Геометрия Евклида – первая естественно-научная теория

    Затем Эвклид сформулировал аксиомы, которые  в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам.

    Аксиомы

I. Равные порознь третьему равны между собой.

II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.

III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.

V. И если удвоим равные, то получим равные.

VI. И половины равных равны между собой.

VII. И совмещающиеся равны.

VIII. И целое больше части.

IX. И две прямые не могут заключать пространства.

    В чем заключается различие между  постулатами и аксиомами, остается неясным; на этот счет существует много различных мнений, ни одно из которых не может быть признано окончательным. Иногда IV  и V постулаты относят к числу аксиом; пятый постулат иногда называют  XI аксиомой.

    Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

    Затем Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их в такой последовательности, чтобы каждую теорему можно было доказать, используя только предыдущие предложения, постулаты и аксиомы.

    В книге II заложены основы так называемой геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Числа заменены отрезками прямой.

    Книга III посвящена геометрии окружности, а в книге IV изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.

    Теория  пропорций, разработанная в книге  V,одинаково хорошо прилагалась и к соизмеримым величинам и к несоизмеримым величинам. Эвклид включал в понятие «величины» длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т. д. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, но избегая также обращения к арифметике, он не приписывал величинам численных значений.

    Первые  определения книги V «Начал» Эвклида:

1. Часть  есть величина (от) величины, меньшая  (от) большей, если она измеряет  большую. 

2. Кратное  же - большая (от) меньшей, если  она измеряется меньшей. 

3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству.

4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.

5. Говорят,  что величины находятся в том  же отношении: первая ко второй  и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.

6. Величины  же, имеющие то же отношение,  пусть называются пропорциональными.

    Из  восемнадцати определений, помещенных в начале всей книги, и общих понятий, сформулированных в книге I, с восхитительным изяществом и почти без логических недочетов Эвклид вывел (не прибегая к постулатам, содержание которых было геометрическим) двадцать теорем, в которых устанавливались свойства величин и их отношений.

    В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем «подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные».

    Книги VII, VIII и IX составляют трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с современной точки зрения, строится теория рациональных чисел. Из многих свойств чисел, исследованных Эвклидом (четность, делимость и т.д.), приведем, например, предложение 20 книги IX, устанавливающее существование бесконечного множества «первых», т.е. простых чисел: «Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел». Его доказательство от противного до сих пор можно найти в учебниках по алгебре.

    Книга X читается с трудом; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. Вот как сформулировано предложение 1 в книге X «Начал» Эвклида: «Если заданы две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а из остатка - снова часть, большая половины, и это повторяется постоянно, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин». На современном языке: Если a и b - положительные вещественные числа и a >b, то всегда существует такое натуральное число m, что mb > a. Эвклид доказал справедливость геометрических преобразований.

    Книга XI посвящена стереометрии.

    В книге XII, которая также восходит, вероятно, к Евдоксу, с помощью Метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников.

    Предметом книги XIII является построение правильных многогранников.

      «Начала» Евклида представляют  собой изложение той геометрии,  которая известна и поныне  под названием Евклидовой геометрии.  В качестве постулатов Евклид выбрал такие предложения, в которых утверждалось то, что можно проверить простейшими построениями с помощью циркуля и линейки. Евклид принял также некоторые общие предложения-аксиомы, например, что две величины, порознь равные третьей, равны между собой. На основе таких постулатов и аксиом Евклид строго и систематично развил всю планиметрию.

В «Началах»  он описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет Евклидовым пространством.

    Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка — это неделимый атом пространства.

    «Начала» Евклида - образец дедуктивного изложения геометрии, алгебраические выводы сделаны в геометрическом стиле. Впоследствии геометрия развивалась, появилась неевклидова геометрия, геометрия стала экспериментальной наукой в физике. Но предпосылками этого развития стали именно труды великого Евклида. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    3. Геометрия Евклида  – первая естественно-научная теория.

    Главная особенность «Начал» состоит в том, что они построены по единой логической схеме, и все содержащиеся в них теории строго обоснованы по принципу построения научных дисциплин, который намечался еще у Аристотеля.

Изложение в них строится по безупречной логической схеме: из минимального набора определений, постулатов и аксиом по строго определенным правилам последовательно выводится ряд теорем.

    Труд  Евклида справедливо считают  образцом дедуктивной системы, строго выдерживающей изложение, исходящее из общих положений и идущее от них к частным. Однако это обстоятельство вовсе не означает, будто другой элементарный метод исследования, всегда неразрывно связанный с дедукцией, - индукция - в «Началах» отсутствует. Индукция, движение от частного к общему, от единичных данных чувственного опыта к рациональному обобщению, к абстракции неизбежно участвовала в образовании основных понятий, их определений, постулатов и аксиом, равно как и в создании самого логического приема дедукции. Ведь все эти геометрические понятия и логические приемы возникли в результате многократно повторяющегося опыта как отражения реальных предметов, их свойств и связей действительного материального мира, существующего независимо от сознания. Более того, индукция входит в неявном виде в любое геометрическое доказательство и построение. Одни лишь определения, постулаты и аксиомы не способны подсказать ни что следует доказывать или строить, ни то, каким путем это можно осуществить. И на то, и на другое нам указывает чувственная наглядность, как при прямом рассмотрении фигуры и построении вспомогательных линий, так и при помощи геометрической индукции. Индуктивным является и заключение теоремы от частного случая, например, от отдельного треугольника, для которого мы доказали ту или иную теорему, - к общему случаю, ко всем треугольникам вообще.

    Так же, как с дедукцией и индукцией, обстоит дело в «Началах» с анализом и синтезом. Хотя в сочинении в явном виде не применяют аналитического метода сведения неизвестного к известному, тем не менее, без него невозможно было бы открытие доказательства. Анализ применяется всегда, когда переходят от определения к построению.

    Конечно, все особенности Евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили «Начала» Евклида. Можно смело утверждать, что Евклид заложил основы не только геометрии, но и всей античной математики.

    Лишь  в XIX веке исследования основ геометрии поднялись на новую, более высокую ступень. Удалось выяснить, что Евклид перечислил далеко не все аксиомы, которые на самом деле нужны для построения геометрии. В действительности при доказательствах ученый ими пользовался, но не сформулировал.

    Тем не менее, все выше сказанное нисколько  не умаляет роли Евклида, первого показавшего, как можно и как нужно строить математическую теорию. Он создал дедуктивный метод, прочно вошедший в математику. А значит, все последующие математики в известной степени являются учениками Евклида. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение.

    Подлинной целью греков было исследование природы. Этой цели служило все - даже геометрические истины высоко ценились лишь постольку, поскольку они были полезны при изучении физического мира. Греки понимали, что в структуре Вселенной воплощены геометрические принципы, первичным компонентом которых является пространство. Именно поэтому исследование пространства и пространственных фигур явилось существенным вкладом в изучение природы.

    Именно  «Начала» Евклида послужили толчком к созданию концепции логического, математического подхода к познанию природы. Хотя сочинение Евклида предназначалось для изучения физического пространства, структура самого сочинения, его необычайное остроумие и ясность изложения стимулировали аксиоматическо-дедуктивный подход не только к остальным областям математики, например к теории чисел, но и ко всем естественным наукам. Через «Начала» Евклида понятие логической структуры всего физического знания, основанного на математике, стало достоянием интеллектуального мира.

  Тем самым греки установили союз математики и изучения явлений природы, который стал фундаментом всей современной науки. Вплоть до конца XIX в. поиск математических принципов, лежащих в основе природы, был поиском истины. Глубокое убеждение в том, что математические законы открывают истины о природе, привлекало к математике самых глубоких и возвышенных мыслителей.

  На протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. За пределами самой математики математические понятия и выводы явились фундаментом замечательных научных теорий.  
 
 
 
 

Список  литературы.

1. Диоген Лаэртский.  О жизни, учениях и изречениях  знаменитых философов. - М.: Наука, 1995.

2. Клайн М., Математика. Утрата определенности. – М.: Мир, 1984.

3. Пидоу Д.  Геометрия и искусство. - М.: Наука, 1999.

4. Смышляев В.К.  О математике и математиках. - Йошкар-Ола: Наука, 1977.