Геометрия узоров

          Содержание. 

    Введение……………………………………………………………....2-3

    Глава І. Геометрия орнамента.

1. Что такое орнамент?...........................................................4-6
2. Как можно построить орнамент..……………………………..7-8
3. Атлас орнаментов…………...................…………………..…9-10
4. Виды орнаментов. Как создают орнаменты………………..11-13

Глава ІІ. Паркет из правильных многоугольников.

2.1. Паркет как вид орнамента. ……………………………………….14

2.2. Задача о «замощении» плоскости…………………………….15-16

Заключение……………………………………………………………...17

Библиография…………………………………………………………...18

Приложение………………………………………………………….19-25    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение. 

    Актуальность: Работа касается одного из самых интересных вопросов геометрии - классификации орнаментов.

    Восхищаясь  рукотворной красотой орнаментов, воплощенных в предметах декоративно-прикладного искусства коврах, паркетах, гобеленах, вышивке, - мы не задумывались о роли геометрии в создании этих произведений.

    Между тем сочетание таланта мастера и его геометрических умений занимает важное место в орнаментальном искусстве.

    Орнаменты с давних времен применяются в  декоративном искусстве. Так, на рис.1 воспроизведены древнеегипетский орнамент (а), два мавританских орнамента (б и в), китайская оконная решетка (г), а также орнамент, украшающий окно мечети в Каире (рис. 2). С другой стороны, при исследовании геометрического строения кристаллов выяснилось, что их атомы расположены очень правильным образом, образуя как бы пространственный орнамент.

    Гипотеза: Именно это открытие побудило в конце XIX века физиков и математиков подробнее изучить орнаменты (тогда и было дано точное математическое определение орнамента). Бесконечная плоская фигура Ф называется плоским орнаментом, если выполнены следующие условия:

1. среди перемещений, отображающих Ф на себя, существуют неколлинеарные параллельные переносы;
2. среди всех векторов (параллельных переносов), отображающих Ф на себя, существует вектор наименьшей длины.

       Исходя из выше сказанного, определяется  цель работы.

    Предмет: Роль геометрии в создании предметов декоративно-прикладного искусства.

    Проблема: Математические закономерности, связанные с орнаментами и паркетами.

    Одна  из разновидностей орнамента - паркет. В математике паркетом называется разбиение плоскости на многоугольники, при котором каждые два многоугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо имеют общую сторону, причем объединение сторон всех многоугольников является плоским орнаментом. Задача о «замощении» плоскости паркетами решалась давно.

    Задачи:

1. Определить, что такое орнамент.
2. Познакомиться с видами орнаментов.
3. Рассмотреть геометрические преобразования, которые лежат в основе создания орнаментов.
4. Определить количество видов правильных паркетов.

    Классификацией  паркетов занимался Е. С Федоров, который доказал,  что  существует  17 различных типов паркетов. 
        В работах А. Землякова, А. И. Азевича, И. Ф. Шарыгина, Л. М. Смирновой рассматриваются вопросы, связанные с конструированием орнаментов и узоров с использованием законов симметрии при их построении. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Глава І. Геометрия орнамента. 

1. Что такое орнамент?

    Как написано в Советском энциклопедическом  словаре, орнамент (от лат. ornamentum - украшение) - это узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий оружия) и архитектурных сооружжений Связанный с поверхностью, которую он украшает и зрительно организует, орнамент, как правило, выявляет и подчеркивает своим построением, формой и цветом архитектурные и конструктивные особенности предмета, природную красоту материала.

    В построении орнамента используют главным образом принцип симметрии. Рассматривая разные композиции, легко увидеть, что орнамент можно продолжать в разные стороны, даже если его первоначальная композиция ограничена и замкнута.

    В народном творчестве, где орнамент нашел наибольшее распространение, постепенно складывались устойчивые формы  и принципы построения орнамента, во многом определившие национальные, художественные традиции разных народов.

    Каждая  эпоха, каждая национальная культура выработала свою систему орнамента - мотивы, формы, расположения на украшаемой поверхности. Поэтому часто по орнаменту можно  определить, к какому времени и  к какой стране относится то или  иное произведение искусства.

    Так, в орнаментах Древнего Египта наибольшее распространение нашли растительные мотивы, и среди них особенно часто встречались листья и цветы лотоса (рис. 3, а).

    Кажется, что египетский орнамент содержит какую-то тайну. Ведь египтяне так любили тайны. Над загадками их архитектуры и науки и сейчас бьются ученые-египтологи. Когда вы держите книгу обычным образом, то на рисунке вам бросаются в глаза нераспустившиеся бутоны. Но поверните книгу «вверх ногами», и тот же самый орнамент предстанет совсем другим: вы увидите лотос во всей красе, он широко раскинул свои великолепные лепестки, как бы вознаграждая нас за догадливость и умение видеть.

    Классическими стали наиболее распространенные древнегреческие орнаменты - меандр и акант (рис. 3, б; 3, в).

    Слово «меандр» происходит от названия очень  извилистой реки в Малой Азии. Ныне она называется Большой Мсндерес. Орнамент меандр как будто повторяет  излучины этой прихотливой реки. Лкант - это род травянистого растения, распространенного в Средиземноморье. У него большие листья, красиво изогнутые стебли. В обоих этих орнаментах греки предстают перед нами прилежными учениками природы, которой они поклонялись. Они умели рассказать словами, вылепить из глины, вытесать из мрамора прекрасную сказку про каждый холм, каждую речку, каждый лист.

    Не  будет преувеличением сказать, что  нигде орнаментальное искусство  не достигло такого расцвета и совершенного воплощения, как на мусульманском  Востоке. Для него характерно сочетание геометрических и растительных мотивов, так как Кораном было запрещено изображение людей и животных.

    Впоследствии, распространившись по Европе, этот вид орнамента получил название «арабеска» (от ит. arabesco - арабский). В исламских странах арабеску представлял узор, как на I рис. 3, г. На первый взгляд мы видим повторения, диктуемые симметрией, но это только самые крупные элементы орнамента. Распознать основной, мельчайший, элемент (фундаментальную область) на глаз чрезвычайно трудно.

    Высокого  развития орнамент достиг в средневековой  Руси. Для русского орнамента характерны как геометрические и растительные формы, так и изображения птиц, зверей, фантастических животных и человеческих фигур. Наиболее ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и в вышивке. В плоском орнаменте одним из наиболее часто используемых мотивов является так называемая плетенка - различного вида переплетения полосок типа лент, ремней, стеблей цветов (рис. 3, д).

    Русский орнамент противоречив, как русская  душа. В нем I вроде бы все просто, много свободного пространства, как будто на бескрайнем белоснежном поле распустились невиданные цветы. Сначала они кажутся незатейливыми, но если всмотреться, то не хочется и глаз отводить.

    При исследовании геометрического строения кристаллов выяснилось, что их атомы  расположены очень правильным образом, образуя как бы пространственный орнамент.

    По  сути, именно это открытие побудило в конце XIX века физиков и математиков подробнее изучить орнаменты (тогда и было дано точное математическое определение орнамента). Бесконечная плоская фигура Ф называется плоским орнаментом, если выполнены следующие условия:

    1) среди перемещений, отображающих Ф на себя, существуют неколлинеарные параллельные переносы;

    2) среди всех векторов (параллельных переносов), отображающих Ф на себя, существует вектор наименьшей длины.

    О том, как построить плоский орнамент, какие преобразования плоскости используются при их создании, - в следующем параграфе. 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1.2. Как можно построить орнамент.

    Рассмотрим  на плоскости фигуру Ф - квадрат с заштрихованной половинкой, как на рис. 4, а, а также два перемещения плоскости: f₁R_А^90° - поворот вокруг вершины квадрата А на 90°, и f₁ = S_a - симметрию относительно прямой а - продолжения стороны квадрата (рис. 4, а). Применимы к фигуре Ф всевозможные композиции перемещений f₁ и f₂ - в произвольном порядке и в любом числе. В результате мы получим совокупность плоских фигур, конгруэнтных Ф, - так называемый плоский орнамент (с фундаментальной областью Ф и порождающими перемещениям f₁ и f₂ ), он изображен на рис. 4, б.

      Сначала мы забываем о заштрихованном треугольнике и применяем наши композиции только к квадрату.

                                       f₁ R_А^90°, f₁ х f₂= R_А^180°,

                                      f₁ х f₁х f₁ х = R_А^270°,

    Повторив  проделанную процедуру (последовательные повороты с последующей симметрией). Ясно, что применение к исходному квадрату всех возможных композиций перемещений f₁ и f₂ дает сетку квадратов на плоскости. Теперь мы «вспоминаем» о заштрихованном треугольнике и перемещаем его по уже готовой сетке с помощью отображений f₁ и f₂ и их композиций (рис. 6, г), получится как раз орнамент, изображенный на рис. 4, б.

    Кроме прямой а, этот орнамент имеет много  других осей симметрии - на рис. 6, а они выделены пунктиром Очевидно, при поворотах вокруг точки А на углы, кратные 90° (то есть на углы 90°, 180°, 270° и 360° или 0^е), весь орнамент отображается на себя, поэтому говорят, что 4 - центр симметрии порядка 4 (здесь 4 = 360°/90°). Наш орнамент имеет бесконечно много центров порядка 4 - на рис. 6 это светлые точки. Около каждой из них можно выделить состоящую из четырех треугольников фигуру «порядка 4» - две из них изображены на рис. 6, а; весь орнамент можно представить в виде объединения таких фигур.

    У данного орнамента есть еще и  центры симметрии порядка 2, то есть такие точки, при повороте вокруг которых только на угол 360/2 = 180° орнамент отображается сам на себя, - на рис. б, а они отмечены кружочками. Около этих точек, можно выделить фигуры «порядка 2» - три из них изображены на рисунке. Наконец, рассматриваемый орнамент отображается сам на себя и при бесконечном числе параллельных переносов, три из которых показаны па рис. 6, б стрелками на рис. 6, б изображен как бы «скелет» нашего орнамента - оставлены только сетка осей симметрии и две «решетки» центров симметрии, порядков 4 и 2 (заметим, что центры симметрии порядка 2 - это то же самое, что и обычные центры симметрии). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.   Атлас орнаментов.

    Множество всех перемещений плоскости, при  которых орнамент отображается сам на себя, называется группой симметрии орнамента - в нее входят и осевые симметрии, и повороты, и параллельные переносы.