Утилиты, назначение, классификация

            P{B|H₁} P{H₁}           0,09*3/4

Р{B} = ---------------------------------------- = ----------------------- = 27/34.

         P{B|H₁} P{H₁} + P{B|H₂} P{H₂} 0,09*3/4+0,07*1/4                  

    7) Что вероятнее выиграть у равносильного  противника (ничейный исход партии исключен): а) Четыре партии из шести или пять из восьми; б) Не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми. 

    Выполнение  задания №3.2.7 

По условию  задачи противники равносильны, следовательно выроятность выигрыша в партии у них равны р=0,5. По биноминальному закону вероятность того, что событие осуществится k раз при n испытаниях равна: 

        n (n-1)*…*(n-k+1)   

Р(k) = ------------------------ p^k (1 – p)^n-k .

            k! 

а) При  n=6, k=4 вероятность выигрыша 4 партий из 6 равна: 

      6*5*4*3

Р_4из6 = ------------ (0,5)⁴ (1- 0,5)^6-4 = 0,23;

      1*2*3*4

при n=8, k=5 вероятность выигрыша 5 партий из 8 равна:

      8*7*6*5*4

Р_5из8 = ------------ (0,5)⁵ (1- 0,5)^8-5 = 0,22;

      1*2*3*4*5

следовательно, вероятнее выиграть 4 партии из 6, чем 5 партий из 8. 

б) Выигрыш  не менее 3 партий из 4 означает, что  выиграно 3 или 4 партии, т.к. эти события  несовместны, то вероятность этого  равна:

р = Р_3из4+Р_4из4, 

        4*3*2   ₃

Р_3из4 = --------- (0,5) (1 – 0,5)^4-3 = 0,25,

        1*2*3 

        4*3*2*1  ₄

Р_4из4 = ---------- (0,5) (1 – 0,5)^4-4 = 0,625,

        1*2*3*4

откуда  р = 0,25+0,625=0,85;

выигрыш не менее 5 партий из 8 означает, что  выиграно 5 или 6 или 7 или 8 партии, т.к. эти  события несовместны, то вероятность этого равна:

р = Р_5из8+Р_6из8+Р_7из8+Р_8из8, 

      8*7*6*5*4

Р_5из8 = ------------ (0,5)⁵ (1- 0,5)^8-5 = 0,22,

      1*2*3*4*5 

        8*7*6*5*4*3  ₆

Р_6из8 = ---------------- (0,5) (1 – 0,5)^8-6 = 0,11,

        1*2*3*4*5*6 

        8*7*6*5*4*3*2      ₇

Р_7из8 = ------------------- (0,5) (1 – 0,5)^8-7 = 0,03,

        1*2*3*4*5*6*7 

        8*7*6*5*4*3*2*1        ₈

Р_8из8 = ---------------------- (0,5) (1 – 0,5)^8-8 = 0,004,

        1*2*3*4*5*6*7*8

откуда  р = 0,22+0,11+0,03+0,004=0,364;

следовательно, вероятнее выиграть не менее 3 партий из 5, чем не менее 5 партий из 8. 

    Задание №3.3.

    При измерении диаметра дробин (случайная  величина), изъятых с места преступления, получены результаты в миллиметрах. Найти доверительные интервалы, с вероятностью покрывающие неизвестное математическое ожидание (генеральную среднюю) и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Определить относительную ошибку измерений. 

4,79; 4,59; 4,7; 4,77; 4,75; 4,78; 4,74; 4,85; 4,72; 4,69   при  α = 0,95.  

    Выполнение  задания №3.3. 

Математическое  ожидание равно:

                   4,79 + 4,59 + 4,7 + 4,77 + 4,75 + 4,78 + 4,74 + 4,85 + 4,72 + 4,69

Mx = ∑xp(x) = ξ = ---------------------------------------------------------------------- = 4,74.

      ^x      10

Среднеквадратичное отклонение равно:

      __  ________    ___________

σ =  VDx = VM(x – ξ)² = V∑(x_i – ξ)²p(x) =

                          ^x

      ________________________________________

= V1/10[(4,79-4,74) ²+( 4,59-4,74) ²+…+(4,69-4,74) ²] = 0,066; 

Ошибки  измерения подчиняются закону Гаусса. Допустив, что интервал случайной величины симметричен и подчиняется неравенству |x_n – ξ| <= δ, получим, что вероятность попадания в него x_n равна:

           _

α = Ф(δVn/σ).

По условию  задачи α = 0,95; n = 10. По таблице для Ф(t) =0,95 t = 2,0; следовательно

    _      _         __

δVn/σ = 2,0; откуда δ = 2,0 σ/Vn = 2,0*0,066/V10 = 0,042. 

Доверительные интервалы равны:

4,74 –  0,042<= x<=4,74 + 0,042;

4,698 <= x<= 4,782. 

Относительная ошибка измерений равна:

      δ*100% 0,042*100%

δ_отн = ---------- = ------------------ = 0,89%.

         ξ   4,74 
 

    Задание №3.4.

По данным, приведённым в таблице (см. Приложение), проанализировать влияние одного фактора на другой. Для этого найти коэффициент корреляции между заданными факторами, вычислить уровень его значимости с доверительной вероятностью Если коэффициент корреляции окажется  значимым, то найти уравнение линейной регрессии одного фактора на другой, построить прямую регрессии, сделать выводы, дать прогноз и рекомендации. Выполняется вариант №9: Исследовать влияние показателя 5 (кол-во трудоспособных, не работающих и не учащихся, на 10 тыс. насел.) на показатель 4 (количество ранее судимых, проживающих в районе, на 10 тыс. насел). 

    Выполнение  задания №3.4. 

Математическое  ожидание фактора 4 (х₄) и фактора 5 (х₅) соответственно равно:

M х₄ = ∑ х₄p(х₄) = ξ₄ =  

152,5+153,2+156,6+154,7+151,3+149,0+144,9+137,9+145,3+145,3+164,2+170,9+166,4+167+168

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ =        15 

= 155,15; 

M х₅ = ∑ х₅p(х₅) = ξ₅ =  

104,2+106,8+109,4+110,9+100,9+103,2+95,7+77,7+96,3+82,3+107,0+126,6+114,6+117+124,5

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- =

     15 
 

= 105,14. 

Дисперсия факторов соответственно равна:

                            ₂

Dх₄ =  λ₄₄ = M (х₄  - ξ₄)² = σ ₄ = ∑(х₄  - ξ₄)² p(х₄) = 

   (152,5-155,15)²+(153,2-155,15)²+(156,6-155,15)²+…+(168-155,15)²

= ----------------------------------------------------------------------------------- = 94,97;

                              15 

                           ₂

Dх₅ =  λ₅₅ = M(х₅ – ξ₅)² = σ₅ = ∑(х₅ – ξ₅)² p(х₅) = 

   (104,2-105,14)²+(106,8-105,14)²+(109,4-105,14)²+…+(124,5-105,14)²

= ------------------------------------------------------------------------------------- = 172,50.

                              15 

Средние квадратические отклонения соответственно равны: 
σ₄ = 9,75;  σ₅ = 13,13.

                                      1

Корреляционный  момент К (х_4, х₅) = --- å (х₄  - ξ₄) (х₅ – ξ₅) =

                                      n 
 
 

   (152,5-155,15)(104,2-105,14)+( 153,2-155,15)(106,8-105,14)+…+( 168-155,15)(124,5-105,14)

= ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- =

                              15

=117,03. 

Коэффициент корреляции между х₄ и х₅ равен: 

      К (х_4, х₅)       117,03

r = ----------- = ------------- = 0,91.

        σ₄ σ₅     9,75*13,13 

Чем ближе  r к 1, тем теснее линейная зависимость между величинами х₄ и х₅, при r = 1 наблюдается точная линейная зависимость.

Сначала необходимо проверить гипотезу о  значимости коэффициента корреляции, для чего выдвинем гипотезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю при конкурирующей гипотезе r_г ¹ 0. Вычислим наблюдаемое значение критерия:

. Испр на 0,91 и 7,99

По таблице  критических точек распределения  Стьюдента по уровню значимости a = 1 - g = 1 – 0,9 = 0,1 и числу степеней свободы k = n – 2 = 15 – 2 =  13  найдем критическую точку двусторонней критической области t_кр = t (0,1; 15) = 1,75. Т.к. Т_набл > t_кр, то гипотеза о равенстве нулю r_г отвергается, т.е. между фактором 4 и фактором 5 наблюдается сильная линейная зависимость. 

Уравнение линейной регрессии фактора 5 на фактор 4 имеет вид:

f₄(x₅) = ξ₄ + β₄₅(x₅ – ξ₅),

где коэффициент  регрессии равен:

        σ₅ 

β₄₅ = r ---- = 0,91*13,13/9,75 = 1,23.

        σ₄ 

Уравнение примет вид: 

f₄(x₅) = 155,15 + 1,23 (x₅ – 105,14) = 1,23x₅ + 25,83. 

Линия регрессии:    Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

             X 
 

Выводы: проведенный расчет показал сильную  линейную зависимость между количеством  трудоспособных, не работающих и не учащихся  и количеством ранее судимых, проживающих в районе, т.е. именно трудоспособные, но не занятые жители района склонны к совершению правонарушений. Для уменьшения количества возможных правонарушений администрации района необходимо спланировать мероприятия, позволяющие обеспечить занятость трудоспособного населения, а органам правопорядка регулярно проводить профилактические мероприятия по предупреждению правонарушений со стороны трудоспособного населения района.

 

Список  используемой литературы 

1. Методические  указания и рекомендации по курсу «Информатика и математика» / В.Н. Нестеров, Ю.Н.Лазарев. - Самара: СФ СЮИ МВД РФ, 1998.-24с.
2. Сборник учебно-методических материалов по курсу «Информатика и математика» / В.Н. Нестеров, Ю.Н. Лазарев, С.В. Озерский. - Самара: СФ СЮИ МВД РФ, 2000. -71с.
3. Современные информационные технологии, основы алгоритмизации и программирования: Метод. Указ, к контрольной работе по курсу «Информатика и математика» / Озерский С.В., Рубцов С.В. - Самара: СФ СЮИ МВД РФ, 2000. -57с.
4. Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя. - М.: Финансы и статистика, 1998.- (к темам 1-10).
5. Женило В.Р. Программное обеспечение компьютерной технологии: Учебное пособие/Под ред. В.А.Минаева. - М.: МЦ при ГУК МВД России, 1996.- (к темам 1 - 10).
6. Макарова Н.В. Информатика. - М.: Финансы и статистика, 2000. - (к темам 1, 2, 8 - 10).
7. Основы работы на компьютере для школьников и начинающих пользователей/Под ред. А.А.Журина, - М.: Аквариум, 1997. - (к темам 4, 10).
8. Богатов Д.Ф., Богатов Ф.Г., Минаев В.А. Информатика и математика для юристов: Учебное пособие / Под. ред. В.А.Минаева. - М.: Изд-во «ПРИОР». МЮИ МВД России, 1998. - (к темам 1-10).
9. Сетевые средства WINDOWS NT. Пер. с англ. - СПб.: BHV-Санкт-Петербург, 1996. - (к теме 10).
10. Башмаков М.И. Математика. - М.: Высшая школа, 1994. - (к теме 13).
11. Боровиков А.А. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1986. - (к теме 15).
12. Бронштейн И.Н. Справочник по математике. - М.: Наука, 1986. - (к темам 13 - 14).
13. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979. – (к теме 15).
14. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. - (к теме 15).
15. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука. 1969. - (к теме 14).
16. Никольский ОМ. Элементы математического анализа: Учеб. пособие, 1989.- (к теме 14).