Преобразование лапласа для аналитического решения дифференциальных уравнений

    МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ  “ГРОДНЕНСКИЙ 
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ” 

    ФАКУЛЬТЕТ  СТРОИТЕЛЬСТВА  И  ТРАНСПОРТА 
 

    Кафедра ИСиТ 
 
 

    Курсовая  работа по предмету ”Информатика” 

    ПРЕОБРАЗОВАНИЕ  ЛАПЛАСА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (НА ПРИМЕРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА) 
 

    Специальность                                                          « ТЭА » 

    Автор работы

    Студент 2 курса, 3 группы                 Шикунов А.А. 

    Руководитель

    Доцент            Курстак В.Ю. 
 
 
 

    Гродно 2011

    СОДЕРЖАНИЕ

    ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3

    1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.…………………………………………………11

    2.СРЕДСТВА СРЕДЫ MATHCAD……………………………….…………14

    3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЕКТА В СРЕДЕ  MATHCAD……..………..18

    ЗАКЛЮЧЕНИЕ.………………………………………………………………22

    ЛИТЕРАТУРА..………………………………………...………………………23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       

      ВВЕДЕНИЕ

     В настоящее время в связи с  развитием интегральной электроники  СВЧ диапазона становится актуальным моделирования активных полупроводниковых  элементов. Для моделирования и численного анализа устройств СВЧ микроэлектроники используется система MathCAD.

     MathCAD является интегрированной системой  программирования, ориентированной  на проведение математических, инженерно-технических,  статистических и экономических  расчетов. MathCAD содержит: текстовый редактор; вычислитель и графический процессор. Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Вычислитель системы MathCAD обеспечивает вычисления по сложным математическим формулам, имеет обширный набор встроенных математических функций, обеспечивает вычисления рядов, сумм и произведений, определенных интегралов и производных. Графический процессор служит для создания графиков. Запись команд в системе MathCAD на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, резко упрощает постановку и решение задач. Таким образом главные аспекты решения математических задач смещаются с их программирования на алгоритмическое и математическое описание.

     Область применения математического маятника не ограничена физикой и математикой, его применяют и в теории, и на практике во многих областях научного знания. Например, маятник применяют при исследовании вибрации в нелинейных механических системах. Важно и его применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля — не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения. Также маятники используют для регулировки хода часов. 
 

     1.1.УРАВНЕНИЯ  ДВИЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО  МАЯТНИКА

     Математическим  маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.

     Рассмотрим  движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную M_t в сторону положительного отсчёта угла j, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения

     mW=F+N,        (1) 
где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.        

                                                            Рис. 1

     Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.

      .       (2)

Считая  массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде

       или  ,

где W есть ускорение точки.

Итак  уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

       или  .

В нашем  случае получим в проекции на ось t

      , 
где m есть масса маятника.

Так как  или , отсюда находим

      . 
Сокращая на m и полагая

      ,        (3) 
будем окончательно иметь:

      ,

      ,

      ,

      .       (4) 
          Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол j и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:

     при t = 0, .      (5) 
Из интеграла энергии:

      ,      (6) 
где V — потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол j£j₀. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол j₀ мал (j₀£1); тогда угол j будет также мал и можно приближённо положить sinj»j. При этом уравнение (4) примет вид

      .       (7) 
Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

      ,    (8) 
где A и B или a и e суть постоянные интегрирования.

     Отсюда  сразу находим период (T) малых колебаний математического маятника (период — промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)

       и 

      , 
т.к. sin имеет период равный 2p, то wT=2p Þ

             (9)                               

     Для нахождения закона движения при начальных  условиях (5) вычисляем:

      .     (10) 
Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

     j₀ = A, 0 = wB,

т.е. B=0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:

     j = j₀cos wt.       (11)

Найдём  теперь точное решение задачи о плоском  математическом маятнике. Определим  сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как

      , 
то (4) можно представить в виде

      . 
Отсюда, умножая обе части уравнение на dj и интегрируя, получим:

      .      (12) 
Обозначим здесь через j₀ угол максимального отклонения маятника; тогда при j = j₀ будем иметь , откуда C = w²cosj₀. В результате интеграл (12) даёт:

      ,     (13) 
где w определяется равенством (3).

     Этот  интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения

      ,      (14) 
где — работа на перемещении M₀M активной силы F, если учесть, что в нашем случае v₀=0, и (см. рис.). 

     Из  уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между значениями +j₀ и -j₀ (|j|£j₀, так как ), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:

     при t=0, j=0.       (15)

     Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

      . 
Разделяя здесь переменные, будем иметь:

      .     (16)

     Так как

      ,  , 
то

      . 
Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:

      .     (17)

     Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно  найти квадратуру левой части. Для  этого перейдём от j к новым переменному a, полагая:

      , где  .     (18) 
 
 

    Тогда

      , 
откуда

      . 
Кроме того,

      . 
Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя w его значением (3), получим:

      .      (19)

     По  принятым начальным условиям (15) при  t=0 угол j=0, а следовательно, как видно из (18), и a=0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19) определённые интегралы справа от 0 до t, а слева от 0 до a, получим закон движения маятника в виде

      .      (20)

     Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.

      .     (21) 
Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел a как функцию от интеграла u, то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

      , 
или

      .        (22)

Беря  от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:

      .      (23)

     Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20), , то, переходя в равенстве (23) от a к j с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный эллиптическую функцию sn, в виде