Элементы линейной алгебры

Контрольная работа по теме

"Элементы линейной алгебры"

Задание 1.

Решить систему:

1) 
2)

Решение:

1)

Запишем расширенную матрицу  этой системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к треугольному виду:

 

От третьей строки отнимем  первую:

 

От второй строки отнимем первую, умноженную 2, третью строку разделим на 3:

 

Вторую строку делим на 3:

 

От первой строки отнять вторую, умноженную на 2 и к третьей строке прибавить вторую:

 

Третью строку разделим на 2. Вторую строку умножим на -1:

 

Ко второй строке прибавим третью. К первой строке прибавим третью, умноженную на 2:

 

Запишем систему, соответствующую  данной матрице:

 

Ответ. Система уравнений №1 имеет решение: .

Решение:

2)

Запишем расширенную матрицу этой системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к треугольному виду:

 

От третьей строки отнять вторую и поменяем местами первую и вторую строки:

 

От второй строки отнимем первую, умноженную на 2:

 

Из третьей строки отнимем вторую:

 

Вторую строку разделить на -5, а третью на 4:

 

От первой строки отнимем  вторую умноженную на 2:

 

Запишем систему, соответствующую  данной матрице:

 

В последнем уравнении получили неверное равенство: Значит, эта система решений не имеет.

Ответ: Решений нет.

Задание 2.

Найти A^-1 двумя способами.

1)

2)

Решение:

1)

Первый  способ

Вычислим определитель матрицы  A.

Так как  , то обратная матрица существует. Запишем формулу для нахождения обратной матрицы:

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.

Запишем обратную матрицу:

Сделаем проверку:

,

где элементы полученной единичной  матрицы находятся так:

Таким образом:

Второй  способ:

Припишем к матрице  A справа единичную матрицу и путем элементарных преобразований получим на месте матрицы A, то есть слева, единичную матрицу, тогда справа будет стоять обратная.

К первой строке прибавить вторую:

 

Ко второй строке прибавить первую, умноженную на 2 и вторую строку отнимем от третье:

Третью строку прибавим ко второй:

Поменяем местами вторую и третью строки:

Третью строку делим на 12:

К первой строке прибавим вторую:

От второй строки отнимем третью:

От первой строки отнимем третью, умноженную на 5:

В результате справа получили обратную матрицу:

.

Ответы первого и второго  способов совпали.

Ответ. .

2) Найти A^-1 двумя способами.

_{Решение:}

_{Вычислим определитель матрицы А.}

Так как  , то обратная матрица не существует.

Ответ:  не имеет обратной матрицы.

Задание 3.

Найти А×В и В×А, если

1)

2)

Решение:

Так как количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B, то матрицу A можно умножить на матрицу.

Пусть

где

В результате получим

Теперь надо выяснить, возможно, ли умножения матрицы B на матрицу A. Так как количество столбцов матрицы B равно количеству строк матрицы A, то умножение возможно.

Пусть

где

В результате получим

Ответ. , 

Найти А×В и В×А, если

2)

Решение:

Так как количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B, то матрицу A можно умножить на матрицу.

Пусть

где

В результате получим

Умножение матрицы B на матрицу A не возможно, так как количество элементов в строке левой матрицы не равно количеству элементов в столбце правой.

Ответ. ,  умножение матрицы В на А не возможно.

Зачетные задания.

Вариант 1

Задание 1.

 Найти А×В и В×А, если

Решение:

Так как количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B, то матрицу A можно умножить на матрицу.

Пусть

 

где

В результате получим

Теперь надо выяснить, возможно, ли умножения матрицы B на матрицу A. Так как количество столбцов матрицы B равно количеству строк матрицы A, то умножение возможно.

Пусть

где

В результате получим

Ответ. , 

Задание 2.

Придумать матрицу четвертого порядка, отличную от диагональной, убедиться, что det A ¹ 0. Найти А^-1 двумя способами, проверить, что А^{-1 .} А = А ^. А^-1 = Е.

Решение:

Чем больше нулей содержит матрица  , тем легче выполнять вычисления. Поэтому возьмем, например, такую матрицу

.

Нужно вычислить определитель и убедиться, что определитель матрицы  отличен от нуля. Если определитель окажется равным нулю, то обратной матрицы не существует. Выберем третью строку, так как в ней только один ненулевой элемент, что упрощает вычисления. Минор к элементу – определитель, полученный вычеркиванием -той строки и – того столбца, алгебраическое дополнение считается по формуле . Зачеркиваем в матрице третью строку и четвертый столбец:

Получим минор

(для вычисления определителя  третьего порядка используем, например, правило треугольников). Алгебраическое  дополнение к элементу  равно Таким образом, определитель матрицы равен .

Первый способ вычисления обратной матрицы.

Для вычисления обратной матрицы  первым способом нужно вычислить  алгебраические дополнения ко всем элементам  матрицы (в матрице четвертого порядка  их шестнадцать). Можно пользоваться свойствами определителя, например, определитель, содержащий нулевую строку или столбец, равен нулю.

Вычисляем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

,

,

,

.

Вычисляем алгебраические дополнения к элементам второй строки:

,

,

,

.

Вычисляем алгебраические дополнения к элементам третьей строки:

,

Вычисляем алгебраические дополнения к элементам четвертой строки:

,

,

,

Для получения обратной матрицы  нужно составить матрицу из алгебраических дополнений, транспонировать ее и  поделить на определитель исходной матрицы  .

В нашем случае матрица  из алгебраических дополнений имеет  вид 

.

Транспонируем эту матрицу:

.

Разделив каждый элемент  этой матрицы на , то есть в нашем случае на ₂₄, получим обратную матрицу

.

Второй способ вычисления обратной матрицы.

Для вычисления обратной матрицы  вторым способом нужно присоединить слева к матрице  единичную матрицу, а затем умножая строки на ненулевое число, складывая либо вычитая строки, переставляя строки при необходимости, добиться, чтобы матрица перешла в единичную. При этом слева образуется обратная матрица. Присоединим к матрице единичную матрицу:

.

Преобразуем матрицу  так, чтобы под главной диагональю стояли нули. Для этого от второй и третьей строки отнимем первую, получим

.

К первой строке прибавим четвертую; вторую поделим на 2; третью на 4; четвертую  на -3, получим

.

Поменяем местами четвертую  и третью строки:

.

Теперь от первой строки отнимем четвертую; ко второй строке прибавим третью, умноженную на 3/2:

.

Прибавим ко второй строке четвертую, умноженную на 1/2, и к третьей строке прибавим четвертую, умноженную 1/3, получим

.

Таким образом,

.

Проверка.

Для проверки того, что полученная матрица действительно является обратной, нужно выполнить умножение  и и получить единичную матрицу

,  

Матрицу представим как набор строк , , , , матрицу представим как набор столбцов, , , , . Элемент матрицы есть скалярное произведение -той строки матрицы и -того столбца матрицы . Например, все элементы первой строки матрицы равны:

,

,

.

,

,

.

,

,

.

,

,

.

В итоге получим,

.

Ответ: _{, ,}

                  А^{-1 .} А = А ^. А^-1 =

Задание 3.

Найти общее решение системы  и одно частное

 

Решение:

Запишем расширенную матрицу  этой системы:

С помощью элементарных преобразований приведем эту матрицу к трапециедальному виду. Для этого от второй строки отнимем третью и от третьей строки отнимем вторую:

Поменяем местами первую и третью строки:

От третьей строки отнимем  первую, умноженную на 2:

От третьей строки отнимем  вторую, умноженную на 13:

Прибавим к  первой строке вторую, умноженную на 3, и разделим третью строку на -6:

Отнимем от второй строки третью:

От первой строки отнимем третью:

Получили матрицу трапециедального вида.

Ранг матрицы системы  равен рангу расширенной матрицы  системы и равен трем. Значит, система совместна. Так как ранг меньше количества неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Чтобы их найти, выберем в преобразованной матрице определитель третьего порядка, отличный от нуля. Можно взять определитель, составленный из элементов, стоящих в левом верхнем углу матрицы

Теперь запишем систему  уравнений, в которой те переменные, коэффициенты при которых попали в этот определитель, будут стоять в левой части (это x_1,, x₂, x₃), а остальные (это x₄) переносим в правую часть системы.

 

                            

Переменные x_1,, x₂, x₃ называются базисными переменными, а x₄ называется свободной переменной. Теперь выразим базисные переменные через переменную x₄ и свободные члены системы. Начиная с последнего уравнения:

Из второй строки:  x₂= - 4x₄.

Подставим выражения для x₂ и x₃ в первую строку: 

Таким образом, получили:

 

где x₄ – свободная переменная. Это общее решение системы. Чтобы получить частное решение, придадим переменной x₄ любое числовое значение и найдем x₁, x₂, x_3.

Пусть x₄=1. Тогда

Таким образом, - частное решение.

Ответ. Общее решение   частное решение .

 

Задание 4.

Используя метод исключения неизвестных, исследовать совместность и найти общее решение системы  уравнений. (Если исходная система имеет  целые коэффициенты, то и в процессе исключения неизвестного можно избежать дробей.)

 

Решение:

Составим расширенную  матрицу этой системы:

С помощью элементарных преобразований приведем эту матрицу к трапециедальному виду.

От третьей строки отнимем  четвертую и от второй строки отнимем  первую:

Теперь к четвертой строке прибавим третью, умноженную на 3; от пятой строки отнимем первую умноженную на 5; к третьей строке прибавим первую. Получим: