Применение системы MathCAD для исследования температуры тела

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ                                                                                                                                       3

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ПРОЦЕССА                                             4                                          

1.1Общие сведенья о тепловом процессе                                                             4                                                        

1.2 Обзор численных  методов                                                                             10                                                                      

1.3 Реализация численных методов                                                                     14                                                                               

2. АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗ В ЗАДАЧИ                                               17                                                                             

2.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ                                                                              17                                                                                           

2.2 АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ. ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ                                                                                                                             18

2.3 СХЕМА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ И ЕЁ ОПИСАНИЕ           21                                              

3. ОПИСАНИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ЗАДАЧИ                                                                      23                                                                                        

3.1 ОПИСАНИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ЗАДАЧИ В MATHCAD                                    23                                                        

3.2 ОПИСАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ. ВЫВОД ПО РЕЗУЛЬТАТОМ ИССЛЕДОВАНИЯ                                                                                            25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                                                      26

3.3 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ                                      27                                            

Приложение А - Определение зависимости температуры тела от времени           28

Приложен Б – Исследование  температуры тела                                                      29

Приложение В –  Построение сводного графика                                                                 35

Приложение Г –  Построение аппроксимирующей функции                                         36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          ВВЕДЕНИЕ

Так как тепловые процессы  очень распространены в природе, науке и технике, быту, то они имеют большой интерес со стороны учёных. С широким развитием науки и техники повышаются требования к точности и надежности функционирования различных систем. Они должны быть точными, исправными и четко налаженными.

Целью моей курсовой работы является применение системы MathCAD для исследования  температуры тела. Для эффективного получения точных результатов актуально использование компьютерного моделирования, к примеру, в среде MathCAD.

MathCAD – главный помощник  инженера, радиолюбителя, математика  и конечно студента. MathCAD обладает  широкими вычислительными возможностями,  сохраняя при этом понятный  интерфейс и простоту ввода  данных. Данная программа помогает нам с решением различных систем и уравнений, их моделирование и исследование различных факторов воздействующих на нашу систему. Благодаря возмржности визуализации численных результатов в виде графиков MathCAD позволяет раскрыть содержание и цель задачи моделирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ПРОЦЕССА

1.1ОБЩИЕ СВЕДЕНЬЯ О ТЕПЛОВОМ ПРОЦЕССЕ

Излучение - передача энергии от одних тел к другим в виде электромагнитных волн за счёт их тепловой энергии. Тепловое излучение в основном приходится на инфракрасный участок спектра, т.е на длины волн от 0,74 мкм до 1000 мкм. Отличительной особенностью лучистого теплообмена является то, что он может осуществляться между телами, находящимися не только в какой-либо среде, но и вакууме.

Рисунок 1.1 – Тепловое излучение в среде

Энергия изложения возникает за счёт энергии  других видов в результате сложных  молекулярных и внутриатомных процессов.

Природа всех лучей одна и та же. Они представляют собой распространяющиеся в пространстве электромагнитные волны. 

Источником  теплового излучения является внутренняя энергия нагретого тела. Количество энергии излучения в основном зависит от физических свойств и  температуры излучающего тела. Электромагнитные волны различаются между собой  или длиной волны, или частотой колебаний в секунду.

В зависимости  от длины волны  лучи обладают различными свойствами. Из всех лучей наибольший интерес для теплопередачи представляют тепловые лучи с = 0,8 – 40 мкм.

Излучение свойственно всем телам, и каждое из них излучает и поглощает энергию непрерывно, если температура его не равна 0 К.

При температурных равновесии тел количество отдаваемой энергии излучения равно  количеству поглощаемой энергии  излучения. Спектр излучения большинства твёрдых  и жидких тел непрерывен. Эти тела испускают лучи всех длин волн, от малых до больших.

Рисунок 1.2 – Термическое равновесие со средой

Спектр  излучения газов имеет линейчатый характер. Газы испускают лучи не всех длин волн. Такое излучение называется селективным (избирательным). Излучение газов носит объёмный характер.

    Опыт Мелони показали, что в излучении твёрдого тела участвуют не только поверхностные частицы, но и весьма тонкий слой определённый толщины. Суммарное излучение с поверхности тела по всем направлениям полусферического пространства и по всем направлениям полусферического пространства и по всем длинам волн от = 0 до = спектра называются энергией излучения (Q).

Поток излучения, или лучистый поток есть величина, равная отношению энергии излучения ко времени, за которое произошло излучение:

 

где: Ф – лучистый поток  [Вт];

       Q – энергия излучения [Дж];

      - время [c].

Поверхностная плотность потока излучения или излучательность, есть отношение потока излучения, приходящегося на элемент площадки поверхности излучающего тела, к площади, к тела,  к площади этого элемента, через которую проходит: 

где: М – излучательность тела[Вт/м²]; 

      A – площадь поверхности излучающего тела[м²].

Энергетическая  освещенность, или облучённость, есть отношение лучистого потока, падающего на элемент площади, к площади этого элемента:

  где:  Е – облучённость[Дж/м²];

        A – площадь поверхности, на которую падает лучистый поток [м²].

 Лучистая экспозиция, есть отношение лучистой энергии, падающей на элемент поверхности, к площади этого элемента и предстовляют собой поверхностную плотность падающего излучения:

 

 

где: Н –лучистая экспозиция[Дж/м²];

       Q – лучистая энергия[Дж];

       А –площадь[м²].

Энергетическая  сила света, или сила излучения, есть отношение потока излучения, распространяющегося внутри элементарного телесного угла, к этому телесному углу:

  где: I – сила излучения[Вт/ср];

      - телесный угол[стередиан];

      Ф – лучистый поток [Вт]. 

Энергетическая  яркость или лучистость, есть отношение энергетической силы света элемента излучающей поверхности к площади проекции этого элемента на плоскость перепдикулярную направлению наблюдения. Лучистость определяется по формуле:

где:  L – Лучистый поток [Вт/(ср*м²⁾];

        А – площадь [м²];

       - телесный угол [стередиан].

Каждое  тело способно не только излучать, но и  отражать, поглощать и пропускать через себя падающие лучи от другого  тела. Если обозначить общее количество энергии излучения, падающей на тело, через 1, то часть энергии, равная , поглотится телом, часть, равная , отразится, а часть равная , пройдёт сквозь тело. Отсюда:

 

где:

  - коэффициент поглощения;

- коэффициент отражения;

- коэффициент  пропускания.

Если  поверхность поглощает все падающие на неё лучи, т.е 

= 1, = 0, = 0, то такую поверхность называют абсолютно чёрной.

При исследований потоков излучения большое значение имеет распределение энергии излучения, испускаемой абсолютно чёрным телом по отдельным длинам волн спектра.

Каждой  длине волны лучей при определённой температуре соответствует  соя спектральная излучательность.

Если  поверхность отражает все падающие на неё лучи, т.е 

= 0, = 1, = 0, то такую поверхность называют абсолютно белой.

Если  тело имеет  следующие значения = 0, = 0, = 1,

то  такое тело называют абсолютно прозрачным для тепловых лучей.

Диффузным называют отражение, когда падающий луч при отражений расщепляется на множество лучей, идущих по всевозможным направлениям.

Зеркальной  называю  поверхность,  которая правильно отражает лучи, (т.е. отражение следует законам геометрической оптики).

Таким образом, свойства тел поглощать  или отражать тепловые лучи зависят в основном от состояния поверхности, а не от её цвета.

В природе  абсолютно чёрных, белых и прозрачных тел не существуют, тем не менее  понятие о них является очень  важным для сравнения с реальными  поверхностями.

 

 

 

 

Основной закон поглощения

Поглощение — это процесс поглощения одного или нескольких фотонов другой частицей, в результате чего энергия фотонов переходит в энергию этой частицы. В макромире это взаимодействие выглядит как переход электромагнитной  энергии в другие виды энергии, например, в тепловую энергию.

Рисунок 1.3 – Тепловое поглощение в среде

Излучать  и поглощать энергию могут  твёрдые и жидкие реальные тела конечной толщины, а так же 3-х и многоатомные газы. Если на какое-либо тело падает лучистый поток, то он уменьшается при прохождении сквозь это тело из-за частичного поглощения. При этом относительное изменение лучистого потока на пути определяют таким образом:

Коэффициент пропорциональности , зависящий от физических свойств тела, температуры и длины волны, называется показателем поглощения, имеет размерность .Знак  минус в правой части указывает на убывание лучистого потока.

Интегрируя  данное уравнение в пределах от 0 до при a=const, находим:

 или

Следовательно, коэффициент поглощения:

Полученное  уравнение показывает, что зависит от показателя поглощения и толщины слоя . При толщине =0  коэффициент =0 т.е. поглощение может происходить только в слое  вещества конечной толщины. Если  = , то = 1, т.е слой большой толщины поглощает луч целиком, как абсолютно чёрное тело. На влияет так же показатель поглощения : если велик, то поглощение происходит в тонком поверхностном слое. В связи с этим состояние поверхности тела оказывает большое влияние на его поглощательную и излучательную способности.

 

1.2 ОБЗОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Дифференциальные уравнения  являются основой огромного количества расчетных задач из самых различных областей науки и техники.

В MathCAD нет средств символьного (точного) решения дифференциальных уравнений, но достаточно хорошо представлены численные методы их решения.

Дифференциальные  уравнения – это уравнения, в которых неизвестные являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение – значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Как известно, одно обыкновенное дифференциальное уравнение или  система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия.