Автор работы: Пользователь скрыл имя, 31 Марта 2013 в 11:31, лекция
Множество – совокупность объединенных по некоторому признаку объектов. Объекты, образующие множество, называются его элементами или точками.
Запись aєA означает, что элемент а принадлежит множеству A. Запись b A означает, что элесент b не принадлежит множеству A.
Обычно множества обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, С, ..., X, У, Z, ..., а их элементы – малыми буквами латинского алфавита: а, b, с, ..., х, у, z, ... .
Иногда множество записывают с помощью фигурных скобок: А = {а1; а2; а3; ...; ап}.
РАЗДЕЛ 1. Дифференциальное исчисление
Лекция 1. Функция
Множество – совокупность объединенных по некоторому признаку объектов. Объекты, образующие множество, называются его элементами или точками.
Запись aєA означает, что элемент а принадлежит множеству A. Запись b A означает, что элесент b не принадлежит множеству A.
Обычно множества обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, С, ..., X, У, Z, ..., а их элементы – малыми буквами латинского алфавита: а, b, с, ..., х, у, z, ... .
Иногда множество записывают с помощью фигурных скобок: А = {а1; а2; а3; ...; ап}.
Пустое множество – которое не содержит ни одного элемента; обозначается символом Ø.
Бесконечное множество – которое содержит любое конечное число элементов.
Множество В называется подмножеством (частью) множества A, если каждый элемент множества В является элементом множества A. Символически это обозначают так: В A.
Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: А = В.
Числовые множества – множества, элементами которых являются числа.
Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств:
С = A В = {х | х є А или х є В}.
Пересечением двух множеств А и В является множество С, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В:
С = A В = {х | х є А и х є В}.
Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В:
С = A \ В = {х | х є А, х В}.
Если В A (В – подмножество множества A), то разность С = A \ В называется дополнением множества В до множества A.
Пример. Объединение: {1; 5; 6; 7} {2; 5; 6; 9} = {1; 2; 5; 6; 7; 9};
Пересечение: {1; 5; 6; 7} {2; 5; 6; 9} = {5; 6};
Разность: {1; 5; 6; 7} \ {2; 5; 6; 9} = {1; 7}.
Прямое (декартовое) произведение множеств A и В – это множество C=AхВ, элементами которого являются все упорядоченные пары (x, y), в которых х є А, y є В.
A={2; 3; 9}; B={1; 4}. C=AхВ={(2; 1); (2; 4); (3; 1); (3; 4); (9; 1); (9; 4)}.
Понятие действительного числа вводится поэтапно.
Вначале возникло множество натуральных чисел – для нумерации или для счета: N = {1, 2, 3, ...}.
Если к множеству N добавить 0 и отрицательные целые числа, то получится множество целых чисел Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, т.е. N Z.
Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел Q, которые выражаются отношением двух целых чисел: и т.д.
Всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби:
– чистая бесконечная периодическая дробь (период равен 3 и находится сразу после запятой),
= - 2,5(0) – смешанная конечная периодическая дробь (период равен 0);
=0,4545…=0,(45);
0,2(5) – смешанная бесконечная периодическая дробь.
По бесконечной периодической дроби можно найти рациональное число в виде обыкновенной дроби.
Пример 1. Найти рациональное число, равное смешанной бесконечной периодической дроби 0,43(1998).
Решение. Искомое рациональное число обзначим через x:
x = 0,43(1998) = . В знаменателе степень 2 – число цифр до периода, степень 4 – число цифр в периоде.
Пример 2. Найти рациональное число, равное 1,2(3).
Решение. x = 1,2(3) = .
Пример 3. Найти рациональное число, равное 0,12(34).
Решение. x = 0,12(34) = .
Иррациональные числа I выражаются бесконечной непериодической десятичной дробью. Например, , , π=3,141592654… и т.д.
Множества рациональных и иррациональных чисел составляют множество действительных чисел R = Q I.
Между множествами N, Z, Q и R существует соотношение N Z Q R.
Геометрически множество R изображается точками числовой прямой (или числовой оси) – прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.
Между множеством действительных чисел R и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число. Поэтому часто вместо «число х» говорят «точка х».
Множество действительных чисел R дополняют двумя элементами, обозначаемыми -∞ и +∞ и называемыми «минус бесконечность» и «плюс бесконечность» (или бесконечно удаленными точками).
Множество R, дополненное элементами -∞ и +∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается .
Для бесконечно удаленных точек справедливы правила:
Порядок чисел на естественный: всякое действительное число меньше +∞ и больше -∞, т.е. если х є R, то -∞ < х < +∞.
-∞ на числовой прямой находится левее всех чисел, +∞ – правее всех чисел.
Иногда R дополняют одним элементом ∞, называемым бесконечностью или бесконечно удаленной точкой.
Возьмем на числовой прямой две точки: а и b. Тогда множество, элементы которого удовлетворяют:
- неравенству а ≤ х ≤ b, называется отрезком [а; b];
- неравенству а < х < b – интервалом (а; b);
- неравенствам а ≤ х < b или а < х ≤ b – полуинтервалами соответственно [а; b) и (а; b].
Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы (-∞; b), (а; +∞), (-∞,+∞), (-∞; b], [a; +∞).
Все указанные множества объединяют термином промежуток X.
Если представить, что некоторая точка х на числовой прямой движется вправо к бесконечно удаленной точке, то записывают х®+∞ (x стремится к плюс бесконечности), если влево, то х® -∞ (x стремится к минус бесконечности).
Абсолютная величина (модуль) действительного числа х обозначается |x| и определяется:
Из определения следует, что |x| ≥ 0 для любого x.
Существуют следующие теоремы:
-а ≤ х ≤ а
Примеры. 1) Решить неравенство |x – 3| ≤ 5.
Из 1-й теоремы следует двойное неравенство: -5 ≤ х – 3 ≤ 5 или -2 ≤ х – 3 ≤ 8.
2) Решить неравенство (x + 4)2 ≥ 9.
Извлекая квадратный корень, получаем неравенство |x + 4| ≥ 3.
Из 2-й теоремы следуют неравенства: x + 4 ≥ 3 или x + 4 ≤ -3.
Далее, x ≥ -1 или x ≤ -7.
Любую точку на числовой прямой можно охарактеризовать ее окрестностью.
Окрестностью точки а на числовой прямой называется любой интервал, содержащий в себе точку а.
Интервал (а – δ; а + δ), т.е. множество точек таких, что выполняется неравенство а – δ < x < а + δ или |x – a| < δ, где δ > 0, называется δ-окрестностью точки а.
Общее определение функции: функцией f, заданной на некотором множестве X, называется правило (закон, закономерность), по которому каждому элементу х из множества X (обозн. xєX) ставится в соответствие единственный элемент у другого множества Y (уєY).
Говорят, что между элементами х и у существует функциональная зависимость.
Множество X называется областью определения (множеством допустимых значений X или областью существования) функции и обозначают буквой D, множество Y – областью значения функции и обозначают Е.
Символьное обозначение определения функции: или y=f(x). Буква f – символ правила, по которому значениям x ставятся в соответствие значения y.
При исследовании могут рассматриваться различные функции, поэтому они могут обозначаться различными буквами: f(x), F(х), q(х) и т.д.
Поскольку х и у могут принимать любые значения, принадлежащие множествам D и Е, то их называют переменными величинами. Поскольку переменная величина х выбирается из множества D произвольно, то ее называют независимой переменной (аргументом); переменная величина у – зависимой переменной или просто функцией.
Функция считается заданной, если приведено правило для определения значения функции, соответствующего данному значению аргумента.
Наиболее часто используются аналитический, графический и табличный способы задания функции.
Аналитический способ состоит в представлении функции формулой (аналитическим выражением). Оно указывает алгоритм (порядок) выполнения действий над значением аргумента с целью получения соответствующего значения функции.
Например, y = 2x + 3 или y = 3x2 – 4.
Если функция задается только аналитически без каких-либо дополнительных условий, то под ее областью определения D понимают совокупность всех тех значений аргумента x, для которых аналитическое выражение имеет смысл.
Например, необходимо исключать из области определения D все значения аргумента x, при которых выражение под знаком радикала (корня) четной степени становится отрицательным, или исключать все значения x, приводящие к делению на 0.
Например, областью определения функции является вся числовая ось (все множество действительных чисел R) ó ;
ООФ для функции является вся числовая ось, кроме точки x= - 4 (с «выколотой» точкой), т.е. объединение интервалов: ;
ООФ функции является отрезок –3 3, так как , и т.д.
Функция может быть задана двумя или бóльшим числом формул. Например, функция модуля у=|х| задается двумя формулами:
Аналитически функция может быть задана в явном или неявном виде. В рассмотренных примерах функция у была задана в явном виде y=f(x), т.е. формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной y.
Функция задана в неявном виде, если она описывается уравнением F(x,у)=0, т.е. не разрешенном относительно зависимой переменной у. Например, уравнение задает неявную функцию у.
Графический способ задания функции заключается в построении графика – некоторой линии в данной системе координат.
Например, в прямоугольной системе координат график функции состоит из точек координатной плоскости с координатами (x, f(x)). Каждая точка графика M(x, y) представляется как упорядоченная пара чисел (x, y), т.е. имеет абсциссу (соответствует значению аргумента х) и ординату (соответствует значению функции у).
Табличный способ задания функции состоит в задании функциональной зависимости в виде таблицы, содержащей ряд числовых значений аргумента и соответствующих им значений функции.
1. Четность и нечетность.
Функция у=f(х) называется четной, если для всех х из области определения выполняется f(-х)=f(х), и нечетной, если f(-х)=-f(х). В противном случае функция у=f(х) называется функцией общего вида.
График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис.1).
Рис. 1.Четные функции
Примеры четных функций: y=1/x2; y=x2; y=cos x; y=|x|.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).
Рис.2. Нечетные функции
Примеры нечетных функций: y=1/x; у=х3; у=х; y=tg x.
Функция общего вида не является ни четной, ни нечетной.
Её график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат (рис.3).
Рис.3. Функции общего вида
Примеры функций общего вида: ; y=-2x; .
2. Монотонность.
Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на интервале (а,b), если большему значению аргумента х в этом интервале соответствует большее (меньшее) значение функции.
Это значит, что для любых значений х1 и х2 из интервала (а,b) неравенству х1<х2 в случае возрастания функции соответствует неравенство f(x1) < f(x2), а в случае убывания – неравенство f(x1) > f(x2) (рис. 4).
Рис.4 (a). Возрастающая функция Рис.4 (б). Убывающая функция
Функции возрастающие и убывающие называются строго монотонными.
К монотонным функциям относятся неубывающие и невозрастающие функции, т.е. такие, для которых при х1<х2 выполняются, соответственно, неравенства f(x1) ≤ f(x2) и f(x1) ≥ f(x2).
Например, функция y=x2 при xє(-∞;0] убывает, при xє[0;+∞) возрастает.