Алгебраические числа

Содержание. 

1. Введение 2
2. I. Краткий исторический очерк 3
3. II. Поле алгебраических чисел 4
4. 2.1. Понятие числового поля 4
5. 2.2. Алгебраическое число 5
6. 2.3. Поле алгебраических чисел 11
7. III. Рациональные приближения алгебраических чисел 14
8. 3.1 Теорема Лиувиля 14
9. 3.2 Трансцендентные числа Лиувиля 16
10. Заключение 18

 
 
 
 
 
 
 

 

Введение. 

     Первоначальные  элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в  примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности.

     Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее  время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел.

     Если  рассматривать корни многочленов: f(x)=xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами.

     Изучение  свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел.

 

I. Краткий исторический очерк. 

     Огромное  значение в развитии теории чисел  имели замечательные работы К. Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b – обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел.

     Теория  алгебраических чисел была построена  в работах Куммера (1810-1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел.

     Вопросы аппроксимации алгебраических чисел  рациональными были существенно  продвинуты в начале века А. Туэ, а  затем в пятидесятых годах  в работах К. Рота.

     В последнее время все большее  внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел.

     Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете.

     К алгебраической теории чисел относятся  и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм.

 

II. Поле алгебраических  чисел. 

   2.1 Понятие числового поля

     Естественный  и важный подход к выделению и  изучению тех или иных множеств чисел  связан с замкнутостью множеств чисел  относительно тех или иных действий. 

Определение 1: Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М. 

     Пример:

1. N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. "a, bÎN => (a+b) ÎN.

В отношении умножения множество  N так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно:

5, 7 ÎN, но 5-7=-2 ÏN,

3, 2ÎN, но 3:2=1,5 ÏN

2. Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.
3. Множество чисел вида 2^к, кÎN, замкнуто относительно умножения и деления.

2к*2l=2k+l

2к:2l=2k-l

     В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств.

 

      Рассмотрим один их классов, называемых полем. 

Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления. 

     Последнее означает, что для любых a, b ÎM, должно иметь место a+b, a-b, a*b ÎM. Так же для любого aÎM и любого b¹0 из М, должно выполняться a:bÎM. 

     Пример:

     Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются:

1. поле всех рациональных чисел;
2. поле всех вещественных чисел;
3. поле всех комплексных чисел.

     Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления.

     Существует  бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел. 

   2.2 Определение алгебраического числа.

     Существуют  различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел.

 

Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:

     a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=0

     (a₀, a₁, … ,a_nÎZ; a_n¹0),

     т.е. выполняется:

     a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₁z+a₀=0 

     Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными.

     В определении алгебраического числа  можно допустить, чтобы коэффициенты a₀, a₁, … ,a_n-1, a_n были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число.

     К алгебраическим числам принадлежат, в  частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z= (p, qÎN) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0.

     Также всякое значение корня любой степени  из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z= (p, qÎN) является корнем уравнения:

     qxⁿ-p=0.

     Существуют  и другие алгебраические числа, нежели указанное выше.

 

      Пример:

1. Чиcло z= является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z²=2+2 +3. Отсюда z²-5= . Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим: z⁴-10z²+25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения:

                               x⁴-10x²+1=0

2. Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b – рациональные числа, являются алгебраическими. Докажем это.

     , (p, q, ÎN).

     Из  равенства  , получаем: . Отсюда, возводя в квадрат, получим: . Следовательно, я является корнем уравнения:

                  

все коэффициенты которого целые числа.

     В дальнейшем мы будем рассматривать  только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз.

     Из f(x)=0 следует f(z)j(x)=0, где в качестве j(x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени. 

Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является z.

 

      Если корень многочлена n-ой степени  с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей  чем n, то z не может быть корнем и  тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т.е. z – алгебраическое число степени n.

     Рациональные  числа являются алгебраическими  числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой  алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями. 

     Пример:

1. - алгебраическое число 3-й степени, т.е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x³-2=0 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.

 

Определение 5: Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена f(x)=xⁿ+b₁x^n-1+ … +b_n (n³1)  (1) с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для z.

     Таким образом, минимальным многочленом  для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z.