Учреждение  образования «Белорусский государственный  
педагогический университет имени Максима Танка» 

     Математический  факультет

     Кафедра математического анализа 

      
 
 

      
КУРСОВАЯ РАБОТА

     Интегралы и преобразования Фурье  
 
 
 

                                    Выполнил

                                    студент 402 группы Хващевский К. В.

                                    Научный руководитель

                                    доцент Ковальчук  А.Н. 
 
 
 
 
 
 
 

     Минск 2011

     РЕФЕРАТ

     курсовой  работы «Интегралы и преобразования Фурье» 

     Объем работы 15 страниц.

     Ключевые слова: Интеграл Фурье, тригонометрический ряд, прямое  преобразование Фурье, обратное преобразование Фурье. 

     В курсовой работе рассматриваются вопросы, связанные с определением интеграла Фурье, различными видами формул Фурье, определением и поиском преобразования Фурье. 

     Изучается метод получения интеграла Фурье, различные его виды, так же рассматривается метод поиска преобразования Фурье. 

     Решены  задачи: Связанные с поиском преобразования Фурье для следующих функций:

      

Содержание

Интеграл  Фурье.

       Мы хотим воспроизвести здесь в существенных чертах те замечательные по их прозрачности, хотя и лишённые строгости, соображения, которые привели Фурье к его интегральной формуле.

     Если  функция  задана в конечном промежутке , то при определённых условиях, которые нас здесь не интересуют, её можно представить в этом промежутке тригонометрическим рядам:

      

где

                                         

                                                     

     Подставляя  вместо коэффициентов  и их выражения, можно переписать ряд Фурье в виде

        \* MERGEFORMAT

     Пусть теперь функция будет определена во всём бесконечном промежутке . В этом случае, каково бы ни было , соответствующее значение выразится разложением \* MERGEFORMAT (1.1) при любом Переходя здесь к пределу при , попытаемся установить «предельную форму» этого разложения.

     Про первый член правой част равенства \* MERGEFORMAT (1.1) естественно считать, что он стремиться к нулю. Обращаясь же к бесконечному ряду, мы можем рассматривать множители под знаком косинуса как дискретные значения

        

некой переменной , непрерывно меняющейся от до ; при этом приращение

      

очевидно, стремится к нулю при  . В этих обозначениях наш ряд перепишется так:

      

Он напоминает интегральную сумму для функции

      

от  в промежутке . Переходя к пределу при , вместо ряда получим интеграл; таким путём и приходим к интегральной формуле Фурье:

      

     Можно представить эту формулу, раскрывая  выражение косинуса разности, и в виде

      

где

           

Здесь ясно обнаруживается аналогия с тригонометрическим разложением: лишь параметр , пробегающий ряд натуральных значений, заменён здесь непрерывно изменяющимся параметром , а бесконечный ряд – интегралом. Коэффициенты и так же по своей структуре напоминают коэффициенты Фурье.

     Конечно, все эти соображения имеют  характер лишь наведения; действительные условия справедливости формулы Фурье ещё подлежат выяснению. Но и при проведении строгих рассуждений мы будем следовать основным этапам рассуждения, связанных с рядами Фурье.

     Относительно  функции  предположим теперь, что 1) она кусочно-непрерывна в каждом промежутке и 2) абсолютно интегрируема в бесконечном промежутке . В этом предположении рассмотрим интеграл

      

где есть произвольное конечное положительное число, а - любое фиксированное значение . Этот интеграл представляет аналог частичной суммы ряда Фурье: из него интеграл Фурье

        \* MERGEFORMAT

Получается  в пределе  .

     При любом конечном , будем иметь

      

        \* MERGEFORMAT

     Если функция  в промежутке непрерывна; в противном случае пришлось бы рассматривать каждый промежуток из тех, в которых функция непрерывна

     Но  интеграл

        \* MERGEFORMAT

мажорируется  сходящимся по предположению интегралом

      

и, следовательно, сходится равномерно относительно (как при , так и при ) для любого промежутка его значений. Таким образом, интеграл

      

при стремится к своему пределу \* MERGEFORMAT (1.4) равномерно. Поэтому, переходя в равенстве \* MERGEFORMAT (1.3) к пределу при , в интеграле слева предельный переход можно выполнить под знаком интеграла. Отсюда для получается выражение в виде интеграла

      

Напоминает  интеграл Дирихле, для исследования поведения тригонометрического ряда в какой-нибудь определённой точке, и, в действительности, играющего такую же точно роль. Элементарными преобразованиями его легко привести к виду

        \* MERGEFORMAT

     Для дальнейшего изложения нам понадобится следующая лемма:

     Если  функция  кусочно-непрерывна в каждой конечной части промежутка и абсолютно интегрируемая в этом бесконечном промежутке, то

      

(равно как и

      

     Действительно, задавшись произвольным числом , мы сначала выберем столь большим, что бы было

      

а значит и подавно

      

и при  том – каково бы ни было . А затем, из интеграла

      

для достаточно больших  будет

      

для тех  же , очевидно,

      

что и  требовалось доказать.

     Теорема. Пусть функция кусочно-дифференцируема в каждом конечном промежутке и, к тому же, абсолютно интегрируема в промежутке . Тогда в каждой точке её интеграл Фурье сходится и имеет значение

      

(которое,  очевидно, обращается в  , если функция в точке непрерывна).

     Предполагая выполненными указанные выше условия применимости формулы Фурье, будем считать для простоты, что в рассматриваемой точке функция непрерывна или, если разрывна, то удовлетворяет условию

      

Тогда во всяком случае имеем 

        \* MERGEFORMAT

     Ввиду того, что внутренний интеграл явно представляет собой чётную функцию от , эту формулу можно переписать и так:

        \* MERGEFORMAT

Легко показать далее, что при сделанных  общих предположениях относительно функции существует и интеграл

        \* MERGEFORMAT

Этот  интеграл, к тому же, является непрерывной  функцией от и, очевидно, нечётной.

     Вообще  говоря, для этой функции уже нельзя ручаться за существование несобственного интеграла от до , т. е. предела

      

При независимом  стремлении и к бесконечности, может оказаться существующим предел, отвечающий частному предположению . Такой предел, следуя Коши, называют главным значением интеграла и обозначают буквами (Valeur principale)

      

Если  интеграл существует в согласии с  обычным определением несобственного интеграла, то он, очевидно, совпадает с его главным значением.

     Ввиду нечётности функции \* MERGEFORMAT (1.8) от , будем иметь

      

И в  пределе при  тоже получится нуль. Итак, во всяком случае

      

     Умножая это равенство на и складывая с \* MERGEFORMAT (1.7), придём к соответствию

        \* MERGEFORMAT

где наружный интеграл понимается в смысле главного значения. В этом виде формула  была впервые представлена Коши.

Преобразование  Фурье.

     Рассмотрим интегральную формулу Фурье \* MERGEFORMAT (1.6) поскольку внутренний интеграл представляет собой чётную функцию от , то имеющееся равенство можно видоизменить так что

        \* MERGEFORMAT

В свою очередь, как мы уже говорили, функция от

      

будет нечётной и поэтому в смысле главного значения по Коши

      

Умножая последнее равенство на и вычитая результат из \* MERGEFORMAT (2.1), найдём

      

      

где

     Таким образом интегральную формулу Фурье  мы представили в виде двух преобразований: прямое преобразование Фурье

      

и обратное преобразование Фурье

      

В обратном преобразовании Фурье интеграл нужно  понимать в смысле главного значения по Коши, т. е.

      

     Замечание. Отметим встретившуюся выше промежуточную формулу