Автор работы: Пользователь скрыл имя, 29 Августа 2011 в 20:28, научная работа
Мета дослідження: Дослідити принципи й особливості формування теорії дружніх чисел. Визначити властивості дружніх чисел та довести їх дієвість способом знаходження пар дружніх чисел, розв’язування задач. створення презентації Power Point на ПК ,задля підсумку й систематизації дослідженого.
якщо р - просте;
Тут через ơ(А) позначена сума усіх дільників числа А,так шо сума його власних дільників дорівнює ơ(А)-А. Послідовно, за умовою того ,що А і В – дружні числа,можна записати у вигляді
ơ(А) – А = В і ơ(В) – В = А.
або
Ці три формули зручні для обчислень. Крім того, рівність (2) представляє собою історичний інтерес ,так як воно сприяло відкриттю знаменитої другої малої теореми Ферма:
Якщо число n + 1-
просте, то воно э дільником рⁿ - 1 при будь-якому натуральному р.
У процессі пошуків досконалих та дружніх чисел Ферма (як це пізніше та більше зробив Ферм) складав таблиці розкладу на прості множники величини ơ(рⁿ) і при цьому неодмінно мав би відкрити свою малу теорему.
Після періоду малозначущих робіт , послідуючі за роботами Ферма і Декарта суттєвих продвигів у вирішенні проблеми дружніх чисел став Леонард Ейлер .З приславутою йому енергією й ґрунтовністю він почав штурм цієї задачі. Викладення результатів Ейлера можна знайти в багатотомному виданні повної збірки його творів.
Перед усім. Ейлер довів , що за способом Евкліда отримуються усі досконалі числа, а непарні досконалі числа (якщо такі взагалі існують) повинні мати деякий спеціальний вигляд. Наголосимо, що Декарт ґрунтовно
Зайнявся питанням про
Далі Ейлер зайнявся дружніми числами виду:
А = 2ⁿ • р • q і В = 2ⁿ • r
З простими р, q, r. Ейлер отримав твердження, дуже схоже на теорему Сабіта , але трохи більш спільне. Правда, за допомогою свого узагальнення він не зміг знайти нові дружні числа, так як в той час таблиці простих чисел були зіставлені тільки до 100 000. Лише Лежандр і Чебишев, використовуючи новий критерій простоти чисел , зуміли виявити за допомогою теореми Ейлера ще одну пару дружніх чисел. У наш час використання ЕОМ дозволило отримати цим методом й інші пари.
На кінець. Ейлер шукав дружні числа й зовсім іншого виду, ніж його попередники, зокрема непарні . Він записував їх, наприклад так:
A = a • p • q і В = a • r
І чи задавшись будь яким множником а ,отримував для визначення p і q діофантове рівняння другого степеня, або, задаючись двома с трьох дружніх чисел р, q , r або усіма трьома , шукав підходящий спільний множник а. Другим методом ним були знайдені, наприклад, наступні пари непарних дружніх чисел :
3² • 7 • 13 • 5 • 17, 3 · 5 · 11 · 29 · 89,
3² •
7 • 13 • 107,
У своїх роботах Ейлер викладає п’ять різноманітних методів знаходження дружніх чисел; демонструючи віртуозність у розрахунках й терпіння , показати на більшій кількості прикладів , як застосовувати ці методи , й наостанок дарує зацікавленим сучасникам майже 60 нових пар.
Усі методи Ейлера зводяться до того, що частина розкладення шуканого числа на прості множники повинна бути просто вгадана, в чому істотну допомогу надає інтуїція , майстерність й досвід, а потім для визначення інших множників необхідно розв’язати кілька рівнянь. При цьому виникають дві різні проблеми, кожна з яких на свій лад досить важка: по-перше , вирішення рівнянь в цілих числах (діофантові рівняння) й, по друге, перевірка того, чи являються числа, котрі повинні були бути простими, на справді є такими.
Слід зазначити, що проблема дружніх чисел завдяки роботам Ейлера отримала зовсім інший характер, ніж проблема досконалих чисел. Взагалі , як видно з таблиці () , в якій вказане число знайдених кожним визнаним математиком пар дружніх чисел, Ейлер – визнаний усіма авторитет – залишався неперевершеним включно до останніх десятиліть. Першим побив рекорд Ейлера бельгійський математик Поль Пуле. Його двотомова монографія по теорії чисел була видана у 1929 р. в Брюсселі під багатозначною назвою “ La chasse aux nombres” (« Полювання за числами»). Крім усього іншого, в ній наведено 62 нові пари дружніх чисел. При цьому Пуле – як раніше Лежандр і Чебишів – пішли по шляху створення нових критеріїв простоти чисел. Значна частина його дослідів присвячена розвитку ідей французького математика Люка, котрий відкрив у найвищому степені ефективні критерії простоти.
Новий світовий рекорд був встановлений американцем Е. Скоттом, а потім рекорд перейшов до його співвітчизника Елвіна Дж. Лі. В сутності, вони також користувалися методами Ейлера , хоча й у вдосконаленій формі. Крім того, Лі звернувся за допомогою до ЕОМ
З приходом ери ЕОМ з’явився новий метод , про який Ейлер і не міг здогадуватися, - перебирати усі числа підряд , поки вистачить машинного часу. Знайшлися люди, котрі тільки й чекали ,коли з`явиться можливість проводити масштабні обчислення. Вони займалися цим протягом двох років, не рахуючись із витратами, і дістались здається до десятизначних чисел.
В літературі зустрічаються по меншій мірі 67 пар дружніх чисел потрібного виду . Для 22 з них число p = u + s + 1 дійсно являються простими. Тим самим знайдено 22 «сабітових правила». Пояснені числовими прикладами з найменшими можливими числами , вони були опубліковані Вальтером Боро в журналі “Mathematics of computation” разом з призивом до спеціалістів по простим числам почитати наступні прикладу на ЕОМ.
У 1867 році шістнадцятирічний італієць Никколо Паганіні потряс математичний світ повідомленням про те, що числа 1184 і 1210 дружніх! Цю пару, найближчу до 220 і 284, прогледіли усіх знаменитих математиків, що вивчали дружні числа.
У наш час відомо близько 1100 пар дружніх чисел. Їх повний список був опублікований у 1972р. в журналі « Journal of Recreational Mathematics» («Математика на дозвіллі»). Його зіставили власник Світового Рекорду Е. Лі й видавець журналу Дж. Медечі. Пари розташовані у порядку зростання найменшого числа . Список закінчується трьохзначною парою , яка була знайдена Ескоттом .
Поняття досконалих і дружніх чисел часто згадуються в літературі по цікавій математиці. Проте чомусь мало говориться про те, що числа можуть дружити і компаніями. Поняття компанійських добре розкривається в англомовних джерелах. Компанійськими називається така група з k чисел, в яких сума власних дільників першого числа дорівнює другому, сума власних дільників другого - третьому і так далі. А перше число дорівнює сумі власних дільників k -го числа. Чомусь в групи по троє числа не збираються (чи принаймні, про таких не відомо), зате є компанії по 4, 5, 6, 8, 9 і навіть 28 учасників!
Приклад п'ятірки (поки єдиною відомої) :
12496, 14288, 15472, 14536, 14264.
І повертаємося до першого з чисел компанії.
Дружні числа і їх добування займають велике місце в дослідженнях математиків різних часів. Піфагорова пара чисел 220 і 284 стали вважати символом дружби. В середні віки мали ходіння талісмани з вигравійованими на них числами 220 і 284, нібито сприяючими зміцненню любові. Дружні числа продовжують приховувати безліч таємниць.
1.2 Добування дружніх чисел
Відправимось на полювання за дружніми числами озброївшись методом, який значно відрізняється від метода Ейлера. Мова йде про рецепт, завдяки якому з уже відомих дружніх чисел можна виготовити нові, значно переважаючи похідні по величині.
Рецепт. Візьміть пару дружніх чисел виду
А = а · u, B = a · s з простим s.
Перевірте чи являється число p = u + s + 1 простим.
Якщо так, чи якщо не стане відомо, що a ділиться на р , то при n = 1, 2, 3… є справедливим наступне:
Правило: якщо обидва числа q₁ = ( u + 1) pⁿ - 1 і q2 = ( u + 1 )( s + 1 ) pⁿ - 1 –
прості , то числа
B₁ = A · pⁿ - 1 і В2 = a · pⁿ · q2
Приклад 1. Візьмемо пару Піфагора:
220 = 2² · 55 284 = 2 · 71
A = a · u B = a · s
Числа s = 71 і p = u + s + 1 = 55 + 72 = 127 – прості. Тому можна використати вказане правило. При n = 1 числа q₁, q2 не являються простими, але вже при n = 2 ми отримуємо пару дружніх чисел
B₁ = 220 · 127² · 903223
B2 = 4 · 127² · 65032127
Це дуже великі числа отримані з пари 220 і 284 майже без особливих обчислень , до деяких пір не були відомі!
Приклад 2. Візьмемо
пару Ейлера А = З4 · 5 · 11 · 29 · 89 = а · n і
В = 3n – 5 -11 - 2699 = a · s.
Тут також числа s = 2699 up = u s l = 5281 є простими.
Таким чином, по цій парі Ейлера теж можна
побудувати відповідне "правило Сабита-Боро".
В цьому випадку вже при a= 1 числа <?, =
(n 1) Mn - 1-1 і q2(s l) pa - 1 будуть простими, і ми
отримуємо дружні числа
В1 = 34 · 5 · 11· 29 · 89 · 5281· 13635541,
В2 = 34 · 5 · 11 · 5281 · 36815963399. Рецепт працює!
II.Задачі на дружні числа
2.1 Розв`язування задач
1. Чому дорівнює сума усіх дружніх чисел менших мільйона (при цьому, якщо одне з пари дружніх чисел більше мільйона, то не учваются обоє)?
Розв`язування:
2. Користуючись формулою ибн Курра, знайдіть числа Декарта.
Розв`язування:
3. Чи можна знайти числа Паганіні за допомогою формули Ібн Курра?
Розв`язування:
5. Визначите, чи є дружніми числами 5020 і 5564, 6232 і 6366?
Розв`язування:
6. Дано число 12496. Перевірте, чи можна отримати з нього ланцюжок товариських чисел?
Розв`язування:
Дружні числа і їх добування займають велике місце в дослідженнях математиків різних часів. А найбільшу увагу приділяли числам 220 і 284 , так як це перша пара дружніх чисел ,яка була знайдена Піфагором. Пізніше, такі математики як Сабіт, Евклід, Ферм , Ейлер та інші також працювали над знаходженням дружніх чисел і дослідженням їх властивостей. У наш час відомо близько 1100 пар дружніх чисел. Також у наукових книгах говориться про те, що числа можуть дружити і компаніями. Компанійськими називається така група з додатніх чисел, в яких сума власних дільників першого числа дорівнює другому, сума власних дільників другого - третьому і так далі. А перше число дорівнює сумі власних дільників 1-го числа.
Протягом своєї науково-дослідницької роботи я дослідила принципи й особливості формування теорії дружніх чисел. Визначила властивості дружніх чисел та довести їх дієвість способом знаходження пар дружніх чисел та розв’язування задач.
ДОДАТКИ