Суть регрессионного анализа

План.

1.Суть регрессионного  анализа.

2.Построение модели.

3.Проверка адекватности  однофакторного регрессионного  уравнения.

3.1.Анализ показателей  качества подгонки регрессионного  уравнения.

3.2.Проверка гипотез  относительно параметров регрессионного  уравнения. 

3.3.Проверка выполнения  условий для получения «хороших  оценок» МНК.

3.4.Содержательный анализ  регрессионного уравнения.

4.Построение степенной,  показательной и гиперболической  моделей.

4.1.Степенная модель.

4.2.Показательная модель.

4.3.Гиперболическая модель.

5.Сводная таблица вычислений

6.Расчет прогнозного  значения результативного признака. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Суть регрессионного анализа

Поведение и значение любого экономического показателя зависят практически от бесконечного количества факторов, и все их учесть нереально. Однако обычно лишь ограниченное количество факторов действительно существенно воздействует на исследуемый экономический показатель. Доля влияния остальных факторов столь незначительна, что их игнорирование не может привести к существенным отклонениям в поведении исследуемого объекта. В естественных науках большей частью имеют дело со строгими (функциональными) зависимостями, при которых каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой. Однако в подавляющем большинстве случаев между экономическими переменными таких зависимостей нет. Поэтому в экономике говорят не о функциональных, а о корреляционных либо статистических зависимостях.

Если переменные обозначить Х и Y, то зависимость вида:

                                          (1.1) 

называется функцией регрессии Y на X. При этом X называется независимой (объясняющей) переменной (прегрессором), Y – зависимой (объясняемой) переменной. При рассмотрении двух случайных величин говорят о парной регрессии. Решение задачи построения качественного уравнения регрессии, соответствующего эмпирическим данным и целям исследования, является достаточно сложным и многоступенчатым процессом. Его можно разбить на три этапа:

1) выбор формулы уравнения  регрессии;

2) определение параметров  выбранного уравнения;

3) анализ качества  уравнения и поверка адекватности  уравнения эмпирическим данным, совершенствование уравнения.

 

 

2. Построение модели.

 Для построения  однофакторного регрессионного уравнения были выбраны следующие показатели: зависимая переменная (y) – внешнеторговый оборот России и независимая переменная (x) - экспорт.  Анализируемый период: 2009г. Данные были взяты из сайта внешней торговли «Россия – Экспорт - Импорт» www.rusimpex.ru.

 Целью данной лабораторной  работы является анализ зависимости  между выпуском продукции и  ее затратами: 

• построение моделей зависимости и график;
• проверка адекватности однофакторного регрессионного уравнения.

Допустим, зависимость между оборотом и экспортом существует и эта зависимость регрессионная. Если учесть, что среднее значение случайной переменной - это математическое ожидание, то общий вид регрессионного уравнения может быть записан в таком виде:

М(y(x))=f(x), где М(y(x)) – математическое ожидание случайной переменной у при заданном значении х.

Частным случаем однофакторного регрессионного уравнения является линейная модель, которая имеет следующий  вид, , где у_i – объясняемая (зависимая) переменная; х -объясняющая (независимая) переменная; а- некоторая постоянная; в- отражает наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдения и характеризует процентные изменения у при изменении значения х на единицу.

Если знак при в больше нуля, то переменные проявляют прямую зависимость, если меньше нуля, то обратную.

Для статистической проверки взаимосвязи х и у необходимо найти коэффициенты а и в, и случайную компоненту Е методом наименьших квадратов при расчете парметров находят линию минимизирующую сумму квадтатов случайных компонентов или минимизирующую расхождение между фактическими и расчетными значениями y,то есть Е = у_i -  yрасч

Коэффициенты а и в найдем по следующим формулам:

â= = 1,52

= = 1,50

 Найдя значения а и в можно выразить зависимость между х и у и построить график. (рис. 1).

Зависимость между выпуском продукции и ее затратами можно представить в виде: урасч = а+вх = 186,09 +0,4902х

Рис.1. График линейной модели.

3. Проверка  адекватности ОРУ.

3.1. Анализ показателей качества  подгонки регрессионного уравнения.

Значение коэффициентов парной корреляции лежит в интервале от -1 до +1. его положительное значение свидетельствует о прямой связи, отрицательное – об обратной, т.е. когда растет одна переменная, другая уменьшается. Чем ближе значение к 1, тем теснее связь. Связь считается достаточно сильной, если коэффициент корреляции по абсолютной величине превышает 0,7, и слабой, если меньше 0,4. При равенстве его нулю связь полностью отсутствует. Это коэффициент дает объективную оценку тесноты связи лишь при линейной зависимости переменных.

Первым показателем качества подгонки является остаточная дисперсия.

s = = 2,2407

 

Следующий показатель качества подгонки – это коэффициент детерминации R-квадрат, на основании которого возможно сопоставление различных уравнений. Он показывает долю вариации результативного признака, находящего под воздействием изучаемых факторов.

R =1- = 0,9506

На практике также используют коэффициент корреляции rxy, который показывает степень связи между переменными. В отличие от коэффициента детерминации он характеризует силу и направление линейной связи между переменными.

r = = 0,9750.

 

В нашем случае r находится в промежутке от -1 до +1, следовательно, линейная связь существует и она положительна.

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

;

Он показывает на сколько  процентов измениться результативный признак y при изменении факторного признака х на один процент.

Бета – коэффициент рассчитывается по формуле:

; где и -средние квадратические ошибки выборки величин и соответственно.

;

;

Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднеквадратического  отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

3.2. Проверка гипотез относительно  параметров регрессионного уравнения.

Приведенные показатели качества подгонки не позволяют принять  статистическое решение о пригодности  регрессинного уравнения, хотя и дают некоторое представление о качестве подгонки.

Такие решения принимаются  на основе статичтических критериев, применяемых  в различных гипотезах

Одним из таких критериев  является F-статистика. Выполняется сравнение Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Если табличное значение меньше фактического, то признается статистическая значимость и надежность характеристик, если наоборот, то признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии:

F= = 153,94

Определим F табличное:

F =F =11,26

Так как F расч. > Fтабл., то связь между оборотом и экспортом существует с вероятностью 99%.

Рассчитаем t-критерий Стьюдента, применяемый для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции. Если табличное значение показателя меньше фактического, то значения коэффициентов не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х, Если наоборот, то признается случайная природа формирования коэффициентов.

t = , где = 12,4072

 

t = 1,5048/12,4072= 12,4072, а t =t =3,355.

Так как tрасч по модулю больше tтабл, то в не равно 0, т.е. экспорт  влияет на оборот продукции существенно.

3.3. Проверка выполнения условий  для получения «хороших оценок»  МНК.

1. М(Еi)=0.

М(Е )= =0,004. Отсюда следует, что первое условие выполняется.

3. Среди основных условий регрессий присутствует следующее условие

=const. Одним из критериев выполнения этого условия является то, что величина F подчиняется F-распределению со степенями свободы n1=n/2-1 и n2=n/2-1.

 Fтабл.=15,98

        Fрасч=0,729

С вероятностью 99% условие 2 выполняется, т.к. Fрасч меньше Fтабл.

3. Следующим условием  определения «хороших оценок»  коэффициентов регрессии является  отсутствие зависимости между случайными компонентами. Выполнение этого условия можно проверить с помощью критерия Дарвина-Уотсена, вычисляемого по следующей формуле:

D-W= = 39,2793/17,9253= 2,1913

 

Так как d расч больше 2, то это значит, что гипотеза об отсутствии автокорреляции не принимается. Таким образом, условия «хороших оценок» не выполняются.

Рассчитаем также среднюю  относительную ошибку Е .

Е = = 3,2437

Так как, Е . больше 15%, то модель построена на низшем уровне точности.

3.4. Содержательный  анализ регрессионного уравнения.

Результатом работы стало построение модели зависимости между экспортом и оборотом в 2009г.

Линейная зависимость  имеет вид: у= 1,5204+1,5048х+Е , в соответствии с которой строится график.(рис.1)

Показатели качества подгонки свидетельствуют о соответствии расчетных значений фактическим.

Так как R-квадрат =0,9506 ,то есть он ближе к 1 , это говорит о соответствии регрессионного уравнения корреляционному коэффициенту и существовании связи между экспортом и оборотом.

В ходе выполнения работы были выдвинуты следующие гипотезы:

• Гипотеза об отсутствии линейной связи. Было найдено значение F-статистики, по результатам сравнения найденного значения с табличным она была отвергнута с вероятностью 99%.
• Гипотеза о несущественном влиянии х на у. В результате расчетов она гипотеза была опровергнута с вероятностью 95%.

 При проверки «хороших свойств» коэффициентов регрессии были выдвинуты следующие гипотезы:

1.М(Е )=0.

2.О постоянстве дисперсии. Проверка показала, что условие выполняется.

3.Автокорреляция присутствует.

Таким образом, использовать полученную линейную модель для описания связи между экспортом и оборотом не желательно.

4.Построение степенной,  показательной и гиперболической  моделей.

Для характеристики зависимости у от х построим теперь степенную, показательную и гиперболическую модели.

4.1. Степенная модель.

Степенная модель имеет  следующий вид: .Чтобы ее линеализировать мы ее логарифмируем. Получаем . Произведем замену: lgy=Y, lga=A, lgx=X. Отсюда мы имеем Y=A+вX.

Рассчитаем коэффициенты для данной модели и построим график. (рис. 2.)

a=0,2427

b=0,9657

s = = 0,0003

 r = =  0,9740

 

;

;

F= = 147,97

t = 12,1641

D-W= = 2,0714

Е = = 0,9228

 

Рис.2. График степенной  модели.

 

4.2. Показательная модель.

 Показательная модель  имеет вид у=а*в^х, также логарифмируем  ее:

lgy=lga+xlgb. Заменяем lgy=Y, lga=A, lgb=B.

В итоге получаем уравнение Y=A+Вх. Рассчитываем неизвестные элементы:

a=1,139

b=0,018

r = =  0,9687

s = = 0,0004

 

;

;

F= = 121,8375

t = 11,038

D-W= = 0,0794

Е = = 0,9694

 

Вычисляем показатели качества подгонки и строим графики (рис.3):

Рис.3. График показательной модели

3. Гиперболическая модель.

Гиперболическая модель имеет вид  .

Произведем замену , получаем . Сделаем расчеты:

a=71,3697

b=-787,9679

Вычисляем показатели качества подгонки и строим график (рис.4.):

r = =  -0,9679

s = = 2,8651

 

;

;

F= = 118,6436

t = -10,8924

D-W= = -10,8924

Е = = 3,5538