Четвертая проблема Гильберта

её полном решении). И при этом не упоминаются ни фамилии Гамеля, ни фамилии Погорелова. Те

же слова о  «расплывчатости четвёртой проблемы Гильберта» (чтобы говорить о её окончательном

5

решении) приводятся и в недавней украинской газете «Техническая украинская газета» (Киев, март

2009 года) в статье, посвящённой 90-летию со дня  рождения А.В. Погорелова.

7. В заключениe к части I мне хочется также привести некоторые интересные мысли об

аксиоматическом подходе и проблемах Гильберта, прочитанной лауреатом Государственной

премии СССР академиком РАН Д.В. Аносовым 5 декабря 1999 г. для участников

III Международного  математического турнира старшеклассников "Кубок памяти А.Н. Колмогорова" -

школьников 8-11 классов.

Текст данной брошюры, вышедшей в серии "Библиотека "Математическое просвещение",

представляет  собой обработку записи этой лекции.

Д. В. Аносов. Взгляд на математику и нечто из нее

О дедуктивном  построении математики

Спустя две  тысячи лет один молодой человек, скорее даже юноша, читал "Начала" Евклида.

Он читал формулировку теоремы, на секунду задумывался, представляя  себе, о чем идет речь, ему

становилось ясно, что она верна, и он, не читая  доказательства, переходил к следующему

утверждению. Паренек  не понимал сути дедуктивного построения геометрии и зачем оно

нужно. Что ж, он был не первым и не последним  в этом отношении. Только это был  Ньютон.

Так как это  был Ньютон, то впоследствии он это  понял. Для своего времени он как  раз в

наибольшей степени  следовал нормам дедуктивного построения научной теории.

В школе обычно нет возможности полностью развернуть дедуктивное построение

геометрии. И не потому, что это сложно (вспомните, Ньютону первые предложения Евклида

вообще казались очевидными), а потому, что это  скучно и непонятно, зачем это  нужно

(вспомните о  нем же), и требует времени.

И надо следить, как бы ненароком не использовать что-нибудь совершенно нам ясное, но чего

мы пока что  еще не доказали. Предпринимались героические усилия, чтобы разработать

сравнительно  простую, легко обозримую аксиоматику  и чтобы строго логическое построение

геометрии на ее основе было по возможности коротким и прозрачным…

Внутренние математические проблемы

Вы, вероятно, знаете, что уже 100 лет регулярно проводятся Международные

математические  конгрессы. Так вот, при самом  их начале, на первом и втором конгрессах,

состоялись доклады  крупнейших математиков того времени  –

А. Пуанкаре и  Д. Гильберта, - посвященные двум первым компонентам развития

математики - вопросам, связанным с физикой (в то время  значение других приложений для развития

самой математики было значительно меньше, чем значение физики, да и сейчас она в этом

отношении лидирует, хотя и не в такой степени), и проблемам, возникающим в самой

математике….

Несколько слов в связи с докладом Гильберта. Сперва исторический нюанс: он был как бы

спровоцирован докладом Пуанкаре: Гильберт захотел  показать, что важнейшие стимулы  для

развития математики имеются внутри ее самой.

Доклад Гильберта  содержит сравнительно небольшую первую часть, где Гильберт в общих

чертах говорил  о значении конкретных проблем для  развития математики, и наиболее знаменитую

вторую часть, где он привел ряд таких проблем  с небольшими комментариями.

Переходя к  формулировке конкретных проблем, Гильберт сказал: "Разрешите мне в

дальнейшем, как  бы на пробу, назвать несколько определенных проблем из различных

математических  дисциплин, проблем, исследование которых  может значительно стимулировать

дальнейшее развитие науки".

6

А заканчивая, он сказал, что "названные проблемы - это только образцы проблем"…  Они

оказали большое  стимулирующее влияние на развитие математики в XX веке.

Надо оговориться, что некоторые из проблем Гильберта  относились скорее к разработке

систематических теорий, они звучали примерно так: "Исследовать такие-то вопросы  с такой-то

точки зрения". Но большинство проблем - это были вполне конкретные вопросы, на которые

требовалось ответить "да" или "нет"…Почти все  задачи Гильберта теперь решены, правда,

некоторые - не полностью.

Особенно мало я сказал о приложениях. Что вы, вероятно, знаете хуже - это как и в какой

степени приложения, причем они бывают очень различными, поныне стимулируют развитие

самой математики.

Но раз уж я начал с цитаты из литературного  классика, цитатой и кончу:

"Никто необъятного  объять не может".

Часть 2. Решение 4-й проблемы Гильберта, основанное на «золотой» фибоначчивой

гониометрии

1

Давайте еще  раз проанализируем цитату из статьи о кафедре геометрии Харьковского

университета, в  которой утверждается: "В 1974 году в книге «Четвертая проблема Гильберта»

Алексей Васильевич решил эту проблему в следующем  смысле: он определил с точностью  до

изоморфизма все  реализации тех систем классических геометрий (Евклида, Лобачевского и

эллиптической), в которых опущены аксиомы конгруэнтности, содержащее понятие угла, и

которые дополнены аксиомой «неравенство треугольника».

Таким образом, здесь утверждается, что Погорелов  решил проблему в "определенном

смысле".То есть, если даже согласиться, что Погорелов решил 4-ую проблему Гильберта, то речь

идет лишь о  решении не в полном , а в "определенном смысле", то есть, частном решении этой

проблемы, откуда вытекает, что вполне возможны решения 4-й проблемы Гильберта и в

"других смыслах", поскольку сама проблема считается  "весьма расплывчатой", то есть 4-я

проблема Гильберта  является, несомненно, одной из самых  сложных.

Именно поэтому  решение проблемы, изложенное в следующих  статьях:

1). Стахов А.П., Арансон С.Х. Золотая фибоначчиевая гониометрия, преобразования

Фибоначчи-Лоренца  и четвертая проблема Гильберта // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-

6567, публ.14816, 04.06.2008 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321087.htm

2). Stakhov, A.P. Aranson, S.Kh. "Golden" Fibonacci Goniometry, Fibonacci-Lorentz

Transformations, and Hilbert’s Fourth Problem. Congressus Numerantium, 193 (2008), 119-156,

является нашим  оригинальным решением 4-й проблемы Гильберта, которое радикальным

образом отличается от решения, изложенного в книге  Погорелова.

Мы же нигде  не говорим о том, что у нас  получено абсолютно полное и законченное

решение этой проблемы, хотя эти слова в разных вариациях  иногда приписывают А.В. Погорелову

его доброжелатели, но сам Алексей Васильевич, который  в жизни был чрезвычайно скромным

человеком, нигде  это не утверждает.

В основе нашего решения лежит так называемая «золотая» фибоначчиевая гониометрия,

изложенная в статье Стахов А.П. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи

1 Гониометрия  - часть тригонометрии, определяющая  тригонометрические функции и  соотношения между ними (см. стб.

1076 ) в «Математической энциклопедии» (под редакцией И.М. Виноградова), Москва: Советская энциклопедия, 1977 ,

Том 1. А-Г, 1152 стб. , а не только часть геометрии, в которой рассматриваются лишь способы измерения углов.

7

и Люка и усовершенствованный  метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М.,

Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006.

Эта гониометрия  основана на так называемых «металлических пропорциях», введенных Верой

Шпинадель.

Развивая идею метрической формы плоскости  Лобачевского, задаваемой выражением

( ds)2 = (du)2 + sh2 (u)(dv)2 (1)

в упомянутых выше работах Стахова и Арансона предложено бесконечное множество

метрических форм плоскости Лобачевского, основанных на гиперболических l -функциях

Фибоначчи

2 2

( ) , ( )

4 4

x x x x

sF x cF x

- -

l l l l

l l

F -F F +F

= =

+ l + l

, (2)

где

4 2

l 2

F = l + + l (3)

«металлические  пропорции», задаваемые для любого действительного числа l > 0.

Новые метрические  формы Лобаческого задаются в координатах (u,v),0 < u < +¥, -¥ < v < +¥ ,

имеют при любых  вещественных l > 0 гауссову кривизну K = -1 и представляются в виде

( ) ( )( ) ( ) ( ) 2

2 2 2 4 2 2

ln

4

ds l du sFl u dv

+ l = F +   , (4)

где

4 2

l 2

F = l + + l - металлическая  пропорция и sFl (u) - гиперболический l -синус

Фибоначчи. Формы (4) названы метрическими l -формами  плоскости Лобачевского.

Отметим, что  вопрос нахождения метрических квадратичных форм

ds2=Е(u,v)du2+2· F(u,v ) dudv+G(u,v)dv2,

при заданной гауссовой  кривизне К ( в нашем случае К=-1 при любом l >0) сводится к решению

уравнения в  частных производных

К= { },

1

4

1

4 W u W v W

G

F

E

F G F E

G G

F F

E E

w

v u u v

u v

u v

u v -

¶

+ ¶

-

¶

- + ¶

где

W2=EG-F2.

Существуют и  другие формы записи вышеуказанного уравнения в частных производных  для

нахождения коэффициентов  метрических форм .

Рассмотрим частные  случаи метрических l -форм плоскости  Лобачевского, задаваемых (4).

1) «Золотая»  метрическая форма плоскости  Лобачевского

Для случая l = 1 мы имеем 1

1 5

1.61803

2

F = + » – золотая  пропорция, и, следовательно,

метрическая форма (4) сводится к следующему: