Принятие решения в условиях неопределенности

При выборе решения, наилучшим  образом соответствующего различным состояниям природы, следует принимать во внимание только эти дополнительные потери, которые по существу, будут являться следствием ошибок выбора.

Для решения задачи строится так называемая “матрица рисков”, элементы которой показывают, какой убыток понесет игрок (ЛПР) в результате выбора неоптимального варианта решения.

Риском игрока r_ij при выборе стратегии i в условиях (состояниях) природы j называется разность между максимальным выигрышем, который можно получить в этих условиях и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя стратегию i.

Если бы игрок знал заранее будущее состояние природы j, он выбрал бы стратегию, которой соответствует максимальный элемент в данном столбце: , и тогда риск: .

Критерий  Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать решение, обеспечивающее минимальное значение максимального  риска:

Z_S= .      (6)

Рассмотрим применение критерия Сэвиджа для данных таблицы 10.

Строим матрицу "рисков" для этого находим максимальные значения для каждого столбца таблицы 1. Они равны 1.1; 10 и 1.2 соответственно и находим значения рисков по формуле . Дополняем эту матрицу столбцом наибольших разностей. Выбираем те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение. В результате получим таблицу 12.

Таблица 12. Матрица рисков

B X	В1	В2	В3	аir
X1	0.1	0	0.2	0.2	0.2
X2	0	8.9	0	8.9

Критерий Сэвиджа  рекомендует выбрать стратегию X₁ .

5. Критерий Лапласа.

В ряде случаев представляется правдоподобным следующее рассуждение: поскольку неизвестны будущие состояния  природы, постольку можно считать  их равновероятными. Этот подход к решению  используется в критерии “недостаточного основания” Лапласа.

Для решения задачи для  каждого решения подсчитывается математическое ожидание выигрыша (вероятности  состояний природы полагаются равными q_j = 1/n, j = 1:n), и выбирается то решение, при котором величина этого выигрыша максимальна.

Z_L=

.

Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

6. Критерий Байеса-Лапласа.

Этот критерий отступает  от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:

Z_BL= .

Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и, прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы. То есть, основываясь на предыдущих наблюдениях прогнозировать будущее состояние природы (статистический принцип).

Возвращаясь к нашей таблице 1 предположим, что q₁=0.4, q₂=0.2 и q₃=0.4. Тогда согласно критерию Байеса-Лапласа таблицу 1 дополняем столбцом математических ожиданий и среди этих значений выбираем максимальное. Получим таблицу 13.

Таблица 13.

B X	В1	В2	В3	аir
X1	1	10	1	2.8	2.8
X2	1.1	1.1	1.2	1.14

Оптимальным является решение X₁.

Критерий Байеса-Лапласа  предъявляет к ситуации, в которой  принимается решение, следующие  требования:

• вероятности появления состояний Вj известны и не зависят от времени;
• решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;
• для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом  количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск исключён.

Исходная позиция применяющего – критерий оптимистичнее, чем в случае критерия Вальда, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.

Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной:

Таблица 14. Оптимальные варианты, полученные с помощью различных критериев

Решение	Критерии
Стратегии	Вальда	maxmax	Гурвица, g=0.6	Сэвиджа	Лапласа	Байеса-Лапласа q1=0.4, q2=0.2,  q3=0.4
X1		*	*	*	*	*
X2	*

Из таблицы 14 видно, что от выбранного критерия (а, в конечном счете - от допущений) зависит и выбор оптимального решения.

Выбор критерия (как и  выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной, чтобы нельзя было получить хотя бы частичной информации относительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы, применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводят эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.

Поскольку различные  критерии связаны с различными условиями, в которых принимается решение, лучшее всего для сравнительной оценки рекомендации тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. В частности, если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то рекомендуется применять критерий Байеса-Лапласа. Если же число машин не велико, лучше пользоваться критериями минимакса или Сэвиджа.

Примеры постановки решения задач

В данном параграфе на примере решения задач мы должны научиться определять вектор стратегий, вектор состояний и платёжную матрицу и применять различные критерии для получения оптимального решения.

Задача. В приморском городе решено открыть яхт-клуб. Сколько следует закупить яхт (из расчета: одна яхта на 5 человек), если предполагаемое число членов клуба колеблется от 10 до 25 человек. Годовой абонемент стоит 100 денежных единиц. Цена яхты - 170 денежных единиц. Аренда помещения и хранение яхт обходится в 730 денежных единиц в год.

Решение. Несомненно, что имеет смысл рассматривать количество приобретаемых яхт в диапазоне от двух до пяти (4 варианта) и количество потенциальных яхтсменов от 10 до 25. Для уменьшения объема перебора  ограничимся вариантами 10, 15, 20, 25 (если полученные выводы для смежных вариантов будут существенно разниться, проведем дополнительный, уточняющий расчет). Итак: X= {X_i} = (2, 3, 4, 5) – количество яхт (i=1,2,3,4); B = {B_j} =(10, 15, 20, 25) – количество членов яхт-клуба (j=1,2,3,4).

Для того, чтобы начать поиск решения, построим матрицу решений, элементы которой показывают прибыль при принятии i -го решения при j –ом количестве членов яхт-клуба:

a_ij = 100´min(5´X_i ; B_j) - 170´X_i - 730

т.е. решающее правило  в нашей задаче формулируется  как "доход – затраты".

Выполнив несложные  расчеты, заполним матрицу решений {a_ij} (см. табл. 15):

Таблица 15. Платёжная матрица

B X	B1=10	B2=15	B3=20	B4=25
X1=2	-70	-70	-70	-70
X2=3	-240	260	260	260
X3=4	-410	90	590	590
X4=5	-680	-80	420	920

Например, a₁₁ = 100´min(5´2, 10) - 170´2-730 =-70

a₁₂=100´min(5´2, 15)-170´2-730=-70

a₁₃ = a₁₄ = -70 (спрос на яхты останется неудовлетворенным). Отрицательные значения показывают, что при этих соотношениях спроса на яхты и их наличия яхт-клуб несет убытки.

Критерий Вальда (выбор осторожной, пессимистической стратегии) – для каждой альтернативы (количество яхт в клубе) выбирается самая худшая ситуация (наименьшее значение величины прибыли) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект:

Z_MM=max(-70; -240; -410; -580)=-70

Вывод: принимая решение по критерию Вальда, яхт-клубу следует закупить 2 яхты и максимум ожидаемого убытка не превысит 70 д.е.

Критерий Гурвица (компромиссное решение между самым худшим исходом и излишне оптимистическим). Рассмотрим изменение решения нашей задачи в зависимости от значений коэффициента оптимизма (в таблице 16 выделены значения, удовлетворяющие критерию Гурвица при различных g):

Таблица 16. Решения по Гурвицу для различных g

g X	g=0,2	g=0,5	g=0,8
X1 = 2	-70	-70	-70
X2 = 3	-140	10	160
X3 = 4	-210	90	390
X4 = 5	-380	170	620

Вывод: при g ³ 0,5 следует закупить 5 яхт и ожидать прибыль порядка, не меньшую 170 д.е. (надеемся на широкую популярность нашего клуба и определенную финансовую состоятельность любителей), при g= 0,2 не следует закупать более 2 яхт (мы более осторожны в своих прогнозах и, скорее всего, предпочтем отказаться от создания клуба).

Критерий Сэвиджа (нахождение минимального риска). При выборе решения по этому критерию сначала матрице полезности сопоставляется матрица сожалений D - для нашего примера, вычитанием (-70) из первого столбца матрицы полезности, 260 из второго столбца, 590 и 920 из третьего и четвертого столбцов соответственно, получим матрицу рисков (см. табл. 17):

Таблица 17. Матрица рисков

B X	B1=10	B2 =15	B3 =20	B4 =25	air
X1 = 2	0	330	660	990	990
X2 = 3	170	0	330	660	660
X3 = 4	340	170	0	330	340
X4 = 5	510	340	170	0	590

Наименьшее значение среди максимальных элементов строк (выделенные в таблице значения) равно:

Z_S=min(990; 660; 340; 510)=340

Вывод: покупая 4 яхты для открываемого яхт-клуба, мы уверены, что в худшем случае убытки клуба не превысят 340 д.е.