Принятие решения в условиях неопределенности

Вm – условия, обеспечивающие минимальную долговечность;

Вj – промежуточные условия.

Под результатом решения  аij здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Xi и условиям Вj и характеризующую экономический эффект (прибыль), полезность или надёжность изделия. Семейство решений описывается некоторой матрицей n´m, которую называют матрицей решений (условия игры задаются матрицей n´m). По аналогии с теорией игр, эту матрицу будем называть также платёжной матрицей.

Таблица. 7 Матрица решений (n´m

Условия Варианты	B1	B2	B3		Bj		Bm
X1	a11	a12	a13		a1j		a1m
X2	a21	a22	a23		a2j		a2m
X3	a31	a32	a33		a3j		a3m
Xi	ai1	ai2	ai3		aij		aim
Xn	am1	am2	am3		anj		anm

Конструктор старается выбрать решение с наилучшим результатом, но, так как ему неизвестно, с какими условиями он столкнётся, он вынужден принимать во внимание все оценки аij, соответствующие варианту Xi.

Оценочная функция

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решений даже в том случае, когда каким-то вариантам решений Xi могут соответствовать различные условия Вj, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функции. При этом матрица решений сводится к одному столбцу. Каждому варианту Xi приписывается, таким образом, некоторый результат аir, характеризующий, в целом, все последствия этого решения. Такой результат мы в дальнейшем будем обозначать тем же символом аir.

Рассмотрим некоторые  оценочные функции, которые в  данном примере мог бы выбрать конструктор.

Оптимистическая позиция:

          (1)

Из матрицы результатов  решений выбирается вариант (строка), содержащий в качестве возможного следствия  наибольший из всех возможных результатов. Наш конструктор становится на точку зрения азартного игрока. Он делает ставку на то, что выпадет наивыгоднейший случай, и, исходя из этого, выбирает размеры изделия.

Позиция нейтралитета:

          (2)

Конструктор исходит  из того, что все встречающиеся  отклонения результата решения от "среднего" случая допустимы, и выбирает размеры, оптимальные с этой точки зрения.

Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии. Рассмотрим некоторые из них.

Особые случаи

Схематическое сопоставление  всех возможных полезностей a_ij различных решений в матрице табл. 2 облегчает поначалу их обозрение, не требуя при этом формальной оценки. Эта матрица может быть меньшего объёма (табл.8) и даже выродиться в единственный столбец, если будет представлена полная информация о том, с каким внешним состоянием Вj следует считаться. Это соответствует элементарному сравнению различных технических решений. Матрица решений может, однако, свестись и к единственной строке (см. табл.9). В этом случае мы имеем дело с так называемой фатальной ситуацией принятия решений, когда в силу ограничений технического характера, внешних условий и других причин остаётся единственный вариант, хотя его дальнейшие последствия зависят от внешнего состояния Вj, и поэтому результат решения оказывается неизвестным [Мушик Э., Мюллер П. Методы технических решения: Пер. с нем. – М.: Мир, 1990. – 208 с., ил.].

Таблица. 8. Матрица решений (n´2)

Условия Варианты	B1	B2
X1	a11	a12
X2	a21	a22
X3
Xi	ai1	ai2
Xn	an1	an2

Таблица.9. Фатальная ситуация в принятии решений

Условия Варианты	B1	B2	B3		Bj		Bm
X1	a11	a12	a13		a1j		a1n

Случается и так, что некоторый  вариант решения, например, оказывается настолько удачным, что для другого варианта X_l из матрицы выполняются неравенства a_kj≥a_lj для j=1, …, n. Тогда говорят, что решение X_k доминирует над решением. Решение X_k в этом случае с самого начала оказывается лучшим, а вариант X_l, напротив, с самого начала не представляет далее интереса.

2. Классические критерии принятия решений

Максиминный критерий Вальда. Согласно этому критерию игра с природой ведётся как игра с разумным, причём агрессивным противником, делающим всё для того, чтобы помешать нам достигнуть успеха. Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш не меньший, чем "нижняя цена игры с природой":

α=           (3)

Правило выбора решения  в соответствии с критерием Вальда (максиминным критерием):

Правило выбора в соответствии критерием Вальда. Матрица решений (платёжная матрица) дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов аir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты, в строках которых стоят наибольшие значения аir этого столбца.

Выбранные таким образом  варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже Z_MM. Это свойство заставляет считать максиминный критерий одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь. Продемонстрируем критерий Вальда на примере (см. таблицу 10).

Таблица 10. Пример вариантов решения без учёта риска

B     X	В1	В2	В3	аir
X1	1	10	1	1
X2	1.1	1.1	1.2	1.1	1.1

Выбирая вариант X₂, предписываемый критерием Вальда, мы избегаем неудачного значения 1, реализующего в варианте X₁ при внешнем состоянии B₁, получая вместо него при этом состоянии немного лучший результат 1.1, зато в состоянии В₂ теряем выигрыш 10, получая всего только 1.1. Это пример показывает, что в многочисленных практических ситуациях пессимизм минимаксного критерия может оказаться невыгодным

Применение критерия Вальда бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

• о возможности появления внешних состояний Вj ничего не известно;
• приходится считаться с появлением различных внешних состояний Вj;
• решение реализуется лишь один раз;
• необходимо исключить какой бы то ни было риск, т.е. ни при каких условиях Вj не допускается получать результат, меньший, чем Z_MM.

3. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

Представляется логичным, что при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации придерживаться некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего, благоприятного поведения природы. Такой компромиссный вариант и был предложен Гурвицем. Согласно этому подходу для каждого решения необходимо определить линейную комбинацию min и max выигрыша и взять ту стратегию, для которой эта величина окажется наибольшей, т.е. стараясь занять уравновешенную позицию, Гурвиц предложил критерий (HW), оценочная функция которого находится где-то между точками предельного оптимизма и крайнего пессимизма. Оценочная функция имеет две формы записи:

Z_HW = ,       (5)

где g — “степень пессимизма” ("коэффициент пессимизма", весовой множитель), 0£ g £1.

Правило выбора согласно критерию Гурвица (HW – критерия) формулируется  следующим образом:

Матрица решений дополняется  столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов каждой строки. Выбираются те варианты Xi, в строках которых стоят наибольшие элементы a_ir этого столбца.

При g=1 критерий Гурвица (5) тождественен критерию Вальда, а при g =0 – в критерий крайнего оптимизма (критерий азартного игрока), рекомендующий выбрать ту стратегию, при которой самый большой выигрыш в строке максимален. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как и выбрать критерий. Вряд ли возможно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего весовой множитель g=0.5 без возражений принимается в качестве некоторой "средней" точки зрения.

На выбор значения степени пессимизма оказывает влияние мера ответственности: чем серьезнее последствия ошибочных решений, тем больше желание принимающего решение застраховаться, то есть степень пессимизма g ближе к единице.

Рассмотрим применение критерия Гурвица для данных таблицы 1 и степени пессимизма g=0.6.

Для стратегии X₁ минимальное значение равно 1, а максимальное – 10. Используя формулу (6), вычислим а_1r=0.6*1+0.4*10=4.6. Аналогично для второй стратегии. Находим максимальное значение столбца а_ir. В результате получим таблицу 11.

Таблица 11

B      X	В1	В2	В3	аir
X1	1	10	1	4.6	4.6
X2	1.1	1.1	1.2	1.14

Следовательно, по критерию Гурвица при g=0.6 следует выбирать стратегию X₁.

Замечание. В литературе используется и такая форма критерия Гурвица:

Z_HW = ,       (6)

где g - “степень оптимизма” ("коэффициент оптимизма ", весовой множитель), 0£g£1.

При g=0 критерий Гурвица (6) тождественен критерию Вальда, а при g=1 совпадает с максиминным решением.

Критерий Гурвица предъявляет  к ситуации, в которой принимается  решение, следующие требования:

• о вероятностях появления Вj ничего не известно;
• с появлением состояний Вj необходимо считаться;
• реализуется лишь малое количество решений;
• допускается некоторый риск.

4. Критерий Сэвиджа (критерий минимакса риска).

На практике, выбирая одно из возможных решений, часто останавливаются на том, осуществление которого приведет к наименее тяжелым последствиям, если выбор окажется ошибочным. Этот подход к выбору решения математически был сформулирован американским статистиком Сэвиджем (Savage) в 1954 году и получил название принципа Сэвиджа. Он особенно удобен для экономических задач и часто применяется для выбора решений в играх человека с природой.

По принципу Сэвиджа  каждое решение характеризуется  величиной дополнительных потерь, которые возникают при реализации этого решения, по сравнению с реализацией решения, правильного при данном состоянии природы. Естественно, что правильное решение не влечет за собой никаких дополнительных потерь, и их величина равна нулю.