Преобразование лапласа для аналитического решения дифференциальных уравнений

      .      (24) 

     Период  колебаний

     Найдём  период T колебания маятника. Из положения j = 0 в положение j = j₀ маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18), при j = 0 и a = 0, а при j = j₀ величина , то из уравнения (20) имеем:

      .     (25)

     Таким образом, определение периода колебаний  маятника сводится к вычислению величины

      ,    (26) 
представляющий собой четверть периода эллиптического интеграла (21).

     Известно (формула Валлиса), что

      .    (27) 
Разлагая в выражении (26) подынтегральную функцию в ряд, получим:

      . 
Тогда, используя формулу (27), будем иметь:

      .(28) 
Подставляя это значение K в равенство (25) и учитывая, что

      , 
получим для периода колебаний плоского математического маятника выражение

      . (29)

     Следовательно, чем больше j₀ (угол размаха), тем больше период колебания маятника. Таким образом, математический маятник свойством изохронности не обладает. Если при малых размерах ограничиться в формуле (29) только двумя первыми членами, то, полагая , получим приближённое выражение периода

      .      (30) 
 

     1.2.ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

     1.Прямое  преобразование Лапласа

     Преобразованием Лапласа функции действительной переменной , называется функция комплексной переменной , такая что: 

       

     Правая  часть этого выражения называется интегралом Лапласа. 

     2. Обратное преобразование  Лапласа

     Обратным  преобразованием Лапласа функции  комплексного переменного  , называется функция действительного переменного, такая что: 

       

где — некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича. 

     3. Двустороннее преобразование Лапласа

     Двустороннее  преобразование Лапласа — обобщение  на случай задач, в которых для  функции  участвуют значения x < 0

         Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

       

     4. Дискретное преобразование Лапласа

     Применяется в сфере систем компьютерного  управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено  для решётчатых функций. 
Различают -преобразование и -преобразование. 
 

     

• -преобразование

     Пусть 

       

решётчатая  функция, то есть значения этой функции определены только в

дискретные  моменты времени  , где — целое число, а — период дискретизации. Тогда применяя преобразование Лапласа получим: 

       

     

• -преобразование

     Если  применить следующую замену переменных:

     

получим Z-преобразование:

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2.1.ФУНКЦИЯ  SERIES

    Разлагает выражение от одной или нескольких переменных в окрестности определенной точки. По умолчанию разложение имеет  вид полинома шестого порядка.

    Чтобы найти разложение функции по формуле  Тейлора в окрестности любой точки из области определения функции нужно:

• щелкнуть по свободному месту в рабочем документе, щелкнуть в панели Symbolic по кнопке ;
• ввести с клавиатуры перед ключевым словом  series выражение для функции, после ключевого слова - выражение <имя переменной = точка, в окрестности которой строится разложение> и степень старшего члена в разложении (знак равенства можно ввести, щелкнув по соответсвующей кнопке панели Boolean).
• щелкнуть в рабочем документе вне выделяющей рамки;

        В рабочем документе отображается только сам многочлен Тейлора (частичная сумма ряда Тейлора). 

        Чтобы найти разложение функции по формуле Тейлора с помощью меню нужно:

• ввести функцию, выделить переменную, щелкнуть по строке Expand to Series в пункте Variable меню Symbolics;
• ввести в окне диалога степень старшего члена в разложении и     щелкнуть по кнопке Ok;
• в рабочем документе отображается соответствующее разложение с остаточным членом в форме Пеано.

 

     2.2.ФУНКЦИЯ  SOLVE

     Он отвечает за аналитическое решение уравнений. Общий вид этого оператора такой: уравнение solve, переменная > решение.

     Здесь уравнение — это именно то уравнение, решение которого мы хотим найти в общем виде, а переменная — это символ, обозначающий в нашем уравнении переменную величину. Его нужно указывать для того, чтобы MathCAD  мог отличить переменную от коэффициентов.

     Чтобы использовать данную функцию нужно нажать кнопку Solve на панели инструментов символьных вычислений и на то место, где должно быть записано уравнение. Затем ввести нужное уравнение.

     Чтобы переключиться в режим записи других слагаемых в уравнении, достаточно нажать на клавиатуре стрелку вправо. Вообще навигация по записям в  MathCAD при помощи стрелок вполне прозрачная. Надо передвигаться стабильно в том направлении, куда указывает стрелка, и перескакиваете в показатели степени и индексы автоматически.

       При записи уравнения в операторе solve "равно" нужно не обычное, а логическое — оно записывается с клавиатуры комбинацией Ctrl + =. При этом, если правая часть вашего уравнения равна нулю, то и ноль, и знак равенства можно опускать — MathCAD посчитает, что уравнение записано в стандартном виде, и успешно (если это, конечно, возможно) решит его. 

     2.3.ПРЯМОЕ  И ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ  ЛАПЛАСА

    Преобразование  Лапласа — основа операционного исчисления довольно большого раздела математики, занимающегося решением дифференциальных уравнений с помощью перевода их в алгебраические.

    В терминах операционного исчисления функция, которая подвергается преобразованию Лапласа, называется оригиналом, а та, которая получается в результате этого преобразования, изображением. Оригинал и изображение определены на различных множествах: изображение — функция комплексной переменной, в то время как оригинал - функция переменной действительной.

    В качестве простейшей функции для проведения над ней преобразования Лапласа обычно рассматривается функция Хевисайда.

    Это функция, значение которой определяется следующим образом: если аргумент меньше нуля, то ее значение равно нулю; если аргумент равен нулю, то ее значение равно одной второй; если аргумент больше нуля, то ее значение равно единице. Впрочем, поскольку мы вооружены мощнейшей математической средой MathCAD, нет нужды начинать с функции Хевисайда — мы сразу можем обратиться к более сложным примерам. Что ж, давайте теперь посмотрим, как применять преобразование Лапласа в MathCAD. Для этого обратимся к панели Symbolic. Прямое преобразование Лапласа, как вполне логично было бы предположить, выполняет оператор laplace — так оно собственно и есть. Этот оператор нужно поместить следом за функцией, которую нужно преобразовать (и которая, таким образом, будет оригиналом), а в качестве единственного параметра нужно указать переменную, относительно которой эта функция будет преобразовываться.

    Обратное  преобразование Лапласа делает все то же самое, только наоборот. То есть оно позволяет перейти от изображения функции к ее оригиналу, в связи с чем имеет очень высокую востребованность все в том же операционном исчислении. Применяется обратное преобразование Лапласа в MathCAD совершенно точно таким же образом, что и прямое, только для этого нужно использовать оператор invlaplace. 

    2.4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ ВИДА Y=F(X)

    MathCAD позволяет легко строить двухмерный график в декартовой системе координат.

    Существует  три способа построения графиков в системе MathCAD:

можно воспользоваться позицией главного меню Insert, выбрав команду Graph и в раскрывающемся списке — тип графика; выбрать тип графика на наборной панели Graph, которая включается кнопкой на панели Math; воспользоваться быстрыми клавишами ( они предусмотрены не для всех типов графиков). 
 

     Декартову систему координат на плоскости  представляет кнопка палитры X-Y Plot или клавиша @. Она выводит на текущее положение курсора шаблон двухмерного графика. Незаполненная графическая область представляет собой большой пустой прямоугольник с пустыми местами для ввода данных в виде тёмных маленьких прямоугольников, расположенных около осей абсцисс и орденат будущего графика по осям X и Y. Это могут быть функции некоторой переменной x, или элементы вектора, или строки матриц. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЕКТА В СРЕДЕ MATHCAD

    Задача. На материальную точку действуют  две силы: Сила тяжести P=M∙g и реакция  нити R. Момент реакции нити относительно оси z равен 0, а момент силы тяжести -(M∙g∙l∙sinφ). Момент отрицателен, т. к. его направление противоположно направлению положительного отсчёта угла поворота φ. 

    Решение

    Для решения задачи применяем теорему  об изменении момента импульса материальной точки относительно оси z.

                  

    Сумма моментов всех сил:

    

    Момент  импульса маятника относительно оси z:

    

    

    

    

    Подставив значения суммы моментов всех сил, приложенных  к маятнику получим:

      
 

    После преобразований получим:

    

    Разложим  нелинейную функцию sinφ в ряд

    

    Получаем  линейное дифференциальное уравнение 2-ого порядка

    

    Выполним  прямое преобразование Лапласа: 
 

    Введя обозначения:

    

    

    

    Получим:

    

    Произведём  обратное преобразование Лапласа по переменной s:

    

    Начальные условия:

    

    

    

    Сделав  соответствующие подстановки получим: