Алгебра оқиғасы. Ықтималдылығы.Ықтималдықтың қасиеттері

 

Шектік  теорема

Егер  - шегі бар болса (кейде оны немесе деп те белгілейді), онда оны функция -тің х х₀-ге сол жағынан ұмтылғандағы шегі деп атайды. Дәл осы сияқты функция -тің х х₀-ге оң жағынан ұмтылғандағы шегі анықтауға болады.

Функцияның оң жақты және сол жақты шектерін оның бір жақты шектері деп атайды.

Функция -тің х₀-дегі шегі болуы үшін оның оң жақты және сол жақты шектерінің болуы қажетті және жеткілікті, яғни .

Функция шектері жөнінде  келесі теоремалар орынды болады:

1-теорема. Айталық онда

2-теорема. Айталық, және бар болсын, онда болады (мұнда болуы да мүмкін).

Егер осы теоремалардың  шарттары орындалмаса, онда түріндегі анықталмағандықтар жүз беруі мүмкін, ондай анықталмағандықтар алгебралық түрлендірулер арқылы айқындалады.

1-мысал. - шегін табыңыз.

Шешуі: Біз мұнда -анықталмағандығына душар боламыз. Оны айқындау үшін жақша ішіндегі өрнекті ортақ бөлімге келтіреміз. Сонда -ті аламыз, бұл бізге -анықталмағандығын береді, сондықтан х-тің орнына 2-ні қоймай тұрып, яғни, шек астындағы өрнекті (х-2)-ге қысқартамыз. Сонда -ді аламыз.

2-мысал. -шегін табыңыз.

Шешуі: Мұнда -анықталмағандығын аламыз. Оны айқындау үшін шек астындағы бөлшектің алымын да, бөлімін де х³-ке бөлеміз. Сонда:

 шек астындағы бөлшектің бөлімінің  шегі  ұмтылғанда нөлден өзгеше, олай болса оған 2-теореманы қолдануға болады, яғни,

 

Муавр-Лаплас теоремасы. тәуелсіз кездейсоқ шамалары бірдей үлестірілген және шенелген дисперсиялары бар, онда -да 

; 

арақатыс орындалады (дәлелдемесіз).

Бұл жақшаның ішінде берілген үлестірім қалыпты  үлестірімге  жақын екенін білдіреді.

Мысал.

үлестірімінің тығыздығын табалық, мұндағы n=1,2,3; , k=1,2,3- тәуелсіз кездейсоқ шамалары  [-1;1] кесіндісінде бірқалыпты үлестірілген.

Үйірткі формуласын пайдаланамыз (тығыздық суперпозициясы)

,

,

            u

                    u=x+1   

                                    u=x-1 

    -2

           0                  2  x 

 

 

, өйткені  ; ,  өйткені ;

;   ;  ; ;

:  ,    ;

 

;  ;

.                          (*)

Бұл бір қалыпты үлестірілген екі кездейсоқ шаманың қосындысы  үшін ықтималдықтың үлестірім тығыздығы 

немесе, (*) үлестірімімен  пайдаланып аламыз:

,

мұндағы үлестірім тығыздығы ,

u             u=x+1                                          u=x-1          -3       -1                     0       1          3    x

;  ;    болғанда;   ;

;

;

             (33)

Ықтималдықтың үлестірім  графигін саламыз.

 

 

 

 

 

1-сурет   2-сурет    3-сурет

(33) арақатыс Симпсон үлестірімі  деп аталады.

1, 2, 3-суреттерден n өскен  сайын кездейсоқ шаманың үлестірімі  Гаусстың қалыпты үлестіріміне  жақындайтынын байқауға болады. Шынында, бірқалыпты үлестірім  ( үлестірім тығыздығы үзілісті, 1-суретті қара). (*) үлестірім (ықтималдықтың  үлестірім тығыздығы үзіліссіз)  және үшінші жағдай, Симпсон үлестірімі, үлестірім тығыздығы үзіліссіз  және дифференциалданады (3-сурет)  және де сурет биномдық үлестірім  графигіне ұқсайды.

Теорема.   тәуелсіз кездейсоқ шамаларының ақырлы үшінші абсолюттік орталық моменті бар болсын.

;    ;     ;

;   ;     ,

сонда, егер мына қатынастың шегі 

бар болса, онда   

(дәледемесіз). Ал бұл орталық  шектік теорема.

 

Биномдық үлестірілу

Биномдық үлестірілу, Бернулли үлестірілуі — пм = П{Х = м} = пм (1 — п)н-м формуласынан анықталатын және м = 0,1,...,н бүтін мәндерін қабылдайтын Х кездейсоқ шамасы ықтималдығының үлестірілуі (мұндағы н1 және п1 — параметрлер, — биномдық коэффициент).Биномдық үлестірулер — тәуелсіз сынаулар тізбегіне байланысты болып келген негізгі ықтималдықтар үлестірілулерінің бірі. Y1, Y2, … ықтималдығы р-ға және (1 — р)-ға тең әрі әрқайсысы 1-ді не 0-ді қабылдайтын тәуелсіз кездейсоқ шамалар тізбегі болсын. Егер тәуелсіз сынаулар саны н алдын ала берілген болса, онда мұндай сұлба Бернулли сынаулары деп аталып, Х=Y1+Y2+…+Yн оң нәтижелі сынаулар қосындысы (н1) параметрі р биномдық үлестірулеріне бағынады. Биномдық үлестірулері бар Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімі және дисперсиясы Е[Х]=нп және Д[Х]=нп(1—п)  болады. Іс жүзінде биномдық үлестірулер ықтималдығын есептеу үшін: н-нің шамасы кіші болғанда — кесте, н-нің шамасы үлкен болғанда — шекті теоремаларға негізделген жуық формулалар пайдаланылады. Биномдық үлестірулердің көп өлшемді жалпыламасы полиномдық үлестірілу болып есептеледі.

 

Биноминалдық  қатар

Биноминалдық қатар –  α көрсеткіші кез келген тұрақты  сан болатын (л+з)α бином дәрежесінің  дәрежелік қатарға жіктелуі. Егер α теріс емес бүтін сан болса  биноминалдық қатар Ньютон биномы болады. Ньютон биномының биноминалдық қатар  таралу мүмкіндігі барын алғашқы  рет Ньютон 1676 жылы айтқан болатын. Бұл пікір көп кейін 1826 жылы Абель  еңбектерінде дәлелденді. Кез келген белгіленген α (жалпы алғанда, кешен) саны үшін биноминалдық қатар мына түрде жазылады:

 

Квадраттық ауытқу

Квадраттық ауытқу (синонимдары: ортаквадраттық ауытқу) — ықтималдық теориясы мен статистикада кездейсоқ  шама мәндерінің оның математикалық  болжамына қатысты таралуын сипаттайтын  маңызды көрсеткіш.

Кездейсоқ шама өлшем бірлігімен өлшенеді. Квадраттық ауытқу кезейсоқ шама дисперсиясының квадраттық түбіріне тең.

 Орта квадраттық ауытқу:

стандарттық ауытқу :

Мұндағы  — кезейсоқ шама дисперсиясы; — алынған і-ші элементі;  — таңдау көлемі; — таңдаудың арифметикалық ортасы

 

Үш сигма ережесі

 Қалыпты үлестірілу  ықтималдық тығыздығының графигі  мен кездейсоқ шама мәнінің  ұзындығы ортаквадарттық ауытқуға  тең болытаны кесінділерге түсу  пайыздық үлесі.

Үш сигма ережесі ( ) — шамамен қалыпты үлестірілетін кездейсоқ шаманың барлық мәндері    аралығында жатыр. Дәлірек айтса, 99,7 % сеніммен қалыпты үлестірілетін кездейсоқ шаманың мәндері көрсетілген аралықта жатыр ( шамасы таңдау нәтижесі емес, ақиқат болған жағдайда).

Егер ақиқатшама беймәлім болса, онда σ орнына с пайдаланады. Осылайша, Үш сигма ережесі үш с ережесіне саяды.

 

 

 

 

 

 

 

                             Пайдаланған әдебиеттер

1.Орысша-қазақша түсіндірме сөздік: Математика / 0-71 Жалпы редакциясын басқарған э.ғ.д., профессор Е. Арын - Павлодар: «ЭКО» ҒӨФ. 2007. - 192 б. Ы10. Қасымов К.А., Қасымов Е.А. Жоғары математика курсы (Сызықтық алгебра)-Алматы, Санат, 1997.

2.Қасымов К.А., Қасымов  Е.А. Жоғары математика курсы  (Математикалық талдау), т. 1-2, Алматы, КазҰУ, 2002.

3.Саханов Н., Жаңбырбаев Б. Жоғары математика. Алматы,Қайнар, 1993.

4.Қазешов А.К. және т.б. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика бойынша  есептер шығару. Алматы,1996.

5.Кәкімов Ә. Ықтималдықтар теориясы. Алматы,РБК, 1996.СБН 9965-08-339-8

6.Гмурман В.Е. «Теория  вероятиностей и математичкая  статистика» Учеб. пособие для  вузов. Изд.7-е стер-Москва «Высш.школа»  2000-479 стр (17-31-37-64 стр)