Элементы теории вероятности

Пример. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появлений “герба”. Результаты испытаний занесены в таблицу. Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5 – тем меньше, чем больше число испытаний.

 

 

Число бросаний	Число появлений “герба”	Относительная   частота
4040	2 048	0,5069
12 000	6 019	0,5016
24 000	12 012	0,5005

 

Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: для любого события A относительная частота наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.

Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это относительная частота наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.

 

Определение вероятностного пространства.

 

Имеется испытание. В результате проведения испытания  может наблюдаться одно событие  из серии событий e. Все события из системы e называются наблюдаемыми. Введём предположение, что если события А, В Î e наблюдаемы, то наблюдаемы и события

 

 

Система событий F называется полем событий  или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B Î F выполняются условия  
1.) Дополнения:

 

 2.) Все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре. 
3.) Все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре. 
4.) Все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре. 
Таким образом, систему e мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений.

 

 

Определение вероятностного пространства.

 

Пусть задана некоторая непустая система подмножеств пространства элементарных событий W. Условимся называть систему S s-алгеброй подмножеств, если выполняются следующие условия;  
1.) s-алгебра содержит достоверное событие: s = U  
2.) вместе с любым событием s-алгебра содержит и противоположное ему событие:

3.) вместе с любым конечным набором событий s-алгебра содержит и их объединение: Если А₁,А₂,…A_n Î F, то               Î F                                                               

 

Условия 1-3 часто называют аксиомами s-алгебры. 
Вероятностное пространство (вероятностная схема) включает в себя три объекта словия 1-3 часто называют аксиомами s-алгебры. 
Вероятностное пространство (вероятностная схема) включает в себя три объекта (W,s,Р):  
1) W - пространство элементарных событий, построенное для данного испытания;  
2) s-алгебра, заданная на системе возможных событий в результате проводимых испытаний; 
3) функция Р(А), определённая на s-алгебре событий и удовлетворяющая трём аксиомам теории вероятностей. Теория вероятностей как наука была построена на аксиоматике Колмогорова.

 

Аксиоматика теории вероятностей

 

1) Каждому событию            поставлено в соответствие                     число. Число P(A) называется вероятностью наступления события A. Число P(A) называется вероятностью наступления события A.

2) Вероятность  достоверного события равна 1: Р(U)=1. Пространство элементарных  событий W - достоверное событие Þ P(W)=Р(U)=1.  
3) Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:

 

 

 

 

где k - возможно бесконечное число.

Следствие: Вероятность невозможного события равна 0. 
Доказательство:  
По определению суммы имеет место неравенство W +V=W.  
W и V - несовместные события.  
По третьей аксиоме теории вероятности имеем:  
P (W +V) = P(W ) = P(U) = 1  
P(W ) + P(V) = P(W ) 
1 + P(V) = 1 
P(V) = 0

Классическое определение  вероятности.

 

Пусть пространство элементарных событий W  состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновероятны, т. е. ни одному из них нельзя отдать предпочтение до испытания.

  Тогда                                                где U – достоверное событие, m - количество               рассматриваемых равновероятных событий.

 

 

Возьмем произвольное событие А, состоящее из k элементов.

Тогда

 

Если элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного события равна дроби, числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.

Основные формулы  комбинаторики.

 

Множество вместе с  заданным порядком расположения его  элементов называют упорядоченным множеством.

Размещения с повторениями. Пусть М – конечное множество произвольной природы, состоящее из n элементов. Любая строка длиной k, составленная из элементов множества М, называется размещением с повторениями из n элементов по k. В строке (m₁, m₂,…, m_k), где m₁, m₂,…, m_k принадлежат М, некоторые элементы могут повторяться.  
Число размещений с повторениями из n элементов по k зависит только от n и k и не

зависит от природы множества М. Число размещений с повторениями          равно:

 

 

 

Основные формулы  комбинаторики.

 

Перестановки. Пусть М – конечное множество произвольной природы, состоящее из n элементов. Данное множество может быть упорядочено различным образом. Следовательно, существует некоторое число множеств, отличающихся друг от друга только порядком элементов. Каждое из упорядоченных множеств, состоящих из n элементов, называется перестановкой множества М (перестановкой из n элементов). Число перестановок из n элементов обозначают через Р_n.

  
Если множество состоит из одного элемента, оно может быть упорядочено единственным способом, поэтому Р₁ = 1.

  
Множество, состоящее из двух элементов: M = {a; b} – может быть упорядочено двумя способами: (a; b) и (b; a). Следовательно, Р₂ = 2 = 1×2 = 2!.

  
Множество, состоящее из трёх элементов: M = {a; b; c) – может быть упорядочено шестью способами: (a; b; c), (a; c; b), (b; c; a), (b; a; c), (c; a; b), (c; b; a). Таким  образом, Р₃ = 6 =1×2×3 = 3!.

При помощи метода математической индукции можно доказать, что количество перестановок множества из n элементов равно: P_n = n!

Основные формулы  комбинаторики.

 

Размещения  без повторений. Пусть М – конечное множество произвольной природы, состоящее из n элементов. Если k £ n, то можно образовывать различные упорядоченные множества, состоящие из k элементов каждое. Упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов множества М, называются размещениями из n элементов, взятые по k. Два таких размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, или же их порядком.

Количество размещений из n элементов, взятых по k, обозначается                

 Если n = k, то

 

В общем случае:

Основные формулы  комбинаторики.

 

Сочетания. Пусть М – конечное множество произвольной природы, состоящее из n элементов. Все его k-элементные подмножества называют сочетаниями без повторений из элементов этого множества по

 k. Их число обозначают

 

Пример. Из множества {a, b, c, d, e} можно составить 10 сочетаний по три элемента в каждом:

Из каждого такого сочетания  путём различных упорядочиваний можно получить 6 размещений из 5 элементов  по 3.

Количество всех подмножеств множества  М, каждое из которых содержит по

 k элементов, равно:

Спасибо за внимание

 

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

Знание закономерностей, которым подчиняются массов случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. 
Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях науки и техники. Также теория вероятностей служит для теоретического обоснования математической и прикладной статистики, которая используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и др.

 

 

6

 

Операция суммы событий соответствует операции объединения множеств А и В. Если наступление события обозначать цифрой 1, а не наступление события – цифрой 0, то полную характеристику события А+В будет давать приведённая таблица. Из приведённой таблицы можно видеть, что операция сложения событий соответствует операции дизъюнкции для высказываний.

Высказывание “наступило А+В” есть дизъюнкция высказываний “наступило А” и “наступило В”.

Например: пусть в испытании с бросанием игральной кости событие А есть выпадение числа, кратного 2, а событие В – выпадение числа кратного 3. Тогда событие А+В будет выпадение хотя бы одного из чисел 2, 3, 4, 6.

 

 

 

7

 

8