Моделирование экономических процессов

Метод аппроксимации Фогеля. При определении опорного плана транспортной задачи методом аппроксимации Фогеля на каждой итерации по всем столбцам и по всем строкам находят разность между двумя записанными в них минимальными тарифами. Эти разности записывают в специально отведенных для этого строке и столбце в таблице условий задачи. Среди указанных разностей выбирают минимальную. В строке (или в столбце), которой данная разность соответствует, определяют минимальный тариф. Клетку, в которой он записан, заполняют на данной итерации.

Если минимальный тариф одинаков для нескольких клеток данной строки (столбца), то для заполнения выбирают ту клетку, которая расположена в столбце (строке), соответствующем наибольшей разности между двумя минимальными тарифами, находящимися в данном столбце (строке).

1.3    Определение оптимального плана транспортной задачи

Для определения оптимального плана транспортной задачи разработано несколько методов. Однако наиболее часто используется метод потенциалов.

Метод потенциалов. Общий принцип определения оптимального плана транспортной задачи методом потенциалов аналогичен принципу решения задачи линейного программирования симплексным методом, а именно: сначала находят опорный план транспортной задачи, а затем его последовательно улучшают до получения оптимального плана.

Для определения опорного плана транспортной задачи будем пользоваться одним из методов, рассмотренных в предыдущем параграфе. Эти методы гарантируют получение занятых в исходной таблице условий п + т — 1 клеток; в некоторых из них могут стоять нули. Полученный план следует проверить на оптимальность.

Теорема 2. Если для некоторого опорного плана (, ) транспортной задачи существуют такие числа 1, 2, …, m, 1, 2, …, n, что

при                                           (1.6)

при                                           (1.7)

для всех и , то — оптимальный план транспортной задачи.

Определение 3. Числа i и j (;) называются потенциалами соответственно пунктов назначения и пунктов потребления.

Сформулированная теорема позволяет построить алгоритм нахождения решения транспортной задачи. Он состоит в следующем. Пусть одним из рассмотренных выше методов найден опорный план транспортной задачи. Для каждого из пунктов отправления и назначения определяют потенциалы i и j (;). Эти числа находят из системы уравнений

                                                        (1.8)

где cij — тарифы, стоящие в заполненных клетках таблицы условий транспортной задачи.

Так как число заполненных клеток равно п + т - 1, то система (1.8) с п+ m неизвестными содержит п + т - 1 уравнений. Поскольку число неизвестных превышает на единицу число уравнений, одно из неизвестных можно положить равным произвольному числу, например 1= 0, и найти последовательно из уравнений (1.8) значения остальных неизвестных. После того как все потенциалы найдены, для каждой из свободных клеток определяют числа .

Если среди чисел (;) нет положительных, то найденный опорный план является оптимальным. Если же для некоторой свободной клетки , то исходный опорный план не является оптимальным и необходимо перейти к новому опорному плану. Для этого рассматривают все свободные клетки, для которых , и среди данных чисел выбирают максимальное. Клетку, которой это число соответствует, следует заполнить.

Заполняя выбранную клетку, необходимо изменить объемы поставок, записанных в ряде других занятых клеток и связанных с заполненной так называемым циклом.

Определение 4. Циклом в таблице условий транспортной задачи называется ломаная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, а звенья — вдоль строк и столбцов, причем в каждой вершине цикла встречается ровно два звена, одно из которых находится в строке, а другое — в столбце. Если ломаная линия, образующая цикл, пересекается, то точки самопересечения не являются вершинами. Примеры некоторых циклов показаны на рисунке 1.1.

При правильном построении опорного плана для любой свободной клетки можно построить лишь один цикл. После того как для выбранной свободной клетки он построен, следует перейти к новому опорному плану — переместить грузы в пределах клеток, связанных циклом с данной свободной клеткой. Это перемещение производят по следующим правилам:

1.      Каждой из клеток, связанных циклом с данной свободной клеткой, приписывают определенный знак, причем свободной клетке — знак плюс, а всем остальным клеткам — поочередно знаки минус и плюс (будем называть эти клетки минусовыми и плюсовыми);

2.      В данную свободную клетку переносят меньшее из чисел xij, стоящих в минусовых клетках. Одновременно это число прибавляют к соответствующим числам, стоящим в плюсовых клетках, и вычитают из чисел, стоящих в минусовых клетках. Клетка, которая ранее была свободной, становится занятой, а минусовая клетка, в которой стояло минимальное из чисел xij, считается свободной.

Рисунок 1.1 Примеры циклов для решения транспортной задачи

В результате указанных выше перемещений грузов в пределах клеток, связанных циклом с данной свободной клеткой, определяют новый опорный план транспортной задачи.

Описанный выше переход от одного опорного плана транспортной задачи к другому ее опорному плану называется сдвигом по циклу пересчета.

Следует отметить, что при сдвиге по циклу пересчета число занятых клеток остается неизменным, а именно — остается равным п + т — 1. При этом если в минусовых клетках имеется два (или более) одинаковых числа xij, то освобождают лишь одну из таких клеток, а остальные оставляют занятыми (с нулевыми поставками).

Полученный новый опорный план транспортной задачи проверяют на оптимальность. Для этого определяют потенциалы пунктов отправления и назначения и находят числа для всех свободных клеток. Если среди этих чисел не окажется положительных, то это свидетельствует о получении оптимального плана. Если же положительные числа имеются, то следует перейти к новому опорному плану. В результате итерационного процесса после конечного числа шагов получают оптимальный план задачи.

Из изложенного выше следует, что процесс нахождения решения транспортной задачи методом потенциалов включает пять этапов.

1.      Находят опорный план. При этом число заполненных клеток должно быть равным п + т — 1.

2.      Находят потенциалы i и j соответственно пунктов назначения и отправления.

3.      Для каждой свободной клетки определяют число ij. Если среди чисел ij нет положительных, то получен оптимальный план транспортной задачи; если же они имеются, то переходят к новому опорному плану.

4.      Среди положительных чисел ij () выбирают максимальное, строят для свободной клетки, которой оно соответствует, цикл пересчета и производят сдвиг по циклу пересчета.

5.      Полученный опорный план проверяют на оптимальность, то есть снова повторяют все действия, начиная с этапа 2.

В заключение отметим, что при определении опорного плана или в процессе решения задачи может быть получен вырожденный опорный план. Чтобы избежать в этом случае зацикливания, следует соответствующие нулевые элементы опорного плана заменить сколь угодно малым положительным числом ε и решать задачу как невырожденную. В оптимальном плане такой задачи необходимо считать ε равным нулю.

ГЛАВА 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКИ

Обозначим через xij количество единиц продукции, перевозимого из i-гo пункта его получения на j-e предприятие. Тогда стоимость перевозки единицы продукции — cij, связанные с перевозкой единицы продукции из пункта Аi в пункт Bj. Условия доставки и вывоза необходимой и имеющейся продукции обеспечиваются за счет выполнения следующих неравенств:

                                                        (2.1)

При данном плане (, ) перевозок общая стоимость их составит

              (2.2)

Таким образом, математическая постановка данной транспортной задачи состоит в нахождении такого неотрицательного решения системы линейных уравнений (2.1), при котором целевая функция (2.2) принимает минимальное значение.

Мы имеем дело с открытой моделью транспортной задачи, в которой запасы продукции в пунктах потребления больше потребностей в этой продукции потребителей на 150 единиц:

.

Следовательно, 150 единиц продукции перевезены не будут. Поэтому введем фиктивный пункт назначения В5 с потребностью 150 единиц продукции и стоимостью перевозок равной 0 единиц.

Исходные данные задачи запишем в виде таблицы 2.1.

Найдем опорный план задачи с помощью метода минимального элемента. Для этого составим таблицу 2.2.

Минимальная стоимость перевозки с учетом себестоимости продукции, равная 5, находится в двух клетках для переменных x31 и х23 (клетки для переменных фиктивного пункта будем заполнять в последнюю очередь).

Таблица 2.1

Положим x31=200 и x23=600, запишем эти значения в соответствующие клетки таблицы 2.2 и исключаем временно из рассмотрения столбцы В1 и В3. Загружаем клетку 2-2 — х24=150. Следовательно, строку А2 также временно выходит из рассмотрения. По индексам при поставках можно проследить за последовательностью загрузки клеток.

Таблица 2.2