Дружественные числа

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ  УКРАЇНИ

ГОЛОВНЕ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ і  НАУКИ

ВИКОНАВЧОГО ОРГАНУ КИЇВміськРАДИ

(київської  міської державної  адміністрації)

КИЇВСЬКЕ  ТЕРИТОРІАЛЬНЕ ВІДДІЛЕННЯ

МАЛОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ 
 
 

 Відділення: Математики

 Секція:Алгебра та початки аналізу

 Базова дисципліна: Математика 
 
 

ДРУЖНІ  ЧИСЛА 
 

                                                   АВТОР РОБОТИ

дійсний член МАН

Красіна Катерина Олегівна

дата  народження:

10 серпня 1995 р.

Учениця 10-Б  класу

Спеціалізованої школи №196 м. Києва

Святошинського  району

домашня адреса: вул. Гната Юри 1/11 кв.59

контактні телефони : 407-91-41; 093-801-81-39

педагогічний  керівник (прізвище, ім`я по батькові (повністю), наукове звання, місце роботи, посада та контактні телефони)  
 
 
 
 
 
 

КИЇВ  – 2011 
 
 
 
 

ДРУЖНІ  ЧИСЛА 
 

ЗМІСТ

Вступ____________________________________________________________

I .

1. ___________________
2. _________________________

II.

2.1 ______________________

  2.2 ______________

ВИСНОВОК____________________________________________________

Список  використаних джерел __________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 

ВСТУП

     Дру́жні чи́сла - два натуральні числа́, для  яких сума усіх дільників першого  числа́ (окрім нього самого) дорівнює другому числу і сума усіх дільників  другого числа́ (окрім нього самого) дорівнює першому числу. Іноді приватним випадком дружніх чисел вважаються досконалі чи́сла: кожне досконале число дружнэ сааме собі. Зазвичай же, кажучи про дружні числа, мають на увазі пари з двох різних чисел.

     Актуальність  теми: Дружні числа є складовою теорії чисел ,що є одним з напрямів математики, який інколи називають «вищою арифметикою». На ній засновано багато цікавих аспектів прикладних технологій в самих різних галузях науки і техніки. Знання основ теорії чисел допомагає розробляти більш оптимізовані алгоритми в обчислювальних завданнях, а також успішно застосовувати чисельні методи при вирішенні різних завдань за допомогою обчислювальної техніки. Більш того, теорія чисел дозволяє бути уважнішим до різних числових послідовностей, розвиває уміння знаходити приховані взаємозв'язки в здавалося б хаотичній безлічі чисел. Все це, у свою чергу, найблаготворнішим чином позначається на розвитку інтелектуальних здібностей людини. Також тема дружніх чисел цікава не тільки для математичного, але й для історичного дослідження, тому що містить багато загадок.

     Мета  дослідження: Дослідити принципи й особливості формування теорії дружніх чисел. Визначити властивості дружніх чисел та довести їх дієвість  способом знаходження пар дружніх чисел, розв’язування задач. створення презентації Power Point на ПК ,задля підсумку й систематизації дослідженого.

     Методи  дослідження: аналіз, абстрагування, узагальнення, пояснення, систематизація.

     I. Формування теорії дружніх чисел

1.1 Історія

     Відомо, що у стародавньому Вавилоні  основу системи обчислення служило число 60, про що й у наш час нагадує звичай ділити час на 60 хвилин ,а хвилину на 60 секунд. Й хоча прості люди в той же час користувалися дисятичною системою обчислення, математики використовували шести десятирічну. Справа в тому, що дії над дробами не користувалися в них великою популярністю.  Тому число 60 в зрівнянні невелике, й має багато дільників , опинилось ідеальною основою системи обчислення. З дванадцяти різних дільників числа 60 більшість отримала особливі назви  ,які увійшли в мови різних народів. Наприклад, німецькі християни й зараз охоче використовують при роз ранку дюжини(12) , манделі (15) , й копи (60) всі дільники шістдесяти.

     Античні математики взагалі вважали дуже важливим розглядати разом з кожним числом  усі його дільники. Числа, які мали багато дільників називалися вичерпними ,а ті які мають мало дільників – недостатні. При цьому в якості міри використовувалась не кількість, а сума власних дільників, яку порівнювали з самим числом. Так, наприклад для десяти сума дільників:

 1 + 2 + 5 = 8 менше ніж 10,

Так що дільників «не достатньо» . Для  дванадцяти ж 

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16  більше ніж 12 ,

тобто дільників збиток. Тому 10 –« недостатнє »,а 12 ( й 60 тим більше) « вичерпне » число.

      Зустрічається й випадок, коли сума власних дільників дорівнює самому числу.  Наприклад, шести:

1 + 2 + 3 = 6.

Теж саме й для 28 :

1 + 2 + 4 + 7 +14 = 28.

     Такі  числа древні греки особливо цінували й називали їх досконалими. Точно невідомо,  коли та де вперше звернули увагу на досконалі числа. Припускають, що вони були відомі вже в Древньому Вавилоні й древньому Єгипті. У всілякому разі, до 5-го століття н.е. в Єгипті збереглася пальцева рахівниця , при котрій руки з загнутим безіменним пальцем й випрямленими іншими  зображувала 6 – перше досконале число. Тим самим цей палець сам став приналежним до досконалості й тому отримав привілею носити на собі кільце.(див. 1.1) Таким є одне з пояснень того визначеного спеціалістами по історії культури факту , що майже в усіх цивілізованих країнах існує звичай носити кільце саме на безіменному пальці.

      Перше доведене твердження про досконалі  числа належить Евкліду (приблизно 300 р. до н.е.). В його «Початках» ,витримане після Біблії мабуть, найбільше число видань  , ми знаходимо в книзі IX теорему 36,  яка встановлюэ спосіб отримання досконалих чисел. Сучасною мовою вона звучить так:

Теорема Евклида. В тих випадках , коли число

Р = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2ⁿ = 2ⁿ¯¹  —1

• просте , 2ⁿ · р є досконалим.

   Для доказу цього твердження Евклид використовує свою теорему 35 – формулу суми членів геометричної прогресії. Пізніше Никомах з Гераси вказав перші досконалі числа : 6, 28 , 496 та 8128. Всі вони отримуються способом Евклида.

      Велику  увагу приділяли в античні  часи й числам 220 і 284 ,у яких була відмічена наступна дивовижна властивість : сума власних дільників числа 220 дорівнює 284 й, навпаки , сума власних дільників числа 284 дорівнює 220.

І справді:

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284, 
 
1+2+4+71+142=220 

Саме  тому назвали дружніми.

     Сліди ціх чисел також губляться в темряві століть. Досить ймовірно , що першим на них звернув увагу Піфагор (див. табл. 1.1) . Однак деякі  посилаються на те більш древнє місце в Біблії , де говориться що Яків в знак примирення подарував  Ісаву рівно 220 овець и 220 корів. Середньовічні коментатори Біблії пояснили своїм читачам «таємницю» ,сховану в числі 220 , і вважали , що на магічну силу цього числа розраховував Яків. За допомогою аналогічних  хитрощів  наші предки наче завойовували симпатії королів і сановників .В цілому, кожен має свою думку про це, а першим не допускаючи двозмістового трактування документом ,який містить згадку про дружні числа є «Переказ піфагорового вчення» - трактат , написаний у 3-му столітті н.е. Ямвліхом з Хальциса. Піфагорова школа отримала велику відомість  не тільки завдяки пристрасті її членів до містики чисел , але і завдяки тому, що вони високо цінували дружбу. Ямвліх оповідає ,що одного разу великий Піфагор на питання ,кого слід вважати другом, відповів :

«Того, хто є моїм другим я ,як числа 220 й 284».

      Деякі історики не вважають Ямліха гідним до довіри. Вони хотіли б розпоряджуватися свідченнями Піфагора. Нажаль, з такими свідченнями  справи обстають не дуже добре, так як піфагорійська школа наряду з числовим містицизмом й культом дружби славилась ще й пристрастю до таємничості. Розглас здобутих математичних знань вважався кощунством .

      Якщо  не згадувати досконалі числа (дружні самі собі,так би мовити) , то в древньому  світі була відома єдина пара дружніх  чисел – пара Піфагора, з наступним представленням у виді простих чисел:

220 = 2²  • 5 • 11,

284= 2²  •71 .

      Указати який не будь загальний спосіб отримання  дружніх чисел, який робить цю пару й інші ,бажано в нескінченній кількості ( що вдалося виконати для досконалих чисел Евкліду ) – задача , яка представляла собою значні труднощі і в наш час. Правда, один спосіб такого роду вказав ще в 9-ому столітті арабський математик  Сабіт ібн Корра . Сабіт був лікарем і астрономом  і в той час одним з найвидатніших арабських математиків.  Вік жив з 836 по 901 рік , останню частину життя – в Багдаді , де був довіреним лицем й радником халіфа аль-Мутадіда . Знайдений Сабітом спосіб отримання дружніх чисел звучить сучасною мовою так :

«Якщо для деякого n числа p=3·2n-1-1, q=3·2n-1 і r=9·22n-1-1 прості,  те числа A=2npq і B=2nr - дружні.»

   При n=2, числа p=5, q=11, r=71 прості, і виходить пара чисел Піфагора : 220 і 284. При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 прості, і виходить пара чисел Ибн аль-Банны і Ферма 17296 і 18416. При n=7 виходить пара чисел, знайдена в 1638 році французьким математиком і філософом Рене Декартом. Однак , теорема Сабіта дає дружні числа і при інших n , наприклад при n = 4 і n = 7(табл.1.2)

     В наш час відомо, що цими трьома випадками  вичерпуються всі значення n ≤20000 ,при яких вказаний спосіб дає дружні числа. Чи використовував сам Сабіт свою теорему одержання дружніх чисел при n >2 невідомо. Відкриття другої і третьої пар дружніх чисел приписувалося Ферму й Декарту відповідно . Однак недавно в одному з трактатів марокканського вченого ібн аль-Банни(1256-1321), сина архітектора, були знайдені наступні строфи(фото 2) : «Числа 17296 і 18416 вважаються дружніми; одне з них вичерпне, інше-недостатнє. Аллах всевидющий». А задовго до Ибн аль-Банны іншого арабського математика Абу-Хасан Сабит ибн Курра (836-901) сформулював правило, по якому можна отримати деякі дружні числа, :  
якщо для деякого n числа p=3·2n-1-1, q=3·2n-1 і r=9·22n-1-1 прості,  
те числа A=2npq і B=2nr - дружні.  При n=2, числа p=5, q=11, r=71 прості, і виходить пара чисел Піфагора : 220 і 284. При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 прості, і виходить пара чисел Ібн аль-Банни і Ферма 17296 і 18416.  
При n=7 виходить пара чисел, знайдена в 1638 році французьким математиком і філософом Рене Декартом. Але про це трохи пізніше.

      Зі  струмом часу формули, запропоновані  Сабітом були забуті, а його книгу  відкрили заново лише у 19-му столітті. Одначе, багато античних та арабських  вчених ,а також вчені середньовіччя  посвячували у свої трактати один з розділів присвячений досконалим та дружнім числам. Але великою мірою в цих трактатах були мало нових відомостей й багато помилок. Крім того,  сучасного читача якоюсь мірою здивує та вражаюча одностайність , з якою автори цих творів наполягають на можливості практичного застосування дружнім числам. Наприклад, ібн Хальдун прикріплює до свого трактату керівництво ,яке дозволяє досягти взаємності в коханні : потрібно записано на чому-завгодно числа 220 і 284 ,менше дати з’їсти предмету пристрасті , а більше з’їсти самому; до того ж,вчений додає ,що дійсність цього способу перевірив на собі.

На початку 17-го століття два французьких математики – Пьєр Ферма в 1636р. і Рене Декарт в 1638р. – незалежно від одне одного й від Сабіта отримали тіж самі формули. Отже пару дружніх чисел 17296 і 18416 відкрив в 1636 році знаменитого французького математика Пьер Ферма.  
 Про дати та обставини цих відкриттів наявні найточніші відомості.  Хоча і в той час проблема обміну новими знаннями ще не була  вирішеною – видання книг займало довгий час,а математичних журналів не існувало, - тим паче справи йшли куди краще,ніж у часи Піфагора: учені письмово повідомляли про свої відкриття патеру Мерсенну, й такі повідомлення були рівноцінні листам, які відправляються у наш час в редакцію “Mathematischen Annalen” . Ферма і Декарт також написали Мерсенну, котрий в передмові до своєї найближчої книги назвав їх відкриття досягненням геніальних математиків. В ході своїх досліджень Ферма і Декарт вивели формулу,яка дає суму дільників числа у вигляді створення степенів простих чисел. Цю формулу легко отримати  з двох тотожностей: