Задачи по информатике

Контрольная работа №3  

Задача 1. Аппроксимация функций. Интерполирование.

Дана таблица  значений функции y=f(x) и два значения аргумента x=a и x=b.

Требуется с  помощью полиномов Ньютона третьей степени вычислить приближенное значение функции y=f(x) в точках x=a и x=b, т.е. f(a) и f(b). 

Решение

Построим таблицу  конечных разностей:

 

Поскольку точка b= 0,62 находится ближе к началу таблицы, а точка a=0,88 – ближе к концу таблицы, то для нахождения значения f(b) будем использовать первый полином Ньютона, а для нахождения f(a) – второй. Ближайшее меньшее к точке b значение узла таблицы – 0.6,  а ближайшее большее к точке a – 1,0.

Выпишем первый и второй полиномы третьей степени:

P (x) =y0 + (∆y0/1!)*q + (∆²y0/2!)*q*(q-1) + (∆³y0/3!)*q*(q-1)*(q-2),

q= (0.62-0.6)/0.1=0.2,

P (x) =y4 + (∆y3/1!)*q + (∆²y2/2!)*q*(q+1) + (∆³y1/3!)*q*(q+1)*(q+2),

q= (0.88-1.0)/0.1= -1.2,

f(0.62) ≈ P (0.62) =0,5646+ (0.0796/1!)*0.2 + (-0.0064/2!)*0.2*(0.2-1) + (0.0009/3!)*0.2*(0.2-1)*(0.2-2)=

= 0.5811

f (0.88) ≈ P (0.88) = 0,8415 + (0.0582/1!)*(-1.2) + (-0.0077/2!)*(-1.2)*(-1.2+1) +

+(0.0004/3!)*(-1.2)*(-1.2+1)*(-1.2+2) = 0.7714. 
 
 
 

Задача 2. Аппроксимация функций. Подбор эмпирической зависимости.

1. Используя  систему нормальных уравнений,  найти параметры a0, a1 для линейной ỹ=a0+a1x и a0,a1,a2 для параболической ỹ=a0+a1x+a2x²  эмпирических зависимостей. Записать эти зависимости.

2. Построить  на одном чертеже графики линейной  и параболической эмпирических  зависимостей, а также нанести  на этот чертёж табличные значения.

3. Определить, какая  из двух эмпирических зависимостей (линейная или параболическая) лучше в смысле МНК.

 Дана таблица  значений функций y=f(x)

 

Найти эмпирические зависимости для двух случаев:

ỹ=a0+a1x и 

ỹ=a0+a1x+a2x² 

и определить, какая  из них лучше описывает табличные  данные.

Составим таблицу  промежуточных вычислений:

Для определения  параметров a0 и a1  линейной эмпирической зависимости подставим необходимые значения найденных сумм в систему нормальных уравнений.

Получим

10a0 + 13.440a1 = 36.870

13.44a0 + 15.508a1 = 48.402

Решив любым  методом, например методом последовательного  исключения неизвестных, систему, получим a0 = 3.081 и a1 = 0.451. Следовательно, линейная эмпирическая зависимость имеет вид:

ỹ=3.081+0.451x.

Поступая аналогичным  образом, запишем систему нормальных уравнений для определения  a0,a1,a2 квадратической эмпирической зависимости:

10a0 + 13.44a1 + 15.508a2 = 36.84

13.44a0 + 15.508a1 + 22.022a2 = 48.402

15.508a0 + 22.022a1 + 32.651a2 = 68.728

Решив эту систему, получим:

a0 =0.481, a1 = 0.982, a2 = 1.214 

ỹ = 1.214x² + 0.982x+ 0.481

Построим график

f(x)=1.214x^2+0.982x+0.481

 

 

f(x)= 0.451x + 3.081 

Чтобы определить, какая из двух эмпирических зависимостей, линейная или квадратическая, лучше  описывает табличные данные, вычислим суммы квадратов отклонений значений каждой из указанных эмпирических зависимостей от табличных: