Утилиты, назначение, классификация

         Утилита Cursor Translator предназначена для контекстного перевода слов на который указывает курсор "мыши" ОС Windows в любом месте экрана независимо от типа приложения (текстовые редакторы, диалоговые окна, справки, меню и т.д.). В данной утилите имеются удобные двунаправленные словари.

         Среди инструментальных утилит можно упомянуть Active File Compare. Это утилита для сравнения и синхронизации любых ASCII текстовых файлов в визуальном режиме. Превосходный инструмент для сравнения версий исходных текстов программ на языках программирования, т.к. поддерживает синтаксическое выделение и непосредственное исправления найденных различий между версиями. Имеет мощный встроенный Файловый Менеджер, состоящий из двух панелей, позволяет сравнивать содержание двух каталогов и др. операции с файлами.

 

    МАТЕМАТИКА 

    Задание №3.1.

    Исследовать функцию с помощью производной  и построить её график:

    Выполнение  задания №3.1. 

1. Область определения  функции: x³-1 ¹ 0, т.е. x ¹ 1, следовательно, в точке х=1 график функции имеет вертикальную асимптоту.

 

2. Для выяснения  наличия других асимптот вычислим значения коэффициентов a и b:

 

f(x)           4 x³           4 x³

a = lim --- =  lim  --------- = 0;  b =  lim (f(x) – ax) =  lim (------  - 0*x) = 4,

   x→оо  x x→оо x(x³-1)               x→оо       x→оо   x³-1 

т.к. a = 0 и b = 4, то наклонных асимптот нет, но есть горизонтальная асимптота y = ax+b = 4. 

3. Определим точки пересечения графика функции  с осями координат: y=0 при х=0, следовательно, график пересекает оси OX и OY в начале координат.

 

4. Определим интервалы знакопостоянства функции: на интервале (–оо;0] y(x) > 0, следовательно, график расположен над осью OX; на интервале [0;1) y(x) < 0, следовательно, график расположен под осью OX; на интервале (1;+oo) y(x) > 0, следовательно, график расположен над осью OX.

 

5. Функция нечетна, т.к. y(x) ¹ y(-x), следовательно, график ее несимметричен относительно оси OY.

 

6. Найдем  промежутки монотонности функции, для  чего используем ее производную:

 

  (4x³)’(x³-1)- 4x³ (x³-1)’ 12x²(x³-1)-4x³*3x²     -12x²         

y’ = ---------------------------- = ------------------------ = --------

            (x³-1)²   (x³-1)²      (x³-1)²  

Производная y’ обращается в 0 при x = 0 и не существует в точке х=1.

Распределение знаков производной на числовой оси:

(-оо; 0]  y' < 0, следовательно, функция убывает;

[0;1) y’< 0, следовательно, функция убывает;

(1;+оо ) y’ < 0, следовательно, функция убывает.

Т.к. производная  функции не меняет знака, то минимумов  и максимумов функция не имеет. 

7. Определим точки перегиба, выпуклости и вогнутости графика функции, используя для этого вторую производную:

 

-12x²        (-12x²)’(x³-1)² +12x² ((x³-1)²)’

y” = (---------)’ = ------------------------------------- =

      (x³-1)²   (x³-1)⁴ 

   -24x(x³-1)² + 12x² *2 (x³-1) *3x²     24x(2x³+1)

= ---------------------------------------- = --------------

      (x³-1)⁴      (x³-1)³ 

т.к. y” = 0    при x = 0; x = -0.8,  то эти точки являются точками перегиба,  y” не существует в точке х=1.

На интервалах

(-oo;-0.8] y”<0, следовательно, график функции здесь имеет выпуклость,

[-0.8; 0] y”>0, следовательно, график функции здесь имеет вогнутость,

[0;1) y”<0, следовательно, график функции здесь имеет выпуклость,

(1;+oo) y”>0, следовательно, график функции здесь имеет вогнутость. 

8. Используя результаты исследования функции, можно  построить ее график:

     Y 
 
 
 
 
 
 
 
 

      X

 

    Задание №3.2. 

    1) Из каждых 100 выстрелов по мишени  стрелок дает в среднем 44 попадания в область 1, 30 попаданий в область 2, 15 ¾ в область 3, 6 ¾ в область 4, 4 ¾ в область 5. Найти вероятность попадания пули: в область 1; в область 3; не дальше области 4. Найти вероятность промаха. 

    Выполнение  задания №3.2.1. 

Вероятность того, что пуля попадет в область 1, равна:

     44  

Р₁ = ------- = 11/25.

     100  

Вероятность того, что пуля попадет в область 3, равна:

      15 

Р₃ = ------- = 3/20.

      100 

Вероятность того, что пуля попадет в область 2, равна:

     30  

Р₂ = ------- = 3/10;

     100  

вероятность того, что пуля попадет в область 4, равна:

      6 

Р₄ = ------- = 3/50;

      100 

вероятность того, что пуля попадет не дальше области 4,  т.е. попадет в какую-то одну из областей: 1 или 2 или 3 или 4, равна:

Р = {Р₁UР₂UР₃UР₄} = Р₁+Р₂+Р₃+Р₄= 11/25+3/10+3/20+3/50  = 19/20.

Промах  означает, что стрелок не попал  ни в одну из областей с 1 по 5. Вероятность  этого равна:

Р_пр = 1-{Р₁UР₂UР₃UР₄UР₅};

вероятность того, что пуля попадет в область 5, равна:

      4 

Р₅ = ------- = 1/25;

      100 

следовательно, вероятность промаха равна:

Р_пр = 1- 11/25+3/10+3/20+3/50+1/25 = 1/100. 

    2) Остановка троллейбуса и автобуса  находится в одном месте. Вероятность появления автобуса в течение 10 минут равна ¾ 0,8, троллейбуса ¾ 0,6. Какова вероятность: уехать с остановки в течение первых 10 минут; остаться. 

    Выполнение  задания №3.2.2 

Вероятность уехать с остановки в течение  первых 10 минут по условию задачи означает, что на остановке появился либо автобус, либо троллейбус, либо оба  сразу. Эти события независимы, но совместные, следовательно:

Р = (p_авт U p_тр ) = p_авт + p_тр - p_авт * p_тр = 0,8+0,6-0,8*0,6 = 0,92.

Вероятность остаться равна:

Р_ост = 1 – Р = 1 – 0,92 = 0,08. 

    3) В урне a белых и b черных шаров. Из неё вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. 

    Выполнение  задания №3.2.3 

Вероятность извлечения из урны белого шара равна:

p_i = a/(a+b).

Т.к. извлечение первого и второго белых шаров  – события независимые, то вероятность  совмещения этих событий равна:

P = p₁*p₂ = a²/(a+b)². 

    4) Какова вероятность достать из колоды (56 листов) шестерку, семерку и туза при случайном извлечении трех карт без возвращения. 

    Выполнение  задания №3.2.4 

В колоде по 4 шестерки, семерки и туза, следовательно, вероятности извлечения шестерки, семерки  и туза соответственно равны:

р₆ = 4/56 = 1/14; p₇ = 1/14; p_т = 1/14.

Т.к. события  эти независимы, то вероятность их совмещения равна:

Р = р₆* p₇* p_т = 1/14*1/14*1/14 = 1/2744. 

    5) Из трех колод (по 36 листов) извлекают  наугад по карте. Найти вероятность того, что среди извлеченных карт окажется: только одна черная десятка; хотя бы один король; только из третьей колоды будет извлечен туз. 

    Выполнение  задания №3.2.5 

Всего в каждой колоде из 36 карт по 2 черных десятки, по 4 короля и по 4 туза. Вероятность  извлечения десятки из колоды равна:

р₁₀ = 2/36 = 1/18;

вероятность извлечения короля равна:

р_к = 4/36 = 1/9;

вероятность извлечения туза равна:

р_т = 4/36 = 1/9.

В соответствии с биноминальным законом вероятность того, что событие осуществится k раз при n испытаниях равна:

        n (n-1)*…*(n-k+1)   

Р(k) = ------------------------ p^k (1 – p)^n-k ;

            k!

по условию  задачи n=3 k=1, следовательно, вероятность того, что среди извлеченных 3 карт (по одной из каждой колоды) окажется только одна черная десятка, равна:

      P = 3 р₁₀ (1 – р₁₀)^3-1 = 3*(1/18)*(1 – 1/18)² = 289/1944.

Извлечение  короля из каждой колоды – события  независимые, поэтому вероятность  того, что среди извлеченных 3 карт будет хотя бы один король, равна:

Р = (p_к1Up_к2Up_к3) = 1-(1-p_к1 )*(1- p_к2)*(1- p_к3)  = 1-(1-p_к)³ = 1-(1-1/9)³  = 217/729.

Вероятность того, что только из третьей колоды будет извлечен туз, означает, что из первой и второй колод будет извлечен не туз. Т.к. эти события независимы в совокупности, то вероятность их совмещения равна:

Р = (1 –  р_т) (1 – р_т) р_т  = (1-1/9)(1-1/9)*1/9 = 64/729. 

    6) Два датчика посылают сигналы  в общий канал связи, причем  первый из них посылает сигналов  втрое больше, чем второй. Вероятность  получить искаженный сигнал от  первого датчика 0,01; от второго  0,03. а) Какова вероятность получить искажённый сигнал в общем канале связи. б) В общем канале получен неискаженный сигнал, определить вероятность того, что он испущен первым датчиком.  

    Выполнение  задания №3.2.6 

Введем  следующие обозначения: событие  А – получение искаженного сигнала, В – получение неискаженного сигнала, Н_i – гипотеза получения сигнала от i-го датчика. По условию задачи вероятности отдельных гипотез и событий соответственно равны: P{Н_I} = 3/4, P{Н_I} = 1/4; P{A|H₁} = 0,01, P{A|H₂} = 0,03; P{B|H₁} = 1- P{A|H₁} = 0,09, P{B|H₂} = 1- P{A|H₂} = 0,07. 

а) По формуле  полной вероятности вероятность  события А равна:

Р{А} = P{A|H₁} P{H₁} + P{A|H₂} P{H₂} = 0,01*3/4+0,03*1/4 = 0,015; 

б) По условию  задачи от двух датчиков получен неискаженный сигнал и испущен он первым датчиком, следовательно, вероятность этого по формуле Байеса равна: