Дифференциальные уравнения n-го порядка

 

Если какой-либо из действительных корней характеристического уравнения  повторяется r раз (r-кратный корень), то в фундаментальной системе решений ему отвечают r функций; если  
l_k=l_k+1 = ... = l_k+r-1,  
то в фундаментальную систему решений уравнения входят r функций: 
y_k(x) = exp(l_kx), 
y_k+1(x) = xexp(l_kx),  
y_k+2(x) = x²exp(l_kx), ...,  
y_k+r-1(x) =x^r-1 exp(l_nx).

Пример 7. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней.

Фундаментальная система  решений и общее решение для  случая кратных действительных корней

Рассмотрим уравнение y''- 2y' + y = 0.  
Его характеристическое уравнение l² - 2l + 1 = 0

имеет один кратный действительный корень l ₁ = l ₂ = 1.  
Фундаментальная система решений уравнения:  y₁ = exp(x) и y₂= xexp(x) 
Общее решение уравнения: y(x) = c₁exp(x) + c₂xexp(x).

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то каждой паре простых (имеющих кратность 1 ) комплексных корней 
l_k,k+1=a_k ± ib_k  
в фундаментальной системе решений отвечает пара функций 
y_k(x) = exp(a_kx)cos(b_kx), y_k+1(x) = exp(a_kx)sin(b_kx).

Пример 8. Фундаментальная система решений и общее решение для случая п простых комплексных корней.

Фундаментальная система  решений и общее решение для  случая простых комплексных корней

Рассмотрим уравнение y'' - 2y' + 5y = 0.  
Его характеристическое уравнение  l² - 2l + 5 = 0 
имеет пару комплексно сопряженных корней  l₁ = 1-2i, l₂ = 1+ 2i. 
Фундаментальная система решений уравнения: exp(x)cos2x, exp(x)sin2x. 
Общее решение уравнения: y(x) = c₁exp(x)cos2x + c₂exp(x)sin2x.

ПРИМЕР 4. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней. Мнимые корни.

Фундаментальная система  решений и общее решение для  случая простых комплексных корней. Мнимые корни

Рассмотрим уравнение y'' + y = 0. 
Его характеристическое уравнение l² + 1 = 0 
имеет пару комплексно сопряженных корней l₁ =i, l₂ = -i. 
Фундаментальная система решений уравнения: cosx, sinx 
Общее решение уравнения: y(x) = c₁cosx + c₂sinx.

Если же комплексная пара корней имеет кратность r, то  такой паре  
l_k=l_k+1 = ... = l_2k+2r-1=a_k ± ib_k,  
в фундаментальной системе решений отвечают функции  
    exp(a_kx)cos(b_kx),          exp(a_kx)sin(b_kx), 
   xexp(a_kx)cos(b_kx),        xexp(a_kx)sin(b_kx), 
  x²exp(a_kx)cos(b_kx),      x²exp(a_kx)sin(b_kx), 
................ 
x^r-1exp(a_kx)cos(b_kx),    x^r-1exp(a_kx)sin(b_kx).

ПРИМЕР 5. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных комплексных корней.

Фундаментальная система  решений и общее решение для  случая кратных  комплексных корней

Рассмотрим уравнение y''''- 4y''' + 14y'' - 20y' + 25y = 0.  
Его характеристическое уравнение l⁴- 4l³ + 14l² - 20l + 25 = 0 
имеет пару кратных комплексно сопряженных корней 
l_1,2 =1- 2i, l_3,4 = 1 + 2 i.  
Фундаментальная система решений уравнения: 
y₁ = exp(x)cos2x, y₂= exp(x)sin2x, y₃ = xexp(x)cos2x и y₄ = xexp(x)sin2x.  
Общее решение уравнения:  
y(x) = c₁exp(x)cos2x + c₂exp(x)sin2x + c₃xexp(x)cos2x + c₄xexp(x)sin2x.

Таким образом, для отыскания общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: 
записать характеристическое уравнение; 
найти все корни характеристического уравнения l₁, l₂, ... , l_n; 
записать фундаментальную систему решений y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x); 
записать выражение для общего решения y(x)= c₁ y₁(x) +  c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x). 
Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c₁,..., c_n, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений   
c₁ y₁(x₀) +  c₂ y₂(x₀) + ... + c_n y_n(x₀) = y₀, 
c₁ y'₁(x₀) +  c₂ y'₂(x₀) + ... + c_n y'_n(x₀)   =y_0,1, 
......... , 
c₁ y₁^(n-1)(x₀) +  c₂ y₂^(n-1)(x₀) + ... + c_n y_n^(n-1)(x₀) = y_0,n-1

ПРИМЕР 6. Решение задачи Коши.

Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для  однородного дифференциального  уравнения 
y'' + 2y' + 3y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1.  
Его характеристическое уравнение l² + 2l + 3 = 0 
имеет пару комплексно сопряженных корней l₁ = -1- i, l₂ = -1 + i. 
Фундаментальная система решений содержит два решения  
exp(-x)cos x, y=exp(-x)sin x, 
его общее решение имеет вид  
y(x) = c₁exp(-x)cos x + c₂exp(-x)sin x. 
Решение задачи Коши y(0)=1, y'(0)=1 находим из условий 
y(0) = c₁exp(0)cos(0) + c₁exp(0)sin(0) = c₁ =1,  
y'(0) = -c₁exp(0)cos(0) -c₁ exp(0)sin(0) - c₂exp(0)sin(0) + c₂ exp(0)cos(0) =  
= - c₁ + c₂ =1,  откуда c₁ = 1 и c₂ = . Подставив константы в выражение для общего решения получим решение задачи Коши  
y(x) = exp(-x)cos x + exp(-x)sin x.

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = f(x), 

где y = y(x) — неизвестная функция, a₁(x), a₂(x), ..., a_n-1(x), a_n(x), f(x) — известные, непрерывные, справедливо:  
1) если y₁(x) и y₂(x) — два решения неоднородного уравнения, то функция 
y(x) = y₁(x) - y₂(x) — решение соответствующего  однородного уравнения; 
2) если y₁(x) решение неоднородного уравнения, а  y₂(x) — решение соответствующего однородного уравнения, то функция 
y(x) = y₁(x) + y₂(x) — решение неоднородного уравнения; 
3) если  y₁(x), y₂(x), ...,  y_n(x) — n линейно независимых решений однородного уравнения, а y_ч(x) — произвольное решение неоднородного уравнения,  
то для любых начальных значений  
x₀,  y₀,   y_0,1, ..., y_0,n-1  
существуют такие значения  
c*₁, c*_n, ..., c*_n, что решение  
y*(x)=c*₁ y₁(x) + c*₂ y₂(x) + ... + c*_n y_n (x) + y_ч(x) 
удовлетворяет при x = x₀ начальным условиям 
y*(x₀)=y₀, (y*)'(x₀)=y_0,1 , ...,(y*)^(n-1)(x₀)=y_0,n-1.

Выражение  
y(x)= c₁ y₁(x) +  c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x)   + y_ч(x)  
называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Для отыскания частных  решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:  
P_k(x)exp(ax)cos(bx) + Q_m(x)exp(ax)sin(bx),  
где P_k(x), Q_m(x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.

Метод подбора, или метод  неопределенных коэффициентов, состоит  в следующем.  
Искомое решение уравнения записывается в виде: 
(P_r(x)exp(ax)cos(bx) + Q_r(x)exp(ax)sin(bx))x^s,  
где P_r(x), Q_r(x) — многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами 
p_r , p_r-1, ..., p₁, p₀, q_r, q_r-1, ..., q₁, q₀.  
Сомножитель x^s называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень 
l =a ± ib  кратности s. 
Т.е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая — с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель x^s. Если же такого совпадения нет (s=0),  то резонансный сомножитель отсутствует.

Подставив выражение для  частного решения  в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны.  
Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида x^texp(ax)sin(bx), x^texp(ax)cos(bx)  с одинаковыми степенями t.  
Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.

Пример 8.

Решить  уравнение

Общее решение данного уравнения будем  искать в виде:   где

общее решение  соответствующего однородного уравнения,   частное решение.

Решим соответствующее однородное уравнение 

Характеристическое  уравнение:

 

 

Частное решение ищем в виде:

 

Подставим эти производные в данное уравнение, получим:

 

 

 

Таким образом, для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует

• найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l₁, l₂, ... , l_n, записать фундаментальную систему решений y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x));
• найти любое частное решение неоднородного уравнения y_ч(x);
• записать выражение для общего решения

y(x)= c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x) + y_ч(x);

Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c₁,..., c_n, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений

c₁ y₁(x₀) + c₂ y₂(x₀) + ... + c_n y_n(x₀) + y_ч(x₀)= y₀,

c₁ y'₁(x₀) + c₂ y'₂(x₀) + ... + c_n y'_n(x₀) + y_ч(x₀)=y_0,1,

......... ,

c₁ y₁^(n-1)(x₀) + c₂ y₂^(n-1)(x₀) + ... + c_n y_n^(n-1)(x₀) + y_ч(x₀)= y_0,n-1

Пример 9.

Решить  задачу Коши 

Общее решение данного уравнения будем  искать в виде:   где

общее решение  соответствующего однородного уравнения,   частное решение.

Решим соответствующее однородное уравнение 

Характеристическое  уравнение 

 

 

Подставим в исходное уравнение, получим:

 

 

Найдем  и ,  используя начальные условия:

 

МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ  ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО  УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Доказано, что для линейного неоднородного дифференциального уравнения  
y⁽ⁿ⁾ + a₁ y^(n-1) + ... + a_n-1 y' + a_n y = f(x) 
при непрерывной правой части f(x), для любых начальных значений  
x₀,  y₀,   y_0,1, ..., y_0,n-1  
существует и единственно решение задачи Коши  
y(x₀)=y₀, (y)'(x₀)=y_0,1 , ...,(y)^(n-1)(x₀)=y_0,n-1.

Решение задачи Коши для  неоднородного дифференциального  уравнения с постоянными коэффициентами можно найти методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа), который состоит в следующем:  
Записываем искомое решение задачи Коши для неоднородного уравнения  в виде  
y(x)= c₁(x) y₁(x) +  c₂(x) y₂(x) + ... + c_n(x) y_n(x), 
где  y₁(x),  y₂(x), ..., y_n(x)  — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, и находим неизвестные функции 
c₁(x) ,  c₂(x), ...,  c_n(x), 
такие, чтобы функция y = y(x) удовлетворяла неоднородному уравнению и заданным начальным условиям.

Опишем алгоритм решения задачи Коши для уравнения  второго порядка 
y'' + a₁ y' + a₂ y = f(x), y(x₀)=y₀, (y)'(x₀)=y_0,1.  
Будем искать решение задачи в виде 
y(x)= c₁(x) y₁(x) +  c₂(x) y₂(x),  
где  y₁(x),  y₂(x) — линейно независимые решения однородного уравнения 
y'' + a₁ y' + a₂ y = 0. 
Вычислим  y'(x), y''(x)  и подставим полученные выражения в уравнение.  
Вычислим первую производную 
y'(x)= (c₁'(x) y₁(x) +  c₂(x)' y₂(x)) + (c₁(x) y₁'(x) +  c₂(x) y₂'(x)),  
положим  
c₁'(x) y₁(x) +  c₂(x)' y₂(x)  = 0 
и тогда  
y'(x)= c₁(x) y₁'(x) +  c₂(x) y₂'(x), 
y''(x)= (y'(x))'= (c₁(x) y₁'(x) +  c₂(x) y₂'(x))'= 
=c₁'(x) y₁'(x) +  c₂(x)' y₂'(x) + c₁(x) y₁''(x) +  c₂(x) y₂''(x). 

 

Подставив y(x) и ее производные в уравнение, получим: 
y'' + a₁ y' + a₂ y = 
= c₁'(x) y₁'(x) +  c₂(x)' y₂'(x) + c₁(x) y₁''(x) +  c₂(x) y₂''(x) +  
+ a₁(c₁(x) y₁'(x)+c₂(x) y₂'(x)) + a₂(c₁(x) y₁(x)+c₂(x) y₂(x)) = 
= c₁(x)( y₁''(x)+a₁ y₁'(x)+a₂ y₁(x)) + c₂(x)( y₂''(x)+a₁ y₂'(x)+a₂ y₂(x)) + 
+ c₁'(x) y₁'(x) +  c₂(x)' y₂'(x) = 0 + 0 + c₁'(x) y₁'(x) +  c₂(x)' y₂'(x) = f(x), 
при условии c₁'(x) y₁(x) +  c₂(x)' y₂(x)  = 0.