Модели решения функциональных и вычислительных задач

Введение 

    В любой сфере деятельности человек  постоянно сталкивается с решением задач. Задачи, которые мы решаем, по своему назначению можно разделить  на две категории: вычислительные задачи, целью которых является определение  некоторой величины, и функциональные задачи, предназначенные для создания некоего устройства, выполняющего определенные функции. Под объектами понимают предметы, как доступные, так и не доступные чувственному восприятию человека, но оказывающие видимое влияние на другие объекты, например: гравитация, инфразвук или электромагнитные волны. Объектом может быть все, что угодно: дом, если разговор ведется о доме; звезды, если мы смотрим на звездное небо.

    Система – это совокупность взаимодействующих  элементов, выделенная в некоторой  среде и обладающая способностью удовлетворять определенным потребностям и целям. Элементы системы – это ее функционально определенные части, не подлежащие дальнейшему разбиению. Примером системы может служить вуз, элементами которого являются студенты, преподаватели, учебники, компьютеры, лабораторные установки и многое другое. Система может состоять из вещественных элементов. Преобразующих состав, массу и форму вещества. В системе можно выделить некоторую часть – подсистему, обладающую определенными признаками и неделимыми элементами. Например: пару «самолет – двигатель» можно охарактеризовать понятиями «система – подсистема» или «целое – часть». Отметим важный принцип «системного эффекта», который заключается в том, что при объединении элементов в систему у нее появляются новые свойства, которыми не обладал ни один из элементов в отдельности. Так, главным свойством самолета – способностью летать – не обладает ни одна из составляющих его частей ( крылья, двигатель, шасси и т.д. ) Система представляет собой «черный ящик», если известно, к каким результатам на выходе приведут определенные воздействия на входе системы, и не известно, как она устроена «внутри», т.е. ее оператор F_о. 

1. Методы моделирования и типы моделей 

    Модель (от лат. modulus – мера, образец, норма) – искусственно созданный заместитель фрагмента действительности. Модель должна: а) отражать существенные черты явления, чтобы сделанные по модели выводы можно было применить к этому явлению; б) упрощать явление так, чтобы действовать с моделью было легче, чем с реальным объектом. Примеры моделей: бумажный макет здания, уменьшенная копия судна, схема расположения помещений, формула для вычисления площади поверхности стола по его длине и ширине . фрагмента действительности (предмета, объекта, явления, ситуации), который можно в определенных целях использовать для получения информации об исходной реальности. Модель, как упрощенный объект, отбрасывает несущественные для наших целей свойства содержит меньше информации, чем можно извлечь из самого явления. Поэтому каждую модель можно применять только для определенных целей: макеты зданий – для выбора их расположения, но не расчета на прочность; копию судна – для проверки на плавучесть в бассей­не, но не для оценки удобства пассажиров; формулу площади поверхности стола – для оценки возможности размещения бытовой техники, но не срока службы. исходного явления и с другой стороны, модель позволяет получить новую информацию, которая ранее отсутствовала и которую невозможно или трудно получить, манипулируя с самим объектом (при какой нагрузке сломается мост, потепления или похолодания климата следует ожидать в будущем).

    Один  и тот же реальный объект может  быть описан разными моделями (в  разных аспектах и с разными целями). Одна и та же модель (например, уравнение) может рассматриваться как модель разных реальных ситуаций (времени наполнения бассейна и пути, пройденного телом).

    Моделирование – метод познания, включающий создание модели (искусственного заменителя) явления, предмета, объекта, ситуации (объекта  моделирования), и действия с этой моделью для применения полученных результатов к объекту моделирования.

    В инженерных и экономических задачах  использование моделирования целесообразно, в частности, если: (а)нет смысла дожидаться наступления интересующих нас событий, растянутых во времени (прогноз численности населения); (б) создание объекта чрезвычайно дорогое исследование объекта приводит к его разрушению (оценка предельного веса снега, который может выдержать купол построенного здания). (определение последствий строительства ГЭС). Модели могут сочетать в себе черты разных типов. Так, форма глобуса является натурной моделью Земли, а изображение на нем – схематической моделью. Описываемые ниже графы представляют собой математическую модель, в которой используются элементы наглядной схематической модели.

    Предмет информатики включает, прежде всего, компьютерные модели. Однако все такие  модели строятся на базе определенных математических (иногда схематических  или табличных) моделей. А результаты компьютерных расчетов дол­­жны быть представлены в наглядной или табличной форме. Поэтому информатика рассматривает компьютерное моделирование в связи с математическим и со способами (моделями) представления результатов в виде схем, графиков, таблиц и формул. Моделирование системы в виде черного ящика – указания входов, выходов и совокупности связей между входами и выходами (зависимостей характеристик выходов от характеристик входов). При этом не рассматривается, что происходит внутри системы и как она устроена. Так, обработав имеющиеся данные методами математической статистики, можно получить график, показывающий, как зависит производительность работника (выход) от оплаты труда (вход).

    Моделирование путем описания состояний (пространства состояний) системы как целого. При  этом задаются (а)форма описания состояний (перечень возможных состояний или их характеристики – фазовые переменные); (б)законы перехода из одного состояния в другое (множество правил (операторов) перехода или зависимости между параметрами); (в)при использовании моделирования для управления системой задаются также цели управления (характеристики (свойства) желаемых (целевых) состояний). Например, при моделировании подготовки специалиста можно определить разные уровни подготовки с соответствующими объемами знаний и умений (состояния), рассчитать объемы подготовки для перехода от одного уровня к другому с необходимыми затратами времени и средств (правила перехода) и определиться с желаемым результатом обучения (целевым состоянием).

