Исследование функции с помощью производной

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Июня 2011 в 22:58, реферат

Описание

Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.

Выбрав тему реферата «Исследование функции с помощью производной» я поставил следующие задачи:

- систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;

- усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций.

Содержание

Введение. 3

Глава I. Развитие понятия функции. 4

Глава II. Основные свойства функции. 7

2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и

область значений функции. Нули функции. 7

2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические

функции). 8

2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. 10

Глава III. Исследование функций. 12

3.1. Общая схема исследования функций. 12

3.2. Признак возрастания и убывания функций. 12

3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. 13

3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции. 14

Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции. 15

Заключение. 22

Скачать (306.45 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Работа состоит из  1 файл

реферат по математике .docx

— 361.79 Кб (Скачать документ)
  1. Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:

 
 
 
 
 
 
 

-4

        +                                 -                             +

                            -3                         -1 

            x=-4, y’=3*16-48+9=9>0

            x=-2, y’=12-24+9=-3<0

            x=0, y’=0+0+9=9>0

  1. Найдем xmin и xmax:

      xmin=-1

      xmax=-3

  1. Найдем экстремумы функции:

      ymin=y(-1)=-1+6-9=-4

      ymax=y(-3)=-27+54-27=0

  1. Построим график функции:

               

  1. Дополнительные  точки:

      y(-4)=-64+96-36=-4

     Пример 12. Исследовать функцию y=x2/(x-2) и построить график

           y=x2/(x-2)=x+2+4/(x-2)

           Найдем асимптоты  функции:

 
 
 
 

 x≠ 2, x=2 – вертикальная асимптота

           _x2              x-2

        x2-2x    x+2

           _2x

             2x-4

                   4 

            y=x+2 – наклонная асимптота, т.к.

            lim 4/(x-2)=0

                       x→∞ 

            Найдем область  определения.

      1. D(y)=R \ {2}

      2)Определим  вид функции.

        y(-x)=(-x)2/(-x-2)=x2/(-x-2), функция общего вида.

      3)Найдем  точки пересечения с осями.

      Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.

      Ox: y=0,

      x2/(x-2)=0

      x3-2x2=0

      x2(x-2)=0

      x=0 или x=2  (2;0) – точка пересечения с осью х

      4) Найдем производную функции:

      y’=(2x(x-2)-x2)/(x-2)2=(2x2-4x-x2)/(x-2)2=(x(x-4))/(x-2)2=(x2-4x)/(x-2)2

5) Определим  критические точки:

                                          x2-4x=0    x(x-4)=0

      y’=0, (x2-4x)/(x-2)2=0 <=>          <=>

                                          (x-2)2≠ 0    x≠ 2 

      x2-4x=0, а (x-2)2≠ 0, т.е. х≠ 2

      x(x-4)=0

      x=0  или x=4

      6) Обозначим критические точки  на координатной прямой и определим  знак функции. 

 
 
 
 
 

   0          8

        +  -       -      + 

                        0     2        4

            x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

            x=1,  y’=(1-4)/1=-3<0

            x=3,  y’=(9-12)/1=-3<0

            x=5,  y’=(25-20)/9=5/9>0

            7) Найдем точки  минимума и максимума функции:

            xmin=4

            xmax=0

            8) Найдем экстремумы  функции:

            ymin=y(4)=16/2=8

            ymax=y(0)=0

            9) Построим график  функции:

                 
 

            10) Дополнительные  точки:

            y(-3)=9/-5=-1,8  y(3)=9/1=9

            y(1)=1/-1=-1  y(6)=36/4=9 

      Пример 13. Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x2+3) и построить график.  1) Найдем область определения функции:

            D(y)=R

  1. Определим вид функции:

      y(-x)=(6(-x-1))/(x2+3)=-(6(x+1))/(x2-3) – функция общего вида.

  1. Найдем точки пересечения с осями:

Oy: x=0,  y=(6(0-1))/(0+3)=-2,  (0;-2) – точка пересечения с осью y.

                                   (6(x-1))/(x2+3)=0     

      Ox: y=0, <=>      

                           x2+3≠ 0 

            6x-6=0

            6x=6

            x=-1

            (1;0) – точка пересечения  с осью х     

            4) Найдем производную  функции:

            y’=(6(x-1)/(x2+3))’=6(x2+3-2x2+2x)/(x2+2)2=-6(x+1)(x-3)/(x2+3)2

            5) Определим критические точки:

            y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x2+3)2=0

            -6(x+1)(x-3)=0

            y’=0, если х1=-1 или х2=3 , значит х=-1 и х=3, критические точки.

            6) Обозначим критические  точки на координатной прямой  и определим знак функции:

 
 
 

      -3        2  

        -        +    - 

                              -1   3

            x=-2,    y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3)2=-30/49<0

            x=0,     y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3)2=2>0

            x=4,     y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3)2=-30/361<0

            7) Найдем точки  минимума и максимума:

            xmin=-1

            xmax=3

            8) Найдем экстремумы функции:

            ymin=y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

            ymax=y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

            9) Построим график  функции:

            10) Дополнительные  точки:

            y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

            y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77

     Пример 14. Исследовать функцию y=x ln x и построить ее график:

  1. Найдем область определения функции:

      y=x ln x

      D(y)=R+ (только положительные значения)

  1. Определим вид функции:

      y(-x)=-x ln x -  общего вида.

  1. Найдем точки пересечения с осями:

      Oy, но х≠ 0, значит точек пересечения с осью y нет.

      Ox: y=0, то есть x ln x=0

      x=0      или  ln x=0

      0 ¢  D(y)  x=e0

                              x=1

      (1;0) – точка пересечения с осью  х

  1. Найдем производную функции:

      y’=x’  ln x + x(ln x)’=ln x +1

  1. Определим критические точки:

      y’=0, то есть  ln x +1=0

                              ln x=-1

                              x=e-1

                              x=1/e (≈ 0,4)

      y’=0 , если x=1/e , значит x=1/e – критическая точка.

  1. Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:

      -1/e  
 

                 -    +

                         1/e 

            x=1/(2e);  y’=log(2e)-1+1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0

            x=2e;        y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

  1. 1/e – точка минимума функции.
  2. Найдем экстремумы функции:

      ymin=y(1/e)=1/e ln e-1=-1/e (≈ -0,4).

  1. Построим график функции:

        Заключение.

     Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад  произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.

     Я выбрал эту тему, потому что мне  было очень интересно пройти этот путь исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах  и преобразованиях. Сделав этот реферат, я систематизировала свои навыки пополнила свой запас знаний об этой теме.

     Я хочу посоветовать всем глубже изучить  эту тему. 
 
 
 
 
 
 

Информация о работе Исследование функции с помощью производной