220 штук в месяц. При этом естественно увеличение объема производства потребует увеличения затрат как пропорциональных, так и сверхпропорциональных (нелинейных), поскольку потребуется приобрести новое оборудование и расширить производственные площади.  
 
В конкретном примере будем исходить из того, что общие издержки (себестоимость) на производство продукции в количестве у изделий выражаются формулой  
 
C ( y ) = 1000 + 20 y + 0,1 y ² (тыс. руб.).  
 
Это означает, что постоянные издержки  
 
C ₀ = 1000 (т. руб.),  
 
пропорциональные затраты  
 
C ₁ = 20 y ,  
 
т.е. обобщенный показатель этих затрат в расчете на одно изделие равен: а = 20 тыс. руб., а нелинейные затраты составят C ₂ = 0,1 y ² ( b = 0,1).  
 
Приведенная выше формула для издержек является частным случаем общей формулы, где показатель h = 2.  
 
Для нахождения оптимального объема производства воспользуемся формулой точки максимума прибыли (*), согласно которой имеем:  
 
 
 
Совершенно очевидно, что объем производства, при котором достигается максимальная прибыль, весьма существенно определяется рыночной ценой изделия p .  
 
В табл. 1 представлены результаты расчета оптимальных объемов при различных значениях цены от 40 до 60 тыс. рублей за изделие.  
 
В первом столбце таблицы фигурируют возможные объемы выпуска у , второй столбец содержит данные о полных издержках С (у), в третьем столбце представлена себестоимость в расчете на одно изделие:  
 
 
Таблица 1 
 
Данные об объемах выпуска, затратах и прибыли