Дифференциальное исчисление: Функция

 

3. Ограниченность.

Функция у=f(x) называется ограниченной на интервале (а, b), если существует такое положительное число M > 0, что для всех х из данного интервала выполняется неравенство |f(x)| £ М.

Например, тригонометрические функции y=sin x и y=cos x ограничены на всей числовой оси (-∞;+∞) и число М для них равно 1, так как |sin x| £ 1 и |cosx|£1.

График ограниченной функции лежит в полосе -М £ у £ М (рис.5).

Рис.5. Ограниченная функция

 

4. Периодичность.

Функция у=f(х) называется периодической с периодом Т, если для любых x из области определения функции выполняется f(х±Т) = f(х).

Период – наименьшее из положительных чисел, удовлетворяющих данному свойству.

Примерами периодических функций служат тригонометрические функции y=sinx, у=соsx, у=tgx, y=ctgx. Период первых двух функций равен 2p (так как для любых xєR sin(x+2p)=sinx и соs(x+2p)=соsx, а две последние имеют период, равный p: tg(x+p)=tgx и ctg(x+2p)=ctgx.

График периодической функции достаточно построить на отрезке длины Т, далее эта кривая повторяется на всю область существования функции (рис.6).

Рис.6. Периодическая функция

 

8. Основные элементарные функции

 

К основным элементарным функциям относятся функции:

1) Степенная функция: , где n – действительное число (nєR).

2) Показательная функция: , где а – положительное число, не равное единице (a > 0, а≠1).

3) Логарифмическая функция: , где – положительное число, не равное единице (a > 0, а≠1).

4) Тригонометрические функции: , , , .

5) Обратные тригонометрические функции:

, , , .

Свойства  и графики основных элементарных функций

 

1) Степенная функция .

1. n=0, y = x⁰.

 

2. n=1, y = x

 

3. y = xⁿ, nєN

n – нечетное натуральное число ≥ 3.

4. y = xⁿ, nєN

n – четное натуральное число .

 

 

5. y = x ^–n, nєN

n – нечетное натуральное число.

6. y = x ^–n, nєN

n – четное натуральное число.

 

7. , nєN

n – нечетное натуральное число, n>1.

 

8. , nєN

n – четное натуральное число.

 

 

2) Показательная  функция

1. ; 0 < а < 1, а≠1.

2. ; a > 1, а≠1.

 

3) Логарифмическая  функция .

1. ; 0 < а < 1, а≠1.

2. ; а > 1, а≠1.

 

 

4) Тригонометрические  функции

1. y = sin x

 

2. у = соs x

 

3. у = tg x

 

4. у = ctg х

5) Обратные  тригонометрические функции

1. y = arcsin x

2. у = arcсоs x

 

3. у = arctg x

4. у = arcctg x

 

9. Сложная функция

 

Пусть функция у=f(u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u, в свою очередь, является функцией u=j(х) от переменной х, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция у=f(j(х)) называется сложной функцией (композицией функций, функцией от функции).

u – промежуточный аргумент сложной функции.

Например, – сложная функция, так как состоит из двух функций: и .

Сложная функция  составлена из трех функций: , , .

 

10. Элементарная функция

 

Функция называется элементарной, если она получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и операций образования сложной функции.

Например, функция

является элементарной, так как она получена из основных элементарных функций: степенной  и тригонометрической с помощью операции сложения.

Функция

является элементарной, так как она получена из основных элементарных функций: , , , , , с помощью конечного числа алгебраических операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций образования сложной функции.

Примеры неэлементарных функций: функция  Дирихле (рис.7); функция y=[x] (читается «y равно антье x») – целая часть от значений аргумента x (рис.8).

Функция Дирихле:

определена на всей числовой прямой; множество ее значений состоит из двух точек: 0 и 1. График ее изобразить невозможно. На рис.7 приведено лишь схематическое изображение функции Дирихле.

Функция y=[x] задана для вещественных значений x (x є R), а множество ее значений состоит из целых чисел (y є Z) (рис.7).

 

Рис.7 Рис.8

Элементарные функции  делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Функция называется алгебраической, если над ее аргументом проводится конечное число алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление). Алгебраические функции тесно связаны со степенными. К ним относятся:

- Многочлен (полином) – целая рациональная функция P_n(x):

.

Здесь – постоянные числа (коэффициенты); nÎN – степень многочлена. Функция определена на всей числовой оси.

К целым рациональным относятся распространенные линейная (степень n=1) и квадратичная (n=2) функции.

- Дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов P_n(x)/ Q_m(x):

- Иррациональная функция – если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня.

Неалгебраические (трансцендентные) функции получают из показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических функций.

 

 

11. Обратная функция

 

Пусть функция у=f(x) отображает область определения D на область значений E взаимно однозначно, т.е. каждому значению х из области D соответствует единственное значение у из области E, и обратно, каждому у из E соответствует единственное значение х из D. Тогда можно задать функцию x=j(y), обратную к y=f(x) следующим образом:

Если каждому

, то каждому .

Функции f и j называются взаимно обратными.

Функцию, обратную данной функции f, обозначают f^-1 или x=f^-1(y), . Для обратной функции f^-1 множество D – область значений, множество Е – область определения.

Для задания обратной функции f^-1 надо решить уравнение y=f(x) относительно х (если это возможно), выразив х через у: x=f^-1(y).

Пример. Для функций , и , найти обратные к ним функции, если последние существуют.

Решение. Для функции  , функция , является обратной (рис.9).

У функции  , не существует обратной, так как разным х₁ и х₂ может соответствовать один и тот же y. Например, числам и соответствует одно и то же число (рис.10).

Рис.9 Рис.9

Однако традиционно независимую переменную обозначают через x, а функцию через y, поэтому функция, обратная к функции y=f(x), примет вид

y=φ(x)=f^-1(x).

Например, для функции  , обратной будет функция , . Для функции y=a^x обратной будет функция y=log_ax.

Существует теорема, что для любой строго монотонной функции у=f(x) существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функций у=f(x) и y=j(x) симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов, то есть прямой y=x (рис.11).

Рис. 11