    Структурное моделирование функционирования системы – описание взаимодействия элементов системы, например материальных, финансовых, миграционных трудовых и т.п. потоков между регионами страны или передачи энергии и силовых взаимодействий между конструктивными элементами станка.

    Статические модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени (распределение нагрузки по длине балки; состав населения по возрастным группам), – Динамические модели, отражающие изменение во времени (движение краев колеблющейся балки; изменение рождаемости, смертности, численности населения по годам).

    Детерминированные модели, позволяющие получить однозначно определенный результат (каким будет  ток при заданных напряжении и  сопротивлении), – Стохастические (вероятностные) модели, позволяющие предсказать  только ве­роятность каждого возможного результата (пол ребенка; выигрыш в лотерею).

    Непрерывные модели, в которых для переменных возможны любые значение из определенного  интервала (скорость, путь, ток), – Дискретные модели, в которых переменная может  принимать только одно из конечного множества значений (номер выбранного проекта или исполнителя работ).

    Модели  конечных автоматов, которые представляют собой перечень ограниченного числа  состояний объекта и условия  перехода из одного состояния в другое (эти условия могут быть однозначно заданы – детерминированный конечный автомат или включать «бросание жребия» – вероятностный автомат). Такие модели хорошо подходят для задач оперативного управления, например, выбора момента переключения светофора в зависимости от ситуации на перекрестке или выбора модели, запускаемой на сборочный конвейер в зависимости от наличия комплектующих.

    Модели  графов, представляющие из себя множество  вершин (узлов) и соединяющих некоторые  из вершин линий (ребер, дуг). Эти модели позволяют описывать планирование строительства (сетевые графики) и задачи логистики (марш­рутизации потоков), например, классическую «задачу коммивояжера» – выбора наиболее короткого и неповторяющегося маршрута развозки товара.

    Модели  эволюции используют генетические алгоритмы, которые имитируют действующие в живой природе механизмы случайной генерации наследуемых изменений с последующим естественным отбором. Такие модели перспективны для решения широкого класса задач прогнозирования развития и отбора лучших вариантов, что подтверждается впечатляющими результатами эволюции в природе.

    Аналитическое моделирование заключается в  построении модели, основанной на описании или поведения объекта или  системы объектов в виде аналитических  выражений – формул. Объект описывается  системой линейных или нелинейных алгебраических или дифференциальных уравнений, решение которых может дать представление о свойствах объекта.

    Имитационное  моделирование предполагает построение модели с характеристиками, адекватными  оригиналу, на основе какого-либо его физического или информационного принципа. При таком моделировании отсутствует общая аналитическая модель большой размерности, а объект представлен системой , состоящей из элементов, взаимодействующих между собой и внешним миром. Задавая внешние воздействия, можно получить характеристики системы и провести их анализ. Математическая модель — приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики.

    Математическая  модель — это уравнения, системы  уравнений, системы неравенств, дифференциальные уравнения или системы таких уравнений и пр. Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью, а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом.

    Классификация математических моделей в основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Если исходить из общих задач моделирования в разных науках, наиболее естественна такая классификация:

1. Дескриптивные (описательные) модели;
2. Оптимизационные модели;
3. Многокритериальные модели;
4. Игровые модели.

    Информационная  модель - это совокупность информации об объекте, описывающая свойства и  состояние объекта, процесса или  явления, а также связи и отношения  с окружающим миром. Информационные модели представляют объекты в виде словесных описаний, текстов, рисунков, таблиц, схем, чертежей, формул и т.д. Информационную модель нельзя потрогать, у нее нет материального воплощения, она строится только на информации. Ее можно выразить на языке описания (знаковая модель) или языке представления (наглядная модель).

    Информационные  модели во многих случаях опираются  на математические модели, так как  при решении задач математическая модель исследуемого объекта, процесса или явления неизбежно преобразуется  в информационную для её реализации на компьютере. Информационным объектом называется описание реального объекта, процесса или явления в виде совокупности его характеристик (информационных элементов), называемых реквизитами. Информационный объект определённой структуры (реквизитного состава) образует тип (класс), которому присваивают уникальное имя.

    Информационный  объект с конкретными характеристиками называют экземпляром. Каждый экземпляр  идентифицируется заданием ключевого  реквизита (ключа). Одни и те же реквизиты  в различных информационных объектах могут быть как ключевыми, так и описательными. Информационный объект может иметь несколько ключей. 

2. Методы и технологии моделирования 

    Технология  решения задач (анализа, прогнозирования, управления) с использованием компьютерного  моделирования включает основные этапы:

    1)Постановка  задачи – описание исходной  задачи и исходных данных («что  дано») и определение целей  моделирования, требований к результатам  («что нужно найти»).

    2)Разработка  концептуальной модели («расчетной  схемы», упрощенного представления) или структуризация или качественный анализ – формулировка предположений и упрощений, выделение существенных элементов и взаимосвязей (результаты этапа желательно представить максимально наглядно – в виде схем, диаграмм или, по крайней мере, сжатого лаконичного описания).

    3)Разработка  математической модели, формализация  задачи – описание объекта  (точнее, разработанной ранее его  упрощенной концептуальной модели) на искусственном математическом («формальном») языке с использованием наиболее адекватного математического аппарата.