Интеграл Лебега

 £ = + .

 

В силу неравенства £ + , почти для всех х из множества A_n(s) будет

 

 < 2K,

 

так что по теореме о среднем

 

 £ 2K× mA_n(s) (3)

 

(то обстоятельство, что  неравенство  < 2К может не выполняться на множестве меры 0, несущественно. Можно, например, функцию на этом множестве изменить, сделав ее равной нулю; тогда неравенство (3) будет выполняться во всех точках А. Но так как изменение функции на множестве меры 0 не влияет на величину интеграла, то (3) верно и без такого изменения).

С другой стороны, опять-таки в силу теоремы о среднем,

 

 £ smB_n(s) £ smE.

 

Сопоставляя это с (3), находим, что

 

 £ 2K× mA_n(s) + smE. (4)

 

Заметив это, возьмем  произвольное e > 0 и найдем столь малое s > 0, что

 

s× mE < .

 

Фиксировав это s, мы, на основании самого определения сходимости по мере, будем иметь, что при n ® ¥

 

mA_n(s) ® 0

 

и, стало быть, для n > N окажется

 

2K× mA_n(s) < .

 

Для этих n неравенство (4) примет вид

 

 < e,

 

что и доказывает теорему.

Легко понять, что теорема остается верной и в том случае, когда неравенство

 

 < K

 

выполняется только почти  везде на множестве Е. Доказательство остается прежним.

Далее, поскольку сходимость по мере общее обычной сходимости, то теорема и подавно сохраняет силу для того случая, когда

 

f_n(x) ® F(x)

 

почти везде (и тем  более везде).

 

ГЛАВА 3.

5. Сравнение  интегралов Римана и Лебега

 

Пусть на сегменте [а, b] задана (не обязательно конечная) функция f(х). Пусть

x₀ Î [a, b] и d > 0. Обозначим через m_d(x₀) и М_d(х₀) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функции f(x) на интервале (х₀ - d, x₀ + d)

 

m_d(x₀) = inf{f(x)}, M_d(x₀) = sup{f(x)} (х₀ - d < x < x₀ + d).

 

(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание  лишь те точки интервала

 

(х₀ - d, x₀ + d), которые лежат также и на сегменте [а, b].)

 

Очевидно,

 

m_d(x₀) £ f(x₀) £ M_d(x₀).

 

Если d уменьшается, то m_d(x₀) не убывает, a M_d(x₀) не возрастает. Поэтому существуют определенные пределы

 

m(x₀) = m_d(x₀), M_d(x₀) = M_d(x₀),

 

причем, очевидно,

 

m_d(x₀) £ m(x₀) £ f(x₀) £ M(x₀) £ M_d(x₀).

 

Определение. Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f(x).

Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х₀. Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было

 

m(x₀) = M(x₀). (*)

 

Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в точке x₀. Взяв произвольное e > 0, найдем такое d > 0, что как только

 

 < d,

так сейчас же

 < e.

 

Иначе говоря, для всех х Î (х₀ - d, x₀ + d) будет

 

f(x₀) - e < f(x) < f(x₀) + e.

 

Но отсюда следует, что

 

f(x₀) - e £ m_d(x₀) £ M_d(x₀) £ f(x₀) + e,

 

а стало быть, и тем  более

 

f(x₀) - e £ m(x₀) £ M(x₀) £ f(x₀) + e,

 

откуда, ввиду произвольности e, и вытекает (*). Итак, необходимость условия (*) доказана.

Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда, очевидно,

 

m(x₀) = M(x₀) = f(x₀)

 

и общее значение функций  Бэра в точке x₀ конечно.

Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое d > 0, что

 

m(x₀) - e < m_d(x₀) £ m(x₀), M(x₀) £ M_d(x₀) < M(x₀) + e.

 

Эти неравенства означают, что

 

f(x₀) - e < m_d(x₀), M_d(x₀) < f(x₀) + e.

 

Если теперь x Î (х₀ - d, x₀ + d), то f(x) лежит между m_d(x₀) и M_d(x₀), так что

 

f(x₀) - e < f(x) < f(x₀) + e.

 

Иначе говоря, из того, что  < d вытекает, что

 

 < e,

 

т. е. функция f(x) непрерывна в точке х₀.

Основная  лемма. Рассмотрим последовательность дроблений сегмента [а, b]

 

a = < < ¼ < = b

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a = < < ¼ < = b

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

причем при i ® ¥

 

li = max[ - ] ® 0.

 

Пусть есть точная нижняя граница значений функции f(x) на сегменте

 

[ , ]. Введем функцию j_i(x), полагая

j_i(x) = при x Î ( , )

j_i(x) = 0 при x = , , ¼ , .

 

Если х₀ не совпадает ни с одной точкой (I = 1, 2, 3, ¼ ; k = 0, 1, 2, ¼ , n_i), то

 

j_i(x₀) = m(x₀).

 

Доказательство. Фиксируем какое-нибудь i и назовем через [ , ] тот из сегментов i-го способа дробления, который содержит точку х₀. Так как х₀ не совпадает ни с одной из точек деления, то

 

 < x₀ <

 

и, следовательно, при  достаточно малых d > 0 будет

(х₀ - d, x₀ + d) Ì [ , ],

 

откуда следует, что

 

 £ m_d(x₀)

 

или, что то же самое, что

 

j_i(x₀) £ m_d(x₀).

 

Устремив d к нулю и перейдя к пределу, находим, что при любом i

 

j_i(x₀) £ m(x₀).

 

Этим самым лемма  уже доказана для случая т(х₀) = - ¥. Пусть т(х₀) > - ¥ и пусть h < m(x₀).

Тогда найдется такое d > 0, что m_d(x₀) > h.

Фиксировав это d, найдем столь большое i₀, что при i > i₀ будет

 

[ , ] Ì (х₀ - d, x₀ + d),

 

где, как и выше, [ , ] есть сегмент, содержащий точку х₀. Существование такого i₀ следует из условия l_i ® 0.

Для таких i будет

 

 ³ m_d(x₀) > h,

 

или, что то же самое,

j_i(x₀) > h.

 

Итак, для всякого h < m(x₀) найдется такое i₀, что при i > i₀

 

h < j_i(x₀) £ m(x₀),

 

а это и значит, что j_i(x₀) ® m(x₀). Лемма доказана.

Следствие 1. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.

В самом деле, множество  точек деления { } счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что j_i(x) ® m(x) почти везде.

Но j_i(x) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит измерима я функция т(x). Для верхней функции Бэра М(х) рассуждение аналогично.

Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция f(x) ограничена, то

 

(L) ® (L) .

 

Действительно, если £ K, то, очевидно,

 

 £ K, £ K,

 

откуда прежде всего  следует, что эти функции интегрируемы (L), после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.

Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что

 

(L) = = = s_i,

 

где s_i есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Таким образом, следствие 2 означает, что при i ® ¥

 

s_i ® (L) .

 

Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу S_i при возрастании i стремится к интегралу от верхней функции Бэра

 

S_i ® (L) .

 

Но в таком случае

 

S_i - s_i ® (L) .

 

С другой стороны, в курсе  Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R), необходимо и достаточно, чтобы было S_i – s_i ® 0.

Сопоставляя это со сказанным  выше, мы видим, что для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы было

 

(L) = 0. (1)

 

Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) - т(х) эквивалентна нулю, но так как эта разность неотрицательна, то и обратно из (1) следует, что

 

т(х) ~ М(х). (2)

 

Итак, интегрируемость (R) ограниченной функции f(x) равносильна соотношению (2).

Сопоставив этот результат  с теоремой 1, получаем следующую  теорему.

Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R),необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.

Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости (R). В частности, она оправдывает сделанное в пункте 2 замечание, что интегрируемыми (R) могут быть только «не очень разрывные» функции.

Допустим теперь, что  функция f(x) интегрируема (R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет

 

т(х) = М(х).

Но ведь

т(х) £ f(x) £ М(х).

 

Значит, почти везде

 

f(x) = m(x),

 

и f(x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема (L), то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.

Наконец, из эквивалентности  функций f(x) и т(х) следует, что

 

(L) = (L) .

 

Но, как известно из курса  Анализа, в условиях основной леммы  для интегрируемой (R) функции f(x) будет

 

s_i ® (R) ,

 

где s_i есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами,

 

s_i ® (L) ,

мы видим, что

(R) = (L) .

 

Таким образом, имеет  место

Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо интегрируема и (L), и оба ее интеграла равны между собой.

В заключение отметим, что  функция Дирихле y(x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема (R), так что теорема 3 не обратима.

 

6. Примеры

1) Вычислить интеграл  Лебега от функции  на интервале (1; 2).

Строим срезку

 

N, f(x) ³ N,

f_N(x) =

 f(x), f(x) < N.

  = N,

 x = 1 + .

= ,

= + = Nx + = N - N + -

- = + - = - + ,

= = ,

(L) = .

 

2) Суммируемы ли функции  и на интервале (0; 1).

 

f(x) = .

Строим срезку

 

= N,

x = .

= + = + = 1 - = 1 + ,

= = (1 + ) = +¥,

 

значит функция f(x) = суммируемой не является.

 

f(x) = .

 

Строим срезку

 

= N,

x = .

= + = - = - (1 - ) = - 1 + =

= 2 - 1,

= = (2 - 1) = +¥,

значит функция f(x) = суммируемой не является.

3) Суммируема ли функция f(x) = на отрезке [-1; 1], где f(0) = 0.

 

  , x > 0 0 , x ³ 0

= =

 0 , x £ 0 , x < 0

= - .

 

Строим срезку

 

N = ,

x = .

(L) = = = =

= = = +¥.

 

Строим срезку

 

N = ,

x = .

(L) = = = =

= = = +¥,

 

значит функция f(x) = не является суммируемой на [-1 ;1].

4) Суммируема ли функция f(x) = на [1; 3], где f(2) = 1.

 

  , x > 2 0, x ³ 2

= 0, x < 2 =

 1, x = 2 , x < 2

 

Строим срезку

 

= N,

x = 2 + .

(L) = = =

= = =

= = = .

 

Строим срезку

 

= N,

x = 2 - .

(L) = = = = =

 

функция f(x) суммируема на [1; 3].

 

Литература

 

1) Колмогоров, Фомин «Элементы  функционального анализа».

2) Натансон И.П. «Теория функций вещественной переменной», С-П, 1999.

3) Очан «Сборник задач  по математическому анализу».