Геометрия Евклида – первая естественно-научная теория

Федеральное агентство по образованию 

Саратовский государственный университет 
 

Реферат

на  тему: 

«Геометрия Евклида – первая естественно-научная  теория». 

 

Выполнила: студентка 1 курса факультета

ИФиЖ, специальность:

«Журналистика»,

131-я группа, Лаптиёва Д.С. 

                                                    

                                                                      Проверил: 
 
 
 
 

Саратов 2008 

Содержание

Введение.

1. История геометрии.
2. «Начала» - главный труд Евклида.

3. Геометрия Евклида – первая естественно-научная  теория.

Заключение.

Список  литературы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

    Любая цивилизация, достойная так называться, занимается поиском истин. Мыслящие люди не могли не пытаться понять многообразие явлений природы, разгадать тайну появления на Земле человека, постичь смысл жизни и выяснить предназначение человека. Во всех древних цивилизациях, кроме одной, ответы на эти вопросы давались религиозными лидерами и принимались всеми. Единственным исключением была цивилизация, созданная древними греками. Греки совершили открытие, величайшее из когда-либо совершенных человеком: они открыли могущество разума.

    Греки размышляли над политическими системами, этикой, юриспруденцией, рациональными путями воспитания молодежи и многими другими видами человеческой деятельности. Их главный вклад, оказавший решающее влияние на всю последующую культуру, состоял в том, что они взялись за изучение законов природы. Решающим шагом, позволившим рассеять ореол таинственности и мистицизма, окружавший явления природы, и «навести порядок» в их кажущемся хаосе, стало применение математики.

    Геометрия, как раздел математики, возникла из практической потребности изучения окружающего пространства и его свойств. Развитие представлений о пространстве и усложнение проводимых измерений требовали изучения свойств все более сложных геометрических фигур.

  К концу III в. до н.э. греки имели обширные знания геометрических фактов и обладали методами их доказательств, но геометрия как наука еще не существовала. В это время возникла задача собрать этот геометрический материал и расположить его в логическом порядке. Такая задача была решена с появлением «Начал» Евклида, в которых было представлено систематическое изложение начал геометрии, выполненное с таким большим мастерством, что многие века преподавание геометрии велось по этому сочинению.

    «Начала»  Евклида составляют целую эпоху  в элементарной геометрии. В них  учёный излагает геометрию как цепочку  строгих логических выводов, доказательства теорем на основании определений, постулатов и аксиом. Материал, содержащийся в «Началах», по существу охватывает элементарную геометрию, как мы ее понимаем в настоящее время.

  В реферате, на основе рассмотрения исторических предпосылок и фактических положений книги «Начал» сделана попытка показать, что именно классические труды Евклида, посвященные изучению свойств пространства и пространственных фигур, превратили математику из свода неясных, эмпирических, разрозненных фрагментов в блестящую, обширную, систематическую и глубокую науку.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. История геометрии.

    Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от ge - земля и metrein - измерять)- наука о пространстве, точнее - наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве.

    За  несколько столетий до нашей эры  в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.

    Геометрия стала наукой только после того, как в ней начали систематически применять логические доказательства, начали выводить геометрические предложения не только путем непосредственных измерений, но и путем умозаключений, путем вывода одного положения из другого, и устанавливать их в общем виде.

    В трудах Фалеса, Пифагора, Платона, Демокрита, Гиппократа, Динострата, Никомеда, Аристотеля, если назвать только важнейших, с  необычайной быстротой производятся установление и систематизация фактического материала классической геометрии.

    Первый  принцип, которого неуклонно придерживались греки, состоял в том, что математика должна иметь дело с абстракциями. Предпочтение, отдаваемое греками абстракции, имело под собой особую причину. Чтобы обрести мощь, математика должна охватывать в едином абстрактном понятии существенные черты всех физических реализаций этого понятия. Греки вполне отчетливо и явно утверждали, что их математика имеет дело с абстракциями. В «Государстве» Платон говорит о геометрах следующее: Разве ты не знаешь, что, хотя они используют видимые формы и рассуждают о них, мыслят они не о самих формах, а об идеалах, с которыми не имеют сходства; не о фигурах, которые они чертят, а об абсолютном квадрате и абсолютном диаметре... и что в действительности геометры стремятся постичь то, что открыто лишь мысленному взору?

    Итак, геометрия должна заниматься, прежде всего, изучением таких абстрактных понятий, как точка, прямая и целое число. Другие понятия, например треугольник, квадрат и окружность, можно определить через основные понятия, которые, как отметил Аристотель, должны оставаться неопределимыми, ибо в противном случае у нас не было бы отправной точки.

    Свои  рассуждения о математических понятиях греки начинали с аксиом - истин, столь очевидных, что в справедливости их невозможно усомниться. Такие истины грекам были известны. Платон обосновал принятие аксиом своей теорией воспоминаний - анамнезисом. Аристотель подошел к проблеме иначе. Истинность аксиом, утверждал он, мы познаем посредством безошибочной интуиции. Кроме того, аксиомы необходимы нам как основа для рассуждений. Если бы в своих рассуждениях мы использовали факты, истинность которых неизвестна, то для установления их истинности потребовались бы новые рассуждения, и так до бесконечности. В результате мы бесконечно «спускались» бы в наших доказательствах - но нигде не могли бы остановиться. Среди аксиом Аристотель различал общие понятия и постулаты. Общие понятия истинны во всех областях мысли. Постулаты применимы к такой специфической области, как геометрия. Таково, например, утверждение «Две [разные] точки определяют прямую и притом только одну».

    Из  аксиом с помощью рассуждений  выводятся заключения. Существует много типов рассуждений, например рассуждения по индукции, по аналогии и дедукции. Правильность заключения гарантирует лишь один из многих типов рассуждений. Дедуктивное рассуждение, несмотря на множество различных форм, гарантирует истинность заключения. Так, допуская, что все люди смертны и Сократ - человек, следует прийти к заключению, что Сократ смертен. Используемое в этом рассуждении правило логики является одной из форм суждения, которое Аристотель назвал силлогистическим выводом. К правилам дедуктивного рассуждения Аристотель относил также закон противоречия (никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным) и закон исключенного третьего (любое высказывание должно быть либо истинным, либо ложным).

    Аристотель, а вслед за ним и весь мир  приняли за неоспоримую истину, что  применение правил дедуктивного вывода к любым посылкам гарантирует получение заключений, не уступающих по надежности посылкам. Иначе говоря, если посылки истинны, то истинны и заключения.

    Наиболее  совершенным образцом такой теории на протяжении более 2 тысяч лет служили «Начала» Евклида, написанные около 300 года до нашей эры».

    Однако  все новые проблемы и созданные  в связи с ними теории привели  к тому, что совершенствовались сами способы математических доказательств, возрастала потребность создания стройной логической системы в геометрии.

    Около IV в. до н. э. уже стали появляться сводные сочинения под названием «Начал геометрии», имевшие задачей систематизировать добытый геометрический материал. Такие «Начала» по свидетельству Прокла, составили Гиппократ Хиосский, Феодосии из Магнезии, Гиероним Колофонский и др. Ни одно из этих сочинений до нас не дошло: все они утратили свое значение и были забыты, когда появилось замечательное руководство по геометрии - «Начала» Евклида.

    О жизни Евклида почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

    Достоверно  установлено, что Евклид жил и  преподавал в Александрии около 300г. до н. э. (сам Евклид скорее всего получил образование в Платоновской Академии в Афинах). Это почти единственная информация, которой мы располагаем о частной жизни Евклида. Свои труды Евклид облекал в форму обширных систематических дедуктивных обзоров отдельных открытий многих греческих авторов классического периода. В главном труде Евклида — «Началах» излагаются основные свойства пространства и пространственных фигур.

2. «Начала» - главный труд Евклида.

    Из  дошедших до нас сочинений Евклида  наиболее знамениты «Начала». «Начала» Евклида состоят из 13 книг (т.е. глав). Первые четыре книги «Начал» посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей.

    Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности.

Так, в  начале книги I даны 23 определения. Приведем первые семь из них.

1.  Точка  есть то, что не имеет частей.

2.  Линия  есть длина без ширины.

3.  Границы  линии суть точки.

4. Прямая  есть такая линия,  которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

5.  Поверхность  есть то, что имеет только длину  и ширину.

6.  Границы  поверхности суть линии.

7. Плоскость  есть поверхность, которая одинаково  расположена по отношению ко  всем прямым, на ней лежащим.

    Затем Евклид приводит предложения, принимаемые  без доказательства, которые он разделяет на постулаты и аксиомы.

    Постулаты

I. Требуется,  чтобы от каждой точки ко  всякой другой точке можно  было провести прямую.

II.   И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

III. И  чтобы от любого центра можно  было описать окружность любого  радиуса.

IV. И  чтобы все прямые углы были  равны.

V.  И чтобы всякий раз, когда  прямая при пересечении с двумя  другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма  которых меньше двух прямых, эти  прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

    Три первых постулата обеспечивают существование  прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый  знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование.