Формы мышления

Операция сложения представляет собой  объединение объемов двух и более  понятий, даже если они и не совпадают  между собой. Объединив объем  понятий 
«юноши» и «девушки» получаем некоторую область, отражающую признаки того и другого в общем понятии «молодежь».

Операция умножения заключается  в отыскании области, которая  обладает свойствами как одного, так  и другого понятия. Умножение  понятий «юноша» и 
«спортсмен» выявляет область юношей, являющихся спортсменами, и наоборот.

Вычитание объема одного понятия из другого дает усеченную область  объема. Вычитание возможно только между совместимыми понятиями, а  именно с пересекающимися и подчиненными понятиями. Вычитая из объема понятия  «юноша» объем понятия «спортсмен»  дает уже несколько иную область.

Обобщение в логике является методом, а так же операцией над понятиями. 
Как операция оно состоит в увеличении объема исходного понятия, а именно в переходе от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом за счет уменьшения содержания исходного понятия. Так обобщением будет переход от понятия «юноша» к понятию «человек», естественно содержание исходного понятия уменьшилось.

Обратная операция обобщению –  ограничение. Соответственно это переход  от понятия с большим объемом  к понятию с меньшим объемом. Оно совершается, как правило, путем  прибавления к исходному понятию  одного или нескольких новых признаков. Например, к содержанию понятия «житель  города 
Новосибирска» можно прибавить еще один признак «житель Октябрьского района города Новосибирска». Продолжать эту операцию можно до тех пор, пока не сформируется единичное понятие о конкретном человеке. В операции обобщение уловить суть предельного понятия несколько сложнее, оно будет являться философской категорией («юноша», «человек», «примат», «млекопитающее», 
«позвоночное», «живой организм», «материя»). Поэтому, на мой взгляд, проделать операцию ограничения несколько проще.

Деление – логическая операция, раскрывающая объем исходного понятия на виды, группы, классы. По единому признаку. В делении существует делимое  понятие, основание и члены деления. Основанием деления служит общий  признак для всех членов деления. Например, один рубль можно расчленить на копейки. 
Но деление это особое расчленение, каждый член как составная часть объема понятия должен сохранять признак делимого. Одна копейка в отдельности не составляет рубля. Если разделить понятие «рубль», то можно получить «рубль металлический» и «рубль бумажный», полученные понятия полностью сохраняют свойства делимого понятия. Делению поддаются общие понятия, единичные понятия, объемы которых индивидуальны, разделить невозможно.

Определение – логическая операция, раскрывающая содержание понятия, а  именно это перечисление существенных и отличительных признаков предмета, которые отражают мысль о нем. Например, «гепатит - инфекционное заболевание, передающиеся воздушно-капельным путем». Следует заметить, что определение  не должно быть отрицательным, так как  отрицание не раскрывает сущности предмета, не перечисляет существенные признаки. Последовательным переходом от определения  понятия будет рассмотрение суждений.

Таким образом, выше было рассмотрено  понятия как наиболее простейшая формы мысли, состоящей из объема и содержания.

2.Доказательство  и опровержение.

Тема о доказательстве занимает в курсе логики особо важное место. В ней объединяются все рассмотренные  ранее логические формулы и законы логики, правильное соблюдение которых  обеспечивает логически стройную и  последовательную мысль.

По форме доказательство представляет собой процедуру, с помощью которой устанавливается истинность какого-либо утверждения. Доказательствами пользуются как в научной, так и в повседневной практике. Всем и каждому хорошо известны такие выражения, как «докажите, что...», «покажите, что...» и им подобные; они побуждают нас к напряжению мысли и духа, являются непременными атрибутами доказательного процесса.

Общий смысл, сущность доказательства состоит в том, что мы определенным образом соотносим высказанное  в утверждении с действительным положением вещей или с другими  утверждениями, истинность которых  уже не вызывает сомнений. Например, в одних случаях истинность утверждений  достигается с помощью физического, химического, биологического и т.п. экспериментов, результаты которых  соответствуют или не соответствуют  высказанным суждениям, и таким  образом служат доказательством  или опровержением выдвинутого  утверждения. Иногда для подтверждения  нашей мысли бывает достаточно простого наблюдения фактов: если мы говорим  «Идет дождь», достаточно выглянуть  в окно и убедиться в этом.

В других случаях, когда наблюдение и эксперимент невозможны, мы прибегаем  к другим истинным утверждениям и  из них выводим истинность нашего суждения. 
В связи с этим выделяют два пути установления истины, два способа доказательства: 1) непосредственный способ; 2) опосредованный способ.

Непосредственный способ установления истины состоит в том, что в процессе практических действий осуществляется соотнесение утверждаемого с фактическим положением вещей. Видами таких практических действий могут быть наблюдения, эксперименты, демонстрация, измерения и другие эмпирические процедуры. Например, еще в школе на уроках физики учитель прибегал к доказательству истинности законов механики к демонстрации опытов, в которых эти законы наглядно проявлялись ( допустим, это был второй закон Ньютона F = ma, или закон расширения металлических тел при нагревании). Во всех этих случаях важную роль играют органы чувств.

Опосредованный способ установления истины будет состоять в отыскании и демонстрации соотнесенности нуждающегося в доказательстве утверждения с известными уже истинными положениями. Органы чувств здесь не имеют такого значения, как в предыдущем случае; зато важную роль играет абстрактное мышление, так как нам важно показать, что связь между доказываемым утверждением и другими истинными утверждениями, используемыми для доказательства, имеет необходимый характер. Например, достаточно показать, что утверждение А является логическим следствием из истинных утверждений В и С, чтобы истинность А считать установленной. Для этого мы прибегаем к умозаключениям, которые показывают, каким образом А может следовать из В и С.

Опосредованные доказательства особенно широкое применение получили в науке, там, где объекты находятся вне  пределов наших возможностей наблюдать  и экспериментировать или когда  природа объектов  принципиально исключает эмпирические процедуры познания. Например, в теоретической астрономии многие истинные положения являются результатом умозаключений (хотя при этом используется и большой фактический материал, полученный путем наблюдения за объектами); это можно сказать и о теоретической физике, биологии, археологии и др.науках. Особенно это характерно для математических наук, где абстрактные объекты принципиально не допускают экспериментальной проверки.Поэтому единственным путем установления их истинности является их доказательства по правилам умозаключений на основании уже доказанных истинных утверждений.

Логика описывает прежде всего опосредованные способы  установления истинности суждений. Главное внимание уделяется доказательствам, основанным на дедуктивных умозаключениях; они-то прежде всего и называются доказательствами.

Что же такое доказательство? 
Доказательство есть логическая процедура установления истинности какого-либо утверждения при помощи других утверждений, истинность которых уже установлена.

При доказательстве ход мысли имеет  различную направленность. Если необходимо доказать некоторое суждение А, то иногда это делают путем подбора таких истинных суждений В, С, Д... и т.д., из которых А выводится как логическое следствие. Этот ход мысли – от следствия к основанию – называется регрессивным. Иногда только с ним и связывают понятие доказательства, используя для его обозначения специальный термин: обоснование. В таком случае говорят, что утверждение А обосновано (доказано), если имеется хотя бы одно истинное утверждение В, из которого А получается как следствие по соответствующим правилам.

Наряду с регрессивным ходом  мысли существует прогрессивный, то есть такой, при котором мысль идет от основания к следствию. Этот ход мысли называют также выведением ибо используется он, главным образом, в тех случаях, когда необходимо получить все следствия из данного утверждения.

Между указанными двумя направлениями  мысли существует глубокая связь: они  взаимно дополняют друг друга  и поэтому полное понятие доказательства охватывает их оба. Как правило при обосновании некоторого утверждения в теории подборка основания осуществляется из совокупности уже сформулированных утверждений, что дает возможность обнаружить строгие логические связи между различными по содержанию положениями теории, представить ее как единое целое.

При выведении следствий возможно по правилам дедуктивных умозаключений  получить новые, прежде неизвестные  в науке положения, которые являются истинными и не требуют практической проверки.

Доказательства , используемые в науке, как правило имеют сложную структуру и состоят из умозаключений различных видов. Все они соединены в определенной последовательности таким образом, что следствие одного умозаключения является посылкой следующего умозаключения и т.д. В весьма сложных и разветвленных доказательствах одни и те же посылки и промежуточные заключения в качестве посылок могут применятся по несколько раз.

Значение доказательства в науке. 
Степень зрелости и развитости науки и научного мышления непосредственно определяется уровнем использования в них доказательств, с помощью которых обосновывается истинность одних и доказывается ложность других утверждений. Доказательства позволяют нам избавится от заблуждений и открывают простор научному творчеству. Благодаря им догадки, гипотезы и др. научные предположения становятся строгими и обоснованными выводами, пополняющими сокровищницу научных истин.

Процесс научного открытия не есть простое  и чистое озарение ума, он необходимо связан с доказательством. История  науки знает множество фактов, когда научные открытия рождались  «на кончике пера», т.е. получались как следствие весьма сложных  умозаключений и логического  обоснования предположений. Например, великий русский ученый Д.И. Менделеев, используя открытый им периодический закон, теоретически обосновал существование ряда элементов, неизвестных прежде, и даже дал описание их свойств. Впоследствии эти элементы действительно были обнаружены и их свойства с большой точностью соответствовали свойствам, представленным и обоснованным Д.И. Менделеевым.

Значительная роль доказательств  и в процессе построения научной  теории. Устанавливаемая с их помощью  связь между различными утверждениями  данной науки позволяет выявить  ее логическую структуру. Большое значение технике доказательств придавалось уже в древности. Примером может служить теория силлогизмов Аристотеля и геометрия Эвклида. Они оказали сильное влияние на развитие научной теории на протяжении многих веков. Например, метод доказательства, применяемый в Эвклидовой геометрии вплоть до середины XIX в. считался образцом дедукции и логической строгости. Его широко использовали в математических науках и даже пытались распространить на другие науки.

Несмотря на относительно высокие  логические достоинства этого метода, он обладал в то же время рядом  недостатков. Положение считалось  доказанным, если доказуемое утверждение  обосновывалось с помощью ряда положений, обладающих наибольшей очевидностью. Критерий очевидности, при этом, применялся широко: он распространялся как на утверждения, так и на саму процедуру  доказательства, строение которого было недостаточно проанализировано логически. Критерий очевидности ставил доказательство в зависимость от субъективных способностей человека: то, что одному казалось очевидным, другому представлялось весьма сложным  и требующим специального доказательства. Тот же постулат о двух параллельных прямых, который в древности считался очевидным, позже многие видные математики подвергали его сомнению и требовали  особого доказательства. Очевидность, или интуитивная ясность, привносила с собой в доказательство недостаточную  логическую строгость. Нередко случалось, что очевидные (интуитивные) посылки  при более глубоком анализе оказывались  несовместимыми с ходом доказательства и могли приводить к затруднениям. История математики знает немало примеров, когда несовершенство доказательных  процедур приводило к ошибочным  результатам.

С конца XIX в. в логике формируется понятие формального доказательства, которое заменяет собой старое. Оно характеризуется сведением до минимума ссылок на интуитивную очевидность при осуществлении доказательства и возрастанием роли логических критериев. При доказательстве используются только те утверждения, которые необходимы для его проведения, остальные устраняются. С помощью логических средств исключается возможность присутствия невыявленных посылок. Формальное доказательство широко используется в аксиоматических теориях, то есть таких, в которых из небольшого числа начальных истинных утверждений (аксиом) выводятся все остальные истинные утверждения этой теории. Суть такого вывода на основе формального доказательства состоит в следующем: сначала применяют правила вывода к аксиомам и получают из них новые утверждения, непосредственно выводимые из аксиом. Затем те же правила применяют к новым утверждениям или совместно к новым утверждениям и аксиомам и получают другие утверждения и т.д. Если после конечного числа применений правил вывода (их называют шагами доказательства) приходят к данному утверждению, то говорят, что оно формально доказано. Формальным такое доказательство называется потому, что на время оно отвлекается от конкретного значения участвующих в доказательстве положений, то есть от того, что в них утверждается. Это дает возможность широко применять специальные символы – искусственный язык, – которыми заменяют отдельные положения доказательства. Оно становится проще, четче проявляется его логическая структура, оно легче поддается контролю.