Формы мышления

В настоящее время формальное доказательство широко применяется в различных  разделах современной логики и математики. Они являются необходимым методом  анализа в тех случаях, когда  требуется выявить структуру  умозаключений там, где были использованы неформальные доказательства.

В структуре формального и неформального  доказательства выделяют следующие  элементы:тезис, аргументы и форму (демонстрацию). 
Тезисом доказательства называют то утверждение, которое подлежит доказательству. В формальных доказательствах, а также в некоторых науках, использующих дедуктивные процедуры, доказываемое утверждение именуют теоремой. Тезис  является логически центральным элементом в доказательстве. Аргументы – это положения, которые используются для доказательства данного тезиса. Поскольку аргументы суть не истинные утверждения, которые определяют истинность тезиса, их называют иногда основаниями доказательства. В формальных доказательствах они именуются посылками.

В качестве аргументов могут быть: утверждения, истинность которых доказана ранее, - таковыми являются теоремы, законы и другие научные положения; аксиомы; определения и утверждения, содержащие высказывания о фактах. При доказательстве данного тезиса может быть использовано произвольное, но конечное число аргументов. Они могут принадлежать к утверждениям любого типа. Так, например, доказательства в геометрии основываются на аксиомах, определениях и вспомогательных  утверждениях, доказанных ранее.

Аргументы доказательства всегда находятся  в определенной связи между собой, а также с тезисом. Способ этой связи называется формой доказательства или демонстрацией.Аргументы соединяются в умозаключения различного вида, последние соединяются в цепочку таким образом, что ее конечным звеном является тезис данного доказательства. Следовательно, форма доказательства показывает логическую последовательность перехода от основания к тезису.

Рассмотрим пример доказательства тезиса: «Полученный в лаборатории  металл не является натрием». Для этого доказательства мы располагаем рядом аргументов: (1) «Все щелочные металлы разлагают воду при комнатной температуре», (2) «Натрий – щелочной металл», (3) «Полученный в лаборатории металл не разлагает воду при комнатной температуре». Все эти утверждения (здесь они выступают в качестве аргументов) являются истинными, при чем способ установления истинности  для каждого из аргументов различный. Аргумент (3) истинен на основе непосредственного доказательства путем наблюдения; аргумент (1) может являться итогом индуктивного обобщения результатов некоторого опыта, и только аргумент (2) может быть результатом некоторого силлогистического умозаключения. Процедура доказательства будет состоять в построении двух силлогистических умозаключений; одно из них даст следствие, которое будет использовано как посылка (то есть явится аргументом доказательства) во втором силлогистическом умозаключении:

Из нашего примера  видно, что тезис доказывается с  помощью четырех аргументов. Они  соединяются в два силлогизма таким образом, что следствие  одного является посылкой другого. Тезис  получается как следствие из этих силлогизмов по свойственным им правилам.

Доказательства различаются прежде всего по их цели, по отношению доказывающего к выдвинутому тезису. Можно подтвердить истинность тезиса и доказать его ложность.Подтверждение тезиса часто называют доказательством, а опровержение синонима не имеет. Следовательно, существуют два рода доказательства: подтверждение и опровержение тезиса.

Целенаправленность доказательства является исходным основанием деления  всех доказательств. Оно предопределяет все построение и характер дальнейшего  рассуждения. Цель его определяется не произвольно, а в зависимости  от содержания обосновываемого положения. Не соответствующий действительности тезис невозможно подтвердить, как  нельзя опровергнуть истинный тезис.

Выбор способа доказательства тоже в значительной мере зависит от содержания тезиса, однако связь эта неоднозначна: любое положение можно аргументировать  различным способом в зависимости  от характера оснований или соображений  доходчивости, ясности и убедительности.

По способу аргументации  все доказательства делятся на два вида -прямые и косвенные. Прямое доказательство заключается в выведении из основания по определенным правилам умозаключения истинности или ложности данного тезиса. При косвенном доказательстве обосновывается ложность антитезиса и отсюда устанавливается истинность тезиса или, наоборот, его ложность.

Рассмотрим оба вида доказательства несколько подробнее.

В прямом доказательстве в цепочке  умозаключений последним звеном будет являться доказываемый тезис. Например, доказательства того, что 2004 год будет годом високосным основано на последовательности таких рассуждений: 1) високосным годом называется год, числовое выражение которого делится  на 4; 2) (2004/4=501), следовательно, 2004 год  будет високосным. Нетрудно увидеть, что вывод был сделан на основании  определения (что такое високосный год) и одного истинного утверждения (2004 делится на 4), принятых в качестве основания нашего доказательства.

Бывает, что прямое доказательство по какой-либо причине неосуществимо. В таких случаях прибегают  к косвенным доказательствам, именуемым  иногда «доказательством от противного»  или «апагогическим», то есть «отводящими». Главной особенностью косвенного доказательства является то, что непосредственно  доказывается не тезис, а его отрицание  – антитезис, причем доказательство устанавливает ложность последнего. Затем на основе закона исключенного третьего необходимо заключают об истинности тезиса. Таким образом, доказываемое утверждение на протяжении почти  всего доказательства остается как бы в стороне, как бы привлекаясь только на заключительной стадии.

Общая логическая форма косвенного доказательства выглядит следующим  образом. Необходимо доказать утверждение А (тезис); допустим, что имеет место (т.е. истинно) не-А; из не-А получаем в качестве следствия некоторое утверждение В; устанавливается, что В противоречит истинности ранее доказанного утверждения, следовательно, является ложным; от ложности следствия В заключаем к ложности его основания, т.е. к ложности утверждения не-А; на основании закона неисключенного третьего из ложности  не-А делаем вывод об истинности утверждения А, что и было целью доказательства.

Легко заметить, что переход от ложности следствия к ложности его  основания был совершен в соответствии с отрицательным модусом условно  – категорического силлогизма.

Из рассмотренного следует, что  косвенное доказательство – это  такой вид рассуждений, при котором  доказывается ложность отрицания тезиса и на этом основании заключают  об истинности тезиса. 
В качестве примера косвенного доказательства приведем геометрические теоремы: «Два перпендикуляра к одной и той же стороне не могут пересечься, сколько бы их не продолжали». Доказательство начнем с того, что сначала сформулируем утверждение, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра. Но это следствие ложно, т.к. ранее была доказана теорема, что «из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр». Из ложности следствия, утверждающего о возможности опустить на эту прямую из точки, находящейся вне прямой, два перпендикуляра, мы делаем вывод о ложности его основания, т.е. принятого нами допущения, из которого одно, а именно допущение, является ложным утверждением. На основании закона исключенного третьего мы заключаем об истинности теоремы в ее вышеприведенной формулировке.  
В данном примере следствия, вытекающее из антитезиса, пришло в противоречие с ранее доказанному утверждением. Но бывают и другие виды приведения к противоречию при косвенном доказательстве. Например, когда противоречие возникает между двумя следствиями антитезиса или когда из антитезиса выводится следствие, отрицающее антитезис, и др. Такого рода случаи получили наименование «приведение к абсурду»; иногда вообще косвенные доказательства именуют «доказательствами посредством приведения к абсурду (нелепости)» (reduction ad absurdum). 
Особое место в научном исследовании  занимает  генетическое доказательство, или доказательство по источнику происхождения. Оно применяется главным образом в исторических науках, в которых в качестве основания привлекаются документы, свидетельства, мемуары и т.п. При этом устанавливается достоверность этих источников и истинность их содержания. Генетическое доказательство применяется в тех случаях, когда невозможно проверить какое-либо суждение (тезис) по-существу и приходится устанавливать его достоверность. В некоторых науках – историографии, метеорологии, геологии, географии – во многих случаях приходится пользоваться только этими источниками, истинность которых можно проверить лишь генетически. 
По своей цели генетическое доказательство представляет либо только на основании известных документов, свидетельских показаний. В установление истинности тезиса (его подтверждения), либо обнаружение его ложности (опровержение). 
Генетическое подтверждение несет следующее строение. В первой части доказательства устанавливается истинность первоначально возникшего суждения о каком-либо историческом факте (событии). Для этого обращаются к исследованию источника этих суждений, учитывается субъективный подход автора к данным событиям, его осведомленность, добросовестность и т.д. Во второй части доказательства путем тщательной проверки устанавливается, что известные суждения (взгляды) дошли к нам без всяких (по крайней мере существенных) изменений (искажений) при устной передачи, при переписке или при переводе на другой язык и проч. В третьей части доказательства в результате предшествующих исследований выводится заключение об истинности тезиса. Если доказываемый тезис – документ или свидетельство – не выдерживает всех этих проверок, не удовлетворяет указанным условиям, то он подвергается генетическому опровержению. 
Опровержение в генетических доказательствах – это установление логичности тезиса – документа или свидетельства, которые подвергаются проверке. Ложность каких-либо суждений, дошедших к нам из прошлых (иногда очень отдаленных) времен, может заключаться или в неверном (искаженном) отображении действительного события, или в изменениях (извращениях) и неточности при устной или письменной передаче этого суждения. В первом случае необходимо установить личность первого высказанного суждения. Во втором случае не только выявляются искажения первоначально истинного суждения, но и ставится задача восстановления первоначального текста, очищение его от последующих извращений. 
Элементы генетического доказательства в той или иной мере применяются следственно-розыскной практике, когда следователь поставлен перед необходимостью составить максимально достоверную картинку события по показаниям свидетелей и участников данного события.  И показания свидетелей, и тем более участников события могут искажать реальную картину. Ее восстановление потребует от следователя не только знаний логики, но и психологии людей, вовлеченных в данные события. 
Опровержение: 
Помимо доказательства утверждений путем установления их истинности важное место в научной практике имеют и опровержения утверждений. 
Опровергнуть то или иное утверждение означает ни что иное, как обосновать его ложность. Таким образом, во многих случаях опровержение имеет такую же логическую структуру, как и доказательства, о чем свидетельствуют косвенные доказательства, в которых для обоснования истинного тезиса опровергается антитезис. Однако, в косвенных доказательствах, опровержение играет подчиненную роль, выступает как момент, в то время как во многих других случаях оно имеет самостоятельное значение. 
Как и доказательства, опровержение имеет тезис, аргументы и форму (демонстрацию).Тезис опровержения – это положение, которое требуется опровергнуть. Аргументы – это утверждения, с помощью которых опровергается тезис (доказывается его логичность). Форма опровержения – это способ логической связи аргументов и тезиса опровержения. 
Опровержение тезиса может быть осуществлено двояко. Во-первых тем, что докажут истинность антитезиса; во-вторых, тем, что установят логичность следствий, вытекающих из тезиса. 
Опровержение первого рода состоит в следующей последовательности рассуждений. Сначала находят некоторое утверждение, противоречащее тезису, - антитезис, затем доказывают его истинность. Если это удается, на основании закона противоречия при составлении тезиса и антитезиса делаем вывод о возможности первого. Например, утверждение «Все млекопитающие живут на суше» (общеутвердительное) опровергается доказательством истинности частноотрицательного утверждения «Некоторые млекопитающие не живут на суше»:

Опровержение второго рода протекает  следующим образом. Допуская истинность тезиса, выводят из него ряд следствий. Если хотя бы одно из полученных следствий  находится в противоречии с действительным положением вещей или с уже  доказанными утверждениями, то с  необходимостью делают вывод о логичности тезиса. В данном случае заключают  от логичности следствия к логичности основания. 
Некоторые утверждения могут быть опровергнуты посредством опровержения оснований, на которых покоится их истинность или опровержения формы их доказательства – демонстрации. Это виды так называемых косвенных утверждений. Но по своему значению они менее Эффективны, чем прямое опровержение тезиса. Действительно, доказывать логичность оснований не означает, что этим доказана логичность следствия из них. Например, в умозаключении:

Здесь тезис («Марс – планета») является истинным утверждением, но доказательство неверно, т.к. большая посылка («Все планеты имеют спутников») – утверждение  ложное. Его можно опровергнуть замечанием, что Венера не имеет спутников. 
Опровержение демонстрации доказательства тезиса заключается в том, что показывают отсутствие логической связи между тезисом и его аргументом. Поскольку это может быть, прежде всего, результатом нарушения правил умозаключений, по которым строится доказательство данного тезиса, то для опровержения необходимо указать на общий  вид ошибки. Тем самым доказывается, что доказательство было построено неправильно. Тем не менее, это не означает, что мы опровергли сам тезис, который может быть как истинным, так и ложным. Имеется немало примеров того, когда истинное утверждение считалось строго доказанным, хотя со временем в доказательстве находили ошибки. 
Опровержения являются важным орудием развития научного познания. С их помощью наука освобождается от ложных утверждений, заблуждений и догм, а также совершенствует свой теоретический аппарат.

Для того чтобы доказательства проводили  к желаемому результату, необходимо соблюдение правил и условий их проведения. Поскольку доказательства, как правило, состоят из целого ряда умозаключений  различного вида, постольку в доказательствах  необходимо соблюдать правила и  условия для каждого вида умозаключений  в отдельности. Однако из факта соединения многих умозаключений в сложных  доказательствах и опровержениях  и, следовательно, наличия многих посылок  вытекают дополнительные условия, несоблюдение которых влечет за собой ошибки в  доказательствах.

Эти условия и ошибки делятся  на несколько групп в зависимости  от того, к какой части доказательства они относятся. Вот некоторые  из них:

1. Правила и условия,  относящиеся к тезису.

Тезис должен быть точно  и ясно сформулирован. Неточно сформулированные тезисы, расплывчатые, неопределенные понятия, неуточненный смысл – все это приводит к путанице и делает невозможным доказательство. Неслучайно поэтому в научной практике, прежде чем приступить к доказательству какого-либо научного положения, проводят исследование по уточнению их смысла и внутренней логической связанности, по анализу понятий, входящих в состав этого положения, и т.д.

Тезис на всем протяжении доказательства или опровержения должен оставаться одним и тем же. Это условие основано на соблюдении закона тождества, игнорирование его приводит к тому, что тезис остается недоказанным, поскольку при доказательстве происходит подмена тезиса (ignoratio elenchi) и доказывается или опровергается не тот тезис, который необходимо доказывать (опровергать). 
Часто такая подмена тезиса осуществляется на почве непонимания смысла тезиса, его нечеткой формулировки или как результат неверных преобразований тезиса с целью придать ему удобную для доказательства форму. Последнее имеет место при формализованных доказательствах. Например, вместо тезиса «Угол А равен углу В» пытаются доказать тезис «Неверно, что угол А больше угла В», который неравнозначен тезису, данному доказательству.

Ошибку, порожденную наблюдениям  этого условия, выражает следующий  принцип: «Кто слишком много доказывает, тот ничего не доказывает». Например, стремясь доказать тезис «Язык не тождествен мышлению», начинают доказывать как равнозначное следующее утверждение: «Язык не связан с мышлением». Последнее  утверждение более категорично  и к тому же ложное, в то время  как действительный тезис – истинное утверждение. Такое доказательство не будет эффективным.

2. Правила и условия,  относящиеся к аргументам.

Аргументы во всяком доказательстве должны быть истинными утверждениями. Очевидно, что истинность тезиса с помощью ложных аргументов обосновать невозможно. Несмотря на свою очевидность, это правило не всегда удается соблюсти ввиду того, что логичность аргумента может быть скрытой и трудно устанавливаемой. Несоблюдение данного правила приводит к ошибкам, имеющим названия: «основное заблуждение» - когда в качестве истинного аргумента фигурирует ложное утверждение; «кто много доказывает, тот ничего не доказывает» - когда из аргумента следует больше, чем требуется для доказательства, в том числе и ложное утверждение.

Истинность аргумента  должна быть доказана независимо от тезиса. Нарушение этого правила влечет за собой ошибку «круг в доказательстве». Она появляется в тех случаях, когда тезис обосновывается с помощью утверждений, равнозначных ему или доказанных с его помощью.