Моделирование и основные этапы моделирования. Реализация и изучение моделей в среде Mathcad

В настоящее время самой  распространенной технологией моделирования является комплексное моделирование, под которым понимается математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответствующие технологии комплексного моделирования представляют выполнение следующих действий:

1. Определение цели моделирования.

На этой стадии необходимо среди  многих характеристик (параметров) объекта  выделить существенные. Мы уже говорили о том, что для одного и того же объекта при разных целях моделирования  существенными будут считаться  разные свойства.

2. Разработка концептуальной модели.

Концептуальная  модель (содержательная модель) - это абстрактная модель, определяющая состав и структуру объекта, свойства элементов и причинно-следственные связи, присущие анализируемой объекту и существенные для достижения целей моделирования. В концептуальной модели обычно в словесной форме приводятся сведения о природе и параметрах (характеристиках) элементарных явлений исследуемого объекта, о виде и степени взаимодействия между ними, о месте и значении каждого элементарного явления в общем процессе функционирования объекта.

3. Формализация модели.

Процесс построения информационных моделей  с помощью формальных языков называется формализацией.

4. Программная реализация модели.

Позволяет исследователю осуществлять поэтапный процесс корректировки модели, добиваясь необходимой точности. Он прост в применении, а получаемый результат дает четкую картину динамики поведения всей системы, при этом контроль результатов осуществляется как визуально, так и численно, посредством наблюдения погрешностей получаемого решения.

5. Планирование модельных экспериментов.

Планирование модельных экспериментов  преследует две основные цели:

- сокращение общего объема испытаний при соблюдении требований к достоверности и точности их результатов;

- повышение информативности каждого из экспериментов в отдельности.

6. Реализация плана эксперимента.

Реализация многофакторных планов реального эксперимента требует  значительных материальных и временных  ресурсов, знаний и опыта.

7. Анализ и интерпретация результатов моделирования.

Успех имитационного эксперимента с моделью системы существенным образом зависит от правильного  решения вопросов обработки и  последующего анализа и интерпретации  результатов моделирования. Особенно важно решить проблему текущей обработки  экспериментальной информации при  использовании модели для целей  автоматизации проектирования систем.

Результаты комплексного моделирования используются как  основа для дальнейших исследований и разработок, в том числе дорогостоящих  натурных испытаний.

1.6. Основные методы решения задач моделирования

На этапе программной  реализации модели и реализации плана экспериментов необходим выбор методов решения задач моделирования. При этом используются три основные группы методов:

• Графические - оценочные приближенные методы, основанные на построении и анализе графиков.
• Аналитические - решения, строго полученные в виде аналитических выражений (пригодны для узкого круга задач).
• Численные - основной инструмент для решения сложных математических задач, основанный на применении различных численных методов.

Аналитическое решение  удается получить редко и чаще лишь при упрощенной формулировке задачи в линейном приближении. Основным средством решения является алгоритмический подход, реализующий вычислительный эксперимент на ЭВМ. Получаемое на ЭВМ решение почти всегда содержит некоторую погрешность.

Наличие погрешности решения обусловлено  рядом причин. Перечислим основные источники погрешности.

1. Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса (погрешность модели).
2. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, так как либо являются результатами экспериментов (измерений), или решениями вспомогательных задач (погрешность данных).
3. Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными (погрешность метода).
4. При вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении операций производятся округления (вычислительная погрешность).

Погрешности 1 и 2 - неустранимые на данном этапе решения, для их уменьшения приходится возвращаться вновь к построению математической, а и иногда и концептуальной модели, проводить дополнительное экспериментальное уточнение условий задачи.

Оценка обусловленности вычислительной задачи - еще одно обязательное требование при выборе метода решения и построении математической модели.

Пусть вычислительная задача корректна. Теоретически устойчивость задачи означает, что ее решение может быть найдено со сколь угодно малой погрешностью, если только гарантировать достаточно малую погрешность входных данных. Однако на практике их точность ограничена (и величиной гораздо большей, чем s_м=T^P+l - машинная точность, p - порядок, округление производится усечением).

Как влияют малые, но конечные погрешности входных данных на решение? Как сильно они искажают результат? Ответ на это дает понятие обусловленности задачи, то есть чувствительность решения вычислительной задачи к малым погрешностям входных данных.

Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Часто возможно ввести количественную оценку степени обусловленности – число обусловленности - его можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешности в решении по отношению к вызвавшей их погрешности входных данных.

 Разработка математической модели. После получения концептуальной модели системы (содержательной постановки задачи) нужно построить ее математическую модель. Этот процесс называется формализацией задачи.

Математическая модель ИСО включает в себя

• множество переменных, значения которых выбирает лицо, принимающее решение (ЛПР), оптимальный набор значений которых обходимо найти в результате операционного исследования . Будем называть их стратегиями или управляющими переменными и будем обозначатьX=x_i;
• Описание области допустимых решений – то есть значений которые могут принимать X=x_i, в виде ограничений на них и на ресурсы системы а также критериев системы, которые могут влиять на систему, но которыми не может управлять ЛПР, их можно предсказывать или прогнозировать с определенной долей вероятности (например, так называемые модели «игры с природой» или «стохастическое моделирование»)
• Целевая функция или критерий эффективности (оптимальности) – ‘количественный показатель предпочтительности или эффективности решений , который зависит от принятых стратегий (набора значений управляющих переменных) и параметров системы
• Описание критерия (ев) оптимальности (если задача многокритериальная или многоцелевая)

Выбор метода и алгоритма решения. Для нахождения оптимального решения задачи  в зависимости от вида и структуры целевой функции и ограничений используют те или другие методы теории оптимальных решений (методы математического программирования).

1. Линейное программирование: Методы линейного программирования применяются при решении задач на поиск экстремальных  значений линейной целевой функций, если ограничения на управляющие переменных тоже линейны.
2. Нелинейное программирование: целевая функция и ограничения могут быть нелинейными функциями(квадратичные, кубические и т.д.);
3. Особым случаем в задачах линейного и нелинейного программирования является случай, когда на оптимальные решения (и в результате на управляющие переменные) накладывается условие цело численности. Такие задачи относятся к целочисленному программированию; В частности для решения таких задач используют методы отсечений или ветвей и границ суть которого – в пошаговом отбрасывании большого количества неоптимальных решений целыми классами.
4. Методы решения задач динамического программирования используются для отыскания оптимального решения задачи если она может быть разбита на ряд шагов (этапов) и планирование осуществляется последовательно от этапа к этапу. Однако выбор метода решения на каждом этапе производится с учетом интересов операции в целом;
5. С помощью методов теории графов решаются многие сетевые задачи, связанные с минимальной длиной пути, минимальном протяжением сети, построение оптимального кольцевого маршрута, задачи теории расписаний и т.д.
6. Эвристическое программирование применяют для решения тех задач, в которых точный оптимум найти невозможно из-за комбинаторного характера задачи и связанного с ним огромного количества вариантов. В таком случае отказываются от поиска оптимальных решений и ограничиваются поиском удовлетворительного решения с точки зрения ЛПР. При этом удачно пользуются специальными приемами - так называемыми 'эвристиками', позволяющими существенно сократить число просматриваемых вариантов.

Проверка  адекватности и корректировка модели. В сложных системах, к которым относятся и системы организационного типа, модель лишь частично отражает реальный объект (или процесс). Поэтому необходимо проводить проверку степени соответствия (или адекватности) модели и реального процесса. Проверку можно проводить путем сравнения выходных характеристик модели или предвиденного поведения модели с фактическими характеристиками объекта при изменении значений внешних факторов, а также (при возможности) параметров системы

Возможна корректировки концептуальной модели, математической модели и соответственно метода решения. Корректировка может  потребовать проведения дополнительных исследований на объекте, наборе необходимых  данных, уточнения набора переменных и структуры модели. Корректировка  может повторяться многократно  до тех пор, пока не будет достигнуто удовлетворительное соответствие между  выходными характеристиками объекта  и модели.

 Поиск решения на модели. После достижения удовлетворительного уровня адекватности модели применяют соответствующий метод или алгоритм для нахождения оптимального (или субоптимального, не самого плохого) решения на математической модели. Это решение может принимать разные формы: аналитическую, численную, или алгоритмическую (в виде набора процедур, правил, и т.п.).

Реализация  найденного решения на практике. Это один из важнейших этапов, завершающий операционное исследование. Внедрение в практику найденного на модели решения можно рассмотреть как самостоятельную задачу. По полученной на модели оптимальной стратегии управления лицу принимающему решения необходимо предоставить соответствующую содержательную форму в виде инструкций и правил, что и как делать, которая была бы понятной для административного персонала данной фирмы или организации и легкой для выполнения в производственных условиях.

1.7. Контроль правильности модели

Для контроля правильности полученной модели может использоваться ряд приемов:

• Анализ размерности - величины в левой и правой части выражения, отдельные слагаемые в каждой из частей должны иметь одинаковую размерность.
• Проверка порядков и характеров зависимостей - параметры и переменные, которые в данной задаче выражены величинами большего порядка малости, могут быть исключены из рассмотрения как несущественные, что часто позволяет значительно упростить модель и ее анализ. Характер изменения значений моделируемых величин должен соответствовать их реальному смыслу, не противоречить наблюдаемым данным.
• Исследование предельных случаев - результаты моделирования при крайних значениях параметров модели, равных, как правило, нулю или бесконечности, не должны противоречить смыслу (например, энергия реальной физической системы не может оказаться бесконечно большой, время протекания процесса - отрицательным и т.п.) Модель в этом случае существенно упрощается и легче для понимания.
• Проверка замкнутости и корректности математической задачи -система математических соотношений должна иметь единственное решение.