Дифференциальные уравнения n-го порядка

Тогда неизвестные функции c₁(x) и c₂(x) являются решениями системы линейных дифференциальных уравнений  
c₁'(x) y₁'(x) +  c₂(x)' y₂'(x) =  f(x), 
c₁'(x) y₁(x) +  c₂(x)' y₂(x)  = 0 
с известными y₁(x) и y₂(x). 
Эта система легко разрешима относительно c₁(x) и c₂(x): 
c₁'(x) =  f(x)y₂(x)/(y₁'(x)y₂(x)-y₁(x)y₂'(x)), 
c₁'(x)= f(x)y₁(x)/(y₁(x)y₂'(x)-y₁'(x)y₂(x)). 
Вычислив интегралы в правой части системы, получим 

Произвольные константы C₁  и  C₂   определяются из начальных условий.

Заметим, что разрешимость системы дифференциальных уравнений  для  
c₁'(x) и c₂'(x) и однозначная разрешимость системы начальных условий для произвольных констант C₁  и    C₂  гарантированы линейной независимостью  y₁(x) и y₂(x), 
(y₁'(x)y₂(x)-y₁(x)y₂'(x))№0 для линейно независимых y₁(x) и y₂(x).

Для того чтобы  решить задачу Коши для уравнения  более высокого порядка действуем  аналогично.  
Решение задачи Коши ищем в виде 
y(x)= c₁(x) y₁(x) +  c₂(x) y₂(x) + ... + c_n(x) y_n(x), 
где  y₁(x),  y₂(x), ..., y_n(x)  — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения. 
Неизвестные функции c₁(x) ,  c₂(x), ...,  c_n(x) 
находим как решения линейной системы дифференциальных уравнений 
c₁'(x) y₁(x) +  c₂(x)' y₂(x) + ... + c_n'(x) y_n(x) = 0 
c₁'(x) y₁'(x) +  c₂'(x) y₂'(x) + ... + c_n'(x) y_n'(x) = 0, 
c₁'(x) y₁''(x) +  c₂'(x) y₂''(x) + ... + c_n'(x) y_n''(x) = 0, 
................. 
c₁'(x) y₁^(n-1)(x) +  c₂'(x) y₂^(n-1)(x) + ... + c_n'(x) y_n^(n-1)(x) = f(x), 
которая в силу линейной независимости y₁(x),   y₂(x), ..., y_n(x)   разрешима относительно c_i'(x).  
Вычислив c_i(x) = F_i(x) + C_i находим произвольные постоянные C_i из начальных условий и тогда искомое решение уравнения имеет вид 
y(x)= F₁(x) y₁(x) + F₂(x) y₂(x) +  ...+ F_n(x) y_n(x) + C₁y₁(x) + C₂ y₂(x) +...+ C_ny_n(x). 

 

Таким образом, для того чтобы решить методом вариации произвольных постоянных решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения  с постоянными коэффициентами следует: 
записать характеристическое уравнение; 
найти все корни характеристического уравнения l₁, l₂, ... , l_n; 
найти фундаментальную систему решений y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)); 
представить искомое решение задачи Коши  в виде линейной комбинации   
y(x)= c₁(x)y₁(x) +  c₂(x)y₂(x) + ... + c_n(x)y_n(x),  
с неизвестными функциями c₁(x), c₂(x), ...,  c_n(x); 
составить и решить систему для c₁ (x), c₂(x), ...,  c_n(x); 
подставить вычисленные c_i(x) = F_i(x) + C_i  в выражение для решения и записать для него начальные условия; 
найти из начальных условий значения констант C_i и записать искомое решение.

Для отыскания  общего решения линейного неоднородного  дифференциального уравнения с  постоянными коэффициентами следует 
найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l₁, l₂, ... , l_n, записать фундаментальную систему решений y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)); 
найти методом вариации произвольных постоянных любое частное решение неоднородного уравнения y_ч(x); 
записать выражение для общего решения  
y(x)= c₁ y₁(x) +  c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x) + y_ч(x).

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ  КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение вида

  где -известные функции. Если - частное решение уравнения при   то посредством замены порядок уравнения можно понизить.

 Дифференциальное уравнение вида

 

называется уравнением Эйлера. С помощью замены его можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим решение дифференциального  уравнения 3-го порядка с переменными  коэффициентами.

Пример10.

Решить уравнение 

 

Полагая получаем уравнение 

 

Из соотношений    находим частное решение для последнего уравнения   Применив еще раз указанную замену, можем записать:  тогда данное уравнение примет вид: 

   Интегрируя это уравнение, получим: или

 

Производя далее очевидные подстановки, получим уравнение: 

   из которого находим 

Общее решение данного уравнения:

 

3.6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ  ПОРЯДКА

Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием.

Пример 10.

 

 =

Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные.

Порядок уравнения вида F(x, y^(k), y^(k+1), y^(k+2), …,y⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащего функции y(x) и (k – 1) младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y^(k)(x). Тогда  

 и относительно z(x) уравнение примет вид

т.е. будет уравнением (n – k)-го порядка. После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается уравнение

y^(k) = z(x).

Пример11.

Решить задачу Коши: 

.

Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой  функции   

Тогда , и уравнение примет вид

Это - уравнение Бернулли; пусть  тогда

 

 

 

 

    следовательно, 

Относительно y(x) - это уравнение  

Мы можем последовательно  находить

 

   и так далее, однако в этом нет необходимости. Так как мы решаем задачу Коши, то из начального условия при x = 1 можно определить и знак частного решения, и значение постоянной C₁:

 

Теперь 

 

Из условия  при x = 1 находим C₂:

;

из условия y = 3 при x = 1 находим C₃:

 

.

Окончательный ответ: 

Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x.

Порядок уравнения  не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y:  Старшие производные y по x вычисляются по правилу дифференцирования сложной функции:

 

Аналогично,

 

 

 

Также находятся следующие производные, и всегда k -ая производная y по x выражается через -ую производную по. В случае уравнения второго порядка в результате таких преобразований получим

 т.е. уравнение  первого порядка (в котором y выступает как аргумент,  - как неизвестная функция). После нахождения решения

   этого уравнения решается уравнение  решение которого будет общим решением исходного уравнения.

Пример12.

Задача Коши

                         .

Переменная явно в уравнение не входит, поэтому полагаем ,  тогда   Просто сократить на это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений

  поэтому рассматриваем  два случая:

1.

2.        

Это – уравнение с разделяющимися переменными:

 

Получено уравнение , решаем его:

 

 

Это общее решение уравнения, в  данном случае оно включает в себя решение при. Находим значения постоянных, при которых удовлетворяются начальные условия: из

 

Далее, из  следует, что т.е.. Частное решение –

4 НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ.

Уравнения, содержащие неизвестные  функции и их производные в  степени выше первой или каким-либо более сложным образом, называются нелинейными. В последние годы они  привлекают все большее внимание. Дело в том, что физические уравнения  обычно линейны лишь в первом приближении; дальнейшее и более точное исследование, как правило, требует использования  нелинейных уравнений. Кроме того, многие задачи нелинейны по своей сути. Так как решения нелинейных уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

Приближенные решения  дифференциальных уравнений могут  быть найдены в численном виде, но для этого требуется много  времени. С появлением быстродействующих  компьютеров это время сильно сократилось, что открыло новые  возможности численного решения  многих, ранее не поддававшихся такому решению, задач.

Пример 13.

.

Полагая ,  получаем  .  Находим из равенства

   и, интегрируя  раз, получаем .

Параметрическая форма решения:

 .

4.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

Обыкновенное дифференциальное уравнение – это некоторое  утверждение о производной неизвестной  функции одной переменной. Дифференциальное уравнение в частных производных  содержит функцию двух или более  переменных и производные от этой функции по крайней мере по двум различных переменным.

В физике примерами таких  уравнений являются уравнение Лапласа

 

где, согласно одной из возможных  интерпретаций, u – температура в плоской области, точки которой задаются координатами x и y; уравнение теплопроводности

 

где t – время, x – расстояние от одного из концов однородного стержня, по которому распространяется тепловой поток; и волновое уравнение

                            

где t – снова время, x и y – координаты точки колеблющейся струны.

Решая дифференциальные уравнения  в частных производных, обычно не стремятся найти общее решение, поскольку оно скорее всего окажется слишком общим, чтобы быть полезным. Если решение обыкновенного дифференциального уравнения определяется заданием условий в одной или нескольких точках; то решение дифференциального уравнения в частных производных обычно определяется заданием условий на одной или нескольких кривых. Например, решение уравнения Лапласа может быть найдено в точке (x, y) внутри круга, если значения u заданы в каждой точке ограничивающей окружности. Поскольку проблемы с более чем одной переменной в физике являются скорее правилом, чем исключением, легко представить, сколь обширен предмет теории дифференциальных уравнений в частных производных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе на основе анализа  многих источников были приведены определения  и теоретические сведения по всем основным видам дифференциальных уравнений n-го порядка: линейные (однородные и неоднородные), нелинейные, с частными производными, с постоянными и переменными коэффициентами, допускающие понижение степени. Описаны методы решений уравнений с соответствующими примерами решений. Поставленные задачи решены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ  ИСТОЧНИКИ

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. (В 2-х томах).-М.: Наука, 1985
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. ( В 3-х томах ) М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001
3. Р.Курант. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука: Гл. ред. физмат. лит., 1967
4. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001
5. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем. - 4-е изд., исп. — М.: Наука: Гл. ред. физмат. лит., 1971
6. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003
7. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000
8. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Для вузов.— 6-е изд., испр. и доп.— Мн.: Выш. шк., 1987.
9. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - 3е изд.- М., Высшая школа, 1967
10. Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. - М.: Изд-во МАИ, 2000

Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Издательство МГТУ им.Н.Э.Баумана