Интегральные характеристики векторных полей

Через символический вектор Гамильтона

 

вихревой вектор записывается как векторное произведение вектора  на вектор поля , т. е.

 

Как легко видеть, выражение

 

стоящее под знаком поверхностного интеграла в формуле Стокса, представляет собой скалярное произведение вихря векторного поля на единичный вектор нормали к поверхности S.

Следовательно, формулу Стокса можно представить в векторной форме следующим образом:

 

Левая и правая части формулы  этой представляют, соответственно, циркуляцию векторного поля и поток его вихря. Значит, формула Стокса утверждает: циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L равна потоку его вихря через поверхность S, натянутую на этот контур.

Можно определить проекцию вектора  на любое направление следующим образом:

 

т.е. есть вектор, проекция которого на любое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки τ, перпендикулярной этому направлению , к площади этой площадки, когда размеры этой площадки стремятся к нулю.

Или другими словами: есть вектор, нормальный к поверхности, на которой плотность циркуляции достигает наибольшего значения.

Это, кроме прочего, означает и то, что вихрь поля (как и  градиент, так и дивергенция) не зависит  от выбора системы координат, а является характеристикой самого поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Специальные векторные поля

 

Векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция равна нулю, т.е. Примерами соленоидальных полей являются: поле скоростей вращающегося твердого тела; магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и т.д.

Векторное поле называется безвихревым, если его ротор тождественно равен нулю в области определения поля:  

Векторное поле называется потенциальным, если оно является полем градиентов некоторой скалярной функции φ(M), т. е. В этом случае функция φ(M) называется потенциалом поля.

Имеет место важное утверждение.

Теорема

Если векторное поле   

 

непрерывно дифференцируемо  в замкнутой односвязной области V, то каждое из следующих четырёх предложений равносильно любому другому из них:

•  –  потенциальное поле;
•  –  безвихревое поле;
• циркуляция поля по любому замкнутому контуру, лежащему внутри области V, равна нулю;
• криволинейный интеграл       

 

не зависит от формы  пути интегрирования.

Если φ(М) – потенциал поля, то потенциалом этого поля, как легко видеть, будет и любая другая функция вида ψ(М) = φ(М) + const.

Любой потенциал φ(М) поля очевидно, можно представить в виде:

 

Отметим важное свойство указанных  выше специальных векторных полей.

Теорема

Произвольное векторное  поле всегда может быть представлено в виде суммы потенциального поля и соленоидального поля , т.е.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Оператор Гамильтона

 

Векторный символ

 

называется оператором Гамильтона, знак читается "набла". Так как для скалярной функции U = U (x, y, z)

 

то градиент можно представить  в виде

 

Полный дифференциал скалярной  функции можно представить в  виде

dU = U·dr.

Используя формулу скалярного произведения в координатной форме, получим 

 

Используя формулу векторного произведения в координатной форме, получим 

Действительно,

 

Векторное поле

F = P·i + Q·j + R·k

называется потенциальным, если вектор F есть градиент некоторой скалярной функции.

F = grad U.

В этом случае проекции вектора F есть частные производные этой скалярной функции U.

 

Из этих равенств следует 

 

или

 

Следовательно, признаком  потенциальности векторного поля является

rot F = 0.

Таким образом 

                                                  rot (grad U) = 0.                                       (2)

Применяя оператор, равенство (2) на основании (1) можно записать так

 

Пользуясь тем свойством, что для умножения векторного произведения на скаляр достаточно умножить на этот скаляр один из сомножителей, соотношение (3) можно записать в виде

(×)U = 0.

Оператор обладает свойствами обыкновенного вектора: векторное произведение вектора на самого себя равно нулю. 

 

 

 

6. Примеры решения задач

Пример 1. Найти циркуляцию векторного поля

 

 вдоль контура 

Г

 

в направлении, соответствующем  возрастанию параметра t. 
Решение. 
   Вычислим циркуляцию векторного поля

 

 

 

Вычислим теперь циркуляцию по формуле Стокса. Вектор нормали  имеет координаты

 

Вихрь поля равен 

Скалярное произведение равно 

 

 

Пример 2. Вычислить дивергенцию поля радиус-вектора

 

Решение. Ищем соответствующие частные производные от каждой координаты вектора

 

 

 

В каждой точке поля имеется источник плотности, равный 3 ед.

Пример 3. Найти производную поля u(M) = х² – у² в точке по

направлению

Решение. Вычислим направляющие косинусы вектора :

 

Найдём частные производные  в указанной точке

 

По формуле 

 

вычислим производную по направлению

 

Здесь отрицательный знак производной  поля указывает на то, что в данной точке в направлении данного  вектора поле убывает.

Пример 4. Найти векторные линии в векторном поле a.

 

Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий поля a:

 

 

 

 

Пример  5. Найти циркуляцию векторного поля а вдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 Заключение

 

Интегральные характеристики – раздел математики, изучающий вещественный анализ векторов в двух или более измерениях. Методы векторного анализа находят большее применение в физике и инженерии.

Для получения основных соотношений, используемых в интегральных характеристиках, оказывается практически важным рассмотрение криволинейных и поверхностных интегралов, и их геометрических приложений. Так, например, теорема Стокса в векторной форме приобретает совершенно новый физический смысл.

Практически полезным является и введение оператора Гамильтона, с его помощью удобно записывать векторные операции первого порядка (градиент, дивергенция, ротор), а также векторными функциями. Для введения дифференциальных операций второго порядка используется оператор Лапласа. Дифференциальное уравнение Лапласа играет важную роль в различных разделах математической физики.

К рассмотрению векторных  полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей  способствует изучению и других. Математическим ядром теории поля являются рассмотренные  нами понятия градиента, потока, потенциала, дивергенции, ротора, циркуляции и др. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа  функций многих переменных.

 

Библиографический список

1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н. С. Пискунов – М. : Наука, 1972. – Т. 2. – 656 с.
2. Кузнецов, Д.С. Специальные функции / Д.С. Кузнецов – М.: Высшая школа, 1965. – 424 с.
3. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу / Г.И. Архипов – М.: Дрофа, 2004. – 640 с.
4. Фихтенгольц,  Г.М. Основы математического анализа / Г.М.Фихтенгольц–М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 464 с.
5. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц – М.: Наука, 1969. – Т. 2. – 800 с.