Кільце многочленів над областю цілісності

 

Курсова РОБОТА

з алгебри і теорії чисел

 

НА  ТЕМУ:

«Кільце многочленів над областю цілісності»

 

 

                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗМІСТ

 

Вступ……………………………………………………………………………….3

 

1. Поняття многочлена……………………………………………………………4

 

2. Кільце многочленів від однієї змінної над комутативним кільцем з одиницею…………………………………………………………………………..5

 

2.1. Побудова кільця многочленів  від однієї змінної над комутативним  кільцем з одиницею………………………………………………………...5

 

2.2. Єдиність кільця многчленів. Існування та єдиність простих трансцендентних розширень……………………………………………..10

 

2.3. Вивчення многочленів від однієї змінної…..………………………15

 

Висновки……………………..…………………………………………………..18

Література………………………………………………………………………..19 

ВСТУП.

Об’єктом  дослідження є кільце многочленів  над областю цілісності.

Мета роботи – довести існування і єдність простого трансцендентного розширення області цілісності. Розглянути кільце многочленів від однієї змінної над областю цілісності як просте трансцендентне розширення .

Завдання:

1. Побудувати кільце многочленів від однієї змінної над комутативним кільцем з одиницею.

2. Довести  сукупність усіх многочленів над областю цілісності є область цілісності відносно операцій додавання та множення многочленів.

3. Довести, що кільце многочленів від змінної x утворене приєднанням до комутативного кільця трансцендентного над елемента є простим трансцендентним розширенням кільця .

4. Розглянути кільце многочленів від однієї змінної над областю цілісності як просте трансцендентне розширення .

Так як сума, різниця і добуток многочленів також є многочленом то многочлени утворюють підкільце в кільці всіх функцій дійсного аргументу. Многочлени в алгебрі також у зв'язку з розв’язанням рівнянь f (x) = 0 де ліва частина многочлен n-ного степеня від однієї змінної то в цьому випадку многочлен розглядається як многочлен комплексної змінної. В алгебрі розглядають многочлени над більш загальними алгебраїчними системами, коефіцієнти яких належать довільному кільцю, значно відрізняються від многочленів з числовими коефіцієнтами.

 

 

1. ПОНЯТТЯ МНОГОЧЛЕНА.

Многочлени  становлять історично один з ранніх розділів алгебри.

Вони відіграють важливу роль у всій математиці: різні задачі формулюються й розв'язуються в термінах теорії многочленів. Поняття  многочлена розглядається уже в  курсі математики середньої школи. У шкільній математиці й математичному аналізі під многочленом від однієї змінної розуміють функцію вигляду

                                           

задану на  множині R всіх дійсних чисел, де коефіцієнти а₀, а₁, а₂, ... , є довільно вибрані дійсні числа.

В алгебрі  крім многочленів з дійсними коефіцієнтами  розглядаються також многочлени (вирази вигляду (1)), коефіцієнтами яких є комплексні числа, квадратні матриці певного порядку, елементи кільця класів лишків за модулем та інших кілець.

Тому в  алгебрі вивчаються многочлени, коефіцієнтами яких є елементи довільного кільця К, або, як прийнято говорити, многочлени над довільним кільцем К. Теорію многочленів з числовими коефіцієнтами (дійсними чи комплексними) можна побудувати, розглядаючи многочлени як функцію від змінної х, що набуває дійсних чи відповідно комплексних значень. Проте при переході до побудови теорії многочленів над довільним кільцем К виникають серйозні труднощі, пов'язані з необхідністю дати точне означення того, що треба розуміти під многочленом з коефіцієнтами із довільного кільця. Означення многочлена з коефіцієнтами із довільного кільця К як функції, заданої на К, неприйнятне. Теорія многочленів будується на основі іншого, так званого алгебраїчного означення многочлена.

Для того, щоб  над многочленами можна було виконувати операції додавання та множення, потрібно, щоб для коефіцієнтів мали сенс дії додавання та множення і щоб ці дії були асоціативні, дистрибутивні і комутативні, то коефіцієнти многочленів повинні належати деякому комутативному кільцю R. Тому розглядатимемо многочлени не над довільним кільцем, а над комутативним кільцем з одиницею.

 

2. КІЛЬЦЕ МНОГОЧЛЕНІВ  ВІД ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ НАД КОМУТАТИВНИМ  КІЛЬЦЕМ З ОДИНИЦЕЮ.

 

2.1. Побудова кільця многочленів від однієї змінної над комутативним кільцем з одиницею.

 

Нехай − деяке комутативне кільце з одиницею. Його нуль і одиницю позначатимемо символами 0, 1.

Означення: Комутативне кільце з одиницею, в якому немає дільників нуля, називається областю цілісності.

Тобто, для довільних (0 – нульовий елемент кільця).

Отже, вважатимемо, що коефіцієнти многочленів, які  ми розлядаємо, належать деякій області цілісності .

Розглянемо множину всіх можливих нескінченних послідовностей

 

в кожній з яких всі члени, починаючи з деякого, дорівнюють нулю.

Вважатимемо, що послідовність дорівнює послідовності , якщо для будь-якого цілого невід'ємного числа і.

Визначимо на множині  операції додавання і множення. Нехай − довільні послідовності із множини . Вважатимемо, що

     (1)

                           (2)

де 

 

в іншій формі запису

 

Послідовності i

 містяться в множині . Члени цих послідовностей є елементами кільця і в кожній з них всі члени, починаючи з деякого дорівнюють нулю. Так, якщо

 

Отже, формули (1) і (2) справді визначають бінарні  операції на множині , які називатимемо відповідно додаванням і множенням.

а) доведемо, що множина з визначеними на ній операціями додавання і множення є комутативним кільцем з одиницею.

◄ 1⁰ Формула (1) визначає бінарну операцію додаванням на множині .

2⁰. Комутативність і асоціативність