Элементы теории вероятности

3

 

2

 

1

Элементы теории вероятности.

 

Выполнил: студент группы 11-101-31

Суенбаев Аскербек

Цели и задачи работы

 

• Выполнить задание по математическим задачам и сдать зачет.
• Продемонстрировать общее понимание теории вероятностей и её основных элементов

 

Темы для обсуждения

 

• Основные понятия теории вероятностей
• Операции над событиями
• Виды случайных событий
• Относительная частота и её свойства
• Свойства относительной частоты
• Определение вероятностного пространства
• Аксиоматика теории вероятностей
• Классическое определение вероятности 
• Основные формулы комбинаторики

Основные понятия  теории вероятностей

 

Испытание - реализация определённого комплекса условий, который может быть повторён неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которых в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.

  
Например: подбрасывание монеты – это испытание.

 

Событие – результат испытания

 

Элементарное событие - конкретный результат испытания

 

Пространство элементарных  событий – совокупность элементарных событий

 

Сложное событие - произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытания произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.

 

 Например: в результате испытания – подбрасывания кубика – элементарным событием может быть выпадение цифры 5, сложным событием – выпадение нечётной грани.

 

Основные понятия   
теории вероятностей

 

События можно разделить на три вида:

1. Достоверное событие – это событие, которое всегда происходит в результате испытания.

Например: если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 25°С, то событие “вода в сосуде находится в жидком состоянии” является достоверным.

 

2. Невозможное событие – это событие, которое никогда не происходит в результате испытания.

Например: если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 25°С, то событие “вода в сосуде находится в твёрдом состоянии” заведомо не произойдёт, а, следовательно, является невозможным.

 

3. Случайное событие – может произойти либо не произойти в результате испытания.

На практике необходимо количественно  оценивать случайные события, прогнозировать их течение. Решением возникающих при  этом вопросов и созданием общей  математической теории занимаются две  математические дисциплины – теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей не ставит перед  собой цель дать ответ на вопрос, появится данное событие или нет  в единичном испытании.

 

Предмет  
теории вероятностей

 

 

 

 

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

 

Операции над событиями.

 

Сумма событий (А+В или АÈВ)

Событие С называется суммой (или объединением) событий А и В, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в А, так и в В. Причём если элементарное событие входит и в А, и в В, то в С оно входит только один раз

Обозначения на диаграмме Эйлера-Венна:

W - множество всех элементарных событий

А(В) –множество элементарных событий, входящих в событие А(В)

 

А

 

А	В	А+В
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

 

Таблица читается по строкам.

Например: последняя строка будет читаться так: если наступает А и наступает В, то наступает и А+В.

 

Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных исходов, входящих в хотя бы одно из рассматриваемых событий. Другими словами, сумма любого множества событий есть событие, которое наступает в тех и только тех случаях, когда наступает хотя бы одно из событий данного множества.

Операции над событиями.

 

Произведение  событий (А×В или АÇВ).

Событие С является произведением событий А и В, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в А, и в В.

Событие С обозначается как А×В или  АВ. Операция произведения двух событий  соответствует операции произведения (пересечения) множеств и операции конъюнкции высказываний.

 

 

А	В	А+В
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

 

Произведение любого множества событий определяется как совместное наступление всех событий из данного множества.

Например: если в испытании с игральной костью за событие А принять выпадение чётного числа очков, а за событие В – нечётное, то событие АВ будет равно пустому множеству (Æ).

 

Операции над событиями.

 

Разность  событий (А-В).

Разностью событий А и В называется событие С (С=А-В), состоящее из всех элементарных событий входящих в А, но не входящих в В.  

 

А	В	А-В
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	0

 

Например, если в опыте с бросанием игральной кости событие А – это выпадение нечетного числа, а событие В – выпадение числа, большего 4, то событие А-В будет означать выпадение чисел 1 и 3.

Операции над событиями.

 

Противоположное событие (А).

По определению событие А наступает тогда и только тогда, когда событие А не наступает.

 

 

 

 

 

 

 

А	А
0	1
1	0

 

Операция перехода к противоположному событию соответствует операции отрицания для высказываний и операции дополнения множества А до множества W (универсального множества).

Виды случайных  событий.

 

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Несовместные события никогда не могут произойти в результате одного испытания.

Пример. Брошена монета. Появление “герба” исключает появление цифры. События “появился герб” и "появилась цифра” – несовместные.

  
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания обязательно появление хотя бы одного из них, т. е. появление хотя бы одного события из полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Два противоположных события образуют полную группу.

Пример. Приобретены два лотерейных билета. Обязательно произойдёт одно и только из следующих событий: “выигрыш выпал на оба билета”, “выигрыш выпал только на первый билет”, “выигрыш выпал только на второй билет”, “на оба билета выигрыш не выпал”.

  
События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события, если предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие надписи о числе очков не оказывает влияние на выпадение той или иной грани.

 

  

Относительная частота  и её свойства

 

Пусть пространство элементарных событий W конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2^m событий – множество всех подмножеств пространства элементарных событий W и невозможное событие V.

Пример. W=( w₁, w₂, w₃)  
А₁=V  
А₂=( w₁)  
А₃=( w₂)  
А₄=( w₃)  
А₅=( w₁, w₂)  
А₆=( w₂, w₃)  
А₇=( w₁, w₃)  
А₈=( w₁, w₂, w₃)

 Обозначим систему этих событий через F. Берём произвольное AÎF. Проводим серию из n испытаний. Допустим, что n_А  – это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие А.

Относительной частотой наступления события А в n испытаниях называется число

Относительная частота  и её свойства.

 

Пример. Отдел технического контроля обнаружил четыре нестандартных детали в партии из 90 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей в данном случае равна:

 

Задача. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

Решение. Известна относительная частота W и число попаданий n. Требуется найти число попаданий m. По определению относительной частоты:

 

Следовательно, число  попаданий равно: m =W× n = 0,85 ×120 = 102.

Свойства относительной  частоты

 

1. Значение относительной частоты заключено в промежутке от нуля до единицы:

 

2. Относительная частота достоверного события равна единице: W_n(U)=1.
3. Относительная частота суммы попарно несовместных событий равна сумме относительных частот.

Свойства относительной  частоты

 

Рассмотрим систему A_i, I = 1 , ... , k; события попарно несовместны,

т.е.          Æ

 

 

Пусть событие                            , тогда

 

В другой записи, если А = А₁ + А₂ + … + А_k, то:     W(A) = W(A₁) + W(A₂) + …+ W(A_k).

Доказательство:  
Пусть в результате некоторого испытания произошло некоторое событие A_i. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие A_j (i¹j) в этом испытании произойти не может. Следовательно: n_A = n₁ + n₂ + ... + n_k  
(n_i –это количество испытаний, в которых произошло событие i)

  

 

Свойства относительной  частоты

 

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота  проявляет свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота испытания изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа.