Четвертая проблема Гильберта

8

( )2 2 ( )( )2 5 ( ) 2 ( )2

ln

4

ds 1 du sFs u dv = F +   , (5)

где 2 ( ) 2

1

1 5

ln ln 0.231565

2

 +  F =    »

 

и ( ) 1 1

5

u u

sFs u

F -F-

= - симметричный  гиперболический синус

Фибоначчи, задаваемый (2).

Будем называть метрическую форму (5) «золотой» метрической  формой плоскости

Лобачевского.

2) «Серебряная»  метрическая форма плоскости  Лобачевского

Для случая l = 2 мы имеем 2 F = 1+ 2 » 2.1421 - серебряная пропорция, и, следовательно,

метрическая форма (4) сводится к следующему:

( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2

2 ds ln 2 du 2 sF u dv = F +   , (6)

где 2 ( )

2 ln F » 0.776819 и ( ) 2 2

2 2 2

u u

sF u

F -F-

= - симметричный  гиперболический 2-синус

Фибоначчи (2).

Будем называть метрическую форму (6) «серебряной» метрической формой плоскости

Лобачевского.

3) «Бронзовая»  метрическая форма плоскости  Лобачевского

Для случая l = 3мы имеем 3

3 13

3.30278

2

F = + » - бронзовая  пропорция и, следовательно,

форма (4) сводится к следующему:

( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2

3

13

ln

4

ds 3 du sF u dv = F +   (7)

где 2 ( )

3 ln F » 1.42746 и ( ) 3 3

3 13

u u

sF u

F -F-

= - симметричный  гиперболический 3-синус

Фибоначчи, задаваемый (2).

Будем называть метрическую форму (7) «бронзовой»  метрической формой плоскости

Лобачевского.

4) «Медная» метрическая  форма плоскости Лобачевского

Для случая l = 4 мы имеем 4 F = 2+ 5 » 4.23607 - медная пропорция  и, следовательно, форма

(4) сводится к  следующему:

( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2

4 ds ln 4 du 5 sF u dv = F +   , (8)

где 2 ( )

4 ln F » 2.08408 и ( ) 4 4

4 2 5

u u

sF u

F -F-

= - симметричный  гиперболический 4-синус

Фибоначчи, задаваемый (2).

Будем называть метрическую форму (8) «медной» метрической  формой плоскости

Лобачевского

5) Классическая  метрическая форма плоскости  Лобачевского

Для случая 2 (1) 2.350402 e l = l = sh » мы имеем 2.7182

e

Fl = e» - число Непера и,

следовательно, форма (4) сводится к выражению (1), то есть, к известной классической метрической

форме плоскости  Лобачевского, задаваемой в псевдогеодезических координатах (u,v) , где 0<u<+¥,

- ¥ <v<+¥.

При любом l > 0 каждая из метрических форм (4) изометрична классической метрической

форме Лобачевского (1).

9

В Таблице ниже сведены выражения для всех рассмотренных  выше частных случаев

метрических l -форм плоскости Лобачевского.

Таблица. Метрические l -формы Лобачевского

( ) ( )( ) [ ( )] ( )

( ) ( )( ) [ ( )] ( )

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1

2

Название

Метрическая

форма

Лобачевского

"Золотая"  форма

"С еребряная" форма

Аналитическое выражение

4 4

ln

2 4

1 5 5

1 1.61803 ln

2 4

2 1 2 2.1421

ds du sF u dv

ds du sFs u dv

d

l

l l l

1

l

l -

F

l + + l + l

l > 0 F = = F +

+

l = F = » = F +

l = F = + » ( ) ( )( ) [ ( )] ( )

( ) ( )( ) [ ( )] ( )

( ) ( )( ) [ ( )] ( )

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

3 3

2 2 2 2 2

4 4

2 2 2 2

"Бронзовая"  форма

"Медная" форма

Классическая  форма

ln 2

3 13 13

3 3.30278 ln

2 4

4 2 5 4.23607 ln 5

2.350402 2.7182

e e

s du sF u dv

ds du sF u dv

ds du sF u dv

e ds du sh u dv

2

3

4

l

= F +

+

l = F = » = F +

l = F = + » = F +

l » F = » = +

Общий итог исследования, выполненного в упомянутых работах  Стахова и Арансона,

состоит в том, что получено бесконечное множество  метрических l -форм плоскости

Лобачевского  ( l > 0 -заданное положительное число), задаваемых выражением (4). Все эти

формы имеют  гауссову кривизну K= -1 и изометричны классической метрической форме

плоскости Лобачевского, задаваемой выражением (1).

А это означает, что полученные в этих работах  новые модели плоскости Лобачевского,

основанные на «металлических пропорциях» (3), вместе с классическими геометриями

Лобачевского, Римана и Минковского “могут рассматриваться как ближайшие геометрии к

обыкновенной  геометрии Евклида” (Давид Гильберт).

Таким образом, результаты, полученные Алексеем Стаховым и Самуилом Арансоном,

являются определенным вкладом в решение 4-й проблемы Гильберта. Ничего подобного в работах

выдающегося геометра А.В. Погрелова, к которому я отношусь с глубоким уважением, нет.

В заключение я  хотел бы сделать замечание в  адрес некоторых дилетантских статей,

публикуемых на сайте Академии Тринитаризма. Я не против критики, если она поступает от

серьезных исследователей, специалистов в этой области. Но я  против пустых и непрофессиональных

статей, которые  в последнее время заполняют  страницы этого замечательного сайта. Полемики по

существу нет, потому что не с кем полемизировать, а рейтинг сайта от таких публикаций при этом

резко снижается.

Я представляю, какие громы и молнии я привлеку этой статьёй на свою голову. Но, господа,

грустно и скучно тратить драгоценное время на бесконечные дискуссии, смысл которых  –

упражнения в  острословии, когда открываются  такие перспективы в развитии настоящей науки и

фундаментальных исследований !

Дерзайте, господа!

С уважением,

доктор физ-мат наук, профессор, Заслуженный деятель науки России, академик РАЕ, С.Х.

Арансон.