Исследование методов резервирования систем

 

λ = 0.6

 

 

 

λ = 0.8

 

 

 

 

 

 

 

 

λ = 1.0

 

 

 

Как видно из графиков, увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.

 

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа резервных элементов λ₀ представлена на графиках:

 

λ₀ = 0.2

 

 

 

λ₀ = 0.4

 

 

 

 

λ₀ = 0.6

 

 

 

Как видно из графиков, увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.

 

 

 

 

Зависимость вероятности безотказной  работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности восстановления элементов μ представлена на графиках:

 

μ = 0.0005

 

 

 

 

μ = 0.05

 

 

 

 

 

 

μ = 5

 

 

 

Как видно из графиков, увеличение интенсивности восстановления влечет за собой увеличение вероятности безотказной работы системы.

 

 

Среднее время безотказной  работы

 

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч, l₀ = 0.4 1/ч и μ = 0.05 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 0.885 ч.

 

Зависимость среднего времени безотказной  работы m_t от интенсивности отказов нагруженных элементов λ для λ₀ = 0.4, μ = 0.05 приведена в таблице:

 

λ	mt
0.6	1.141
0.8	0.885
1.0	0.724

 

Зависимость среднего времени безотказной  работы m_t от интенсивности отказов резервных элементов λ₀ для λ = 0.8, μ = 0.05 приведена в таблице:

 

λ0	mt
0.2	0.941
0.4	0.885
0.6	0.839

 

Зависимость среднего времени безотказной  работы m_t от интенсивности восстановления элементов μ для λ = 0.8, λ = 0.4 приведена в таблице:

 

μ	mt
0.0005	0.878
0.05	0.885
5	2.407

 

 

Коэффициент готовности

 

Нахождение коэффициента готовности К_г системы можно осуществить двумя способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко.

 

Нахождение Кг методом  дифференциальных уравнений

 

Для графа состояний рассматриваемой  системы система дифференциальных уравнений имеет вид:

 

Нормировочное условие:          

 

Начальные условия для системы  дифференциальных уравнений:

 

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

P₄(0)=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если предположить, что потоки стационарны, то есть  и , = const, то можно получить следующую систему:

 

 

Тогда, исключая, например, четвертую  строку как линейно зависимую  от трех первых и пятой, можно получить следующую систему уравнений:

 

 

Система дифференциальных уравнений  в матричном виде будет  иметь  вид:

 

 

Отсюда имеем:

 

Решением системы будет:

 

Для заданных значений = 0.8 1/ч, λ₀ = 0.4 1/ч  и = 0.05  1/ч коэффициент готовности К_г принимает следующее значение:

 

К_г = P₀  + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.01249

 

 

Нахождение Кг методом Половко

 

 

 

 

К_г = P₀  + P₁ + P₂ + P₃ = 1 – Р₄ = 0.01249

 

Значения Кг, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим расчетным, что подтверждает правильность его нахождения.

 

 

Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности отказов основных элементов l приведена на графике:

 

 

 

 

Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности отказов резервных элементов l₀ приведена на графике:

 

 

 

 

 

Зависимость коэффициента готовности системы К_г от интенсивности восстановления m приведена на графике:

 

 

 

Средняя наработка на отказ

 

 

Для заданных значений m = 0.05 1/ч и К_г = 0.01249 среднее время наработки на отказ принимает следующее значение:

 

 

Зависимость среднего времени наработки  на отказ от интенсивности отказов  представлена на графике:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зависимость времени наработки  на отказ от интенсивности восстановления представлена на графике:

 

 

Среднее время восстановления системы

 

Для заданного значения интенсивности  восстановления m = 0.05

Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности восстановления приведена на графике:

 

Вероятность успешного  использования системы

 

R(t)=К_г*P_сист

 

Для заданных значений К_г = 0.01249 и Р_сист = 0.26429·10^-6  R(t) = 0.10564·10^-6.

 

Зависимость вероятности успешного использования системы от времени представлена на графике:

 

 

 

Зависимость вероятности успешного  использования системы от интенсивности  отказов λ при l₀ = 0.4 и m = 0.05 приведена на графиках:

 

l = 0.6

 

l = 0.8

 

 

 

l = 1.0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зависимость вероятности успешного  использования системы от интенсивности  отказов λ₀ при l = 0.8 и m = 0.05 приведена на графиках:

 

l₀ = 0.2

 

 

 

l₀ = 0.4

 

 

 

 

 

 

 

 

l₀ = 0.6

 

 

 

 

 

Зависимость вероятности успешного  использования системы от интенсивности  восстановления m при l = 0.8 и l₀ = 0.4 приведена на графиках:

 

m = 0.0005

 

 

 

 

 

 

m = 0.05

 

 

m = 5

 

 

 

2.2.4. Выводы

 

20. Вероятность безотказной работы системы изменяется по экспоненциальному закону с течением времени.
21. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной работы уменьшается.
22. Вероятность безотказной работы системы P_сист увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов l, l₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
23. Для заданных значений = 0.8 1/ч, l₀ = 0.4 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч вероятность безотказной работы системы P_сист = 0.26429·10^-6.
24. Среднее время безотказной работы системы m_t увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов l, l₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
25. Для заданных значений = 0.8 1/ч, l₀ = 0.4 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч среднее время безотказной работы m_t составляет 0.885 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 0.26429·10^-6 к заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.
26. Коэффициент готовности системы К_г увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов l, l₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
27. Для заданных значений = 0.8 1/ч, l₀ = 0.4 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч коэффициент готовности системы К_г =  0.01249.
28. Средняя наработка системы на отказ увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов l, l₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
29. Для заданных значений m = 0.05 1/ч и К_г = 0.01249 среднее время наработки на отказ .
30. Среднее время восстановления   системы уменьшается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов l, l₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
31. Для заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05 среднее время восстановления   системы .
32. Вероятность успешного использования системы R(t) увеличивается с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов l, l₀ и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
33. Для заданных значений К_г = 0.01249 и Р_сист = 0.26429·10^-6 вероятность успешного использования системы R(t) = 0.10564·10^-6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Система с ненагруженным резервом

2.3.1. Расчетно-логическая схема

 

2.3.2. Граф состояний системы

 

В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство. Тогда граф состояний системы примет вид:

 

 

Рабочими для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является состояние 4.

2.3.3. Расчет основных характеристик системы

 

Для определения вероятности безотказной  работы системы составим систему  дифференциальных уравнений, соответствующую  графу состояний, запретив переход  из отказового состояния 4 предотказовое состояние 3.

 

Нормировочное условие:          

 

Начальные условия для системы  дифференциальных уравнений:

 

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

P₄(0)=0

 

При расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:

 

 

Система дифференциальных уравнений  в матричном виде будет иметь  вид:

 

Отсюда имеем:

 

Таким образом:

 

 

 

 

Вероятность безотказной  работы системы

 

Для определения вероятности безотказной  работы необходимо применить к системе  обратное преобразование Лапласа и  подставить заданные значения для интенсивности  отказов нагруженных элементов  λ, интенсивности восстановления μ и времени работы t.

 

После обратного преобразования Лапласа  система примет вид:

 

 

Функцию вероятности нахождения системы  в рабочем состоянии, в силу наличия  одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:

 

P_сист = P₀(t)+P₁(t)+P₂(t)+P₃(t)= 1-P₄(t)

 

Для заданных значений t = 4 ч, l = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч P_сист = 14.53451·10^-6.

 

Зависимость вероятности безотказной  работы P(t) от времени работы системы представлена на графике:

 

 

 

Из полученного графика видно, что с увеличением времени работы системы вероятность нахождения системы в рабочем состоянии падает.

 

 

 

 

 

Зависимость вероятности безотказной  работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности отказа нагруженных элементов λ представлена на графиках:

 

λ = 0.6

 

 

 

λ = 0.8

 

 

 

 

 

 

 

 

λ = 1.0

 

 

 

Как видно из графиков, увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы системы.

 

 

Зависимость вероятности безотказной  работы P(t) от времени работы системы t для различных значений интенсивности восстановления элементов μ представлена на графиках:

 

μ = 0.0005

 

 

 

 

μ = 0.05

 

 

 

 

 

 

μ = 5

 

 

 

Как видно из графиков, увеличение интенсивности восстановления влечет за собой увеличение вероятности безотказной работы системы.

 

 

 

Среднее время безотказной  работы

 

Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:

Для заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч среднее время безотказной работы m_t = 1.009 ч.

 

Зависимость среднего времени безотказной работы m_t от интенсивности отказов элементов λ для μ = 0.05 приведена в таблице:

 

λ	mt
0.6	1.350
0.8	1.009
1.0	0.806

 

Зависимость среднего времени безотказной  работы m_t от интенсивности восстановления элементов μ для λ = 0.8 приведена в таблице:

 

μ	mt
0.0005	1.000
0.05	1.009
5	3.207

 

 

Коэффициент готовности

 

Нахождение коэффициента готовности К_г системы можно осуществить двумя способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа состояния системы и методом Половко.

 

Нахождение Кг методом  дифференциальных уравнений

 

Для графа состояний рассматриваемой  системы система дифференциальных уравнений имеет вид:

 

Нормировочное условие:          

 

Начальные условия для системы  дифференциальных уравнений:

 

P₀(0)=1

P₁(0)=0

P₂(0)=0

P₃(0)=0

P₄(0)=0

 

 

Если предположить, что потоки стационарны, то есть  и , = const, то можно получить следующую систему:

 

 

Тогда, исключая, например, четвертую  строку как линейно зависимую  от трех первых и пятой, можно получить следующую систему уравнений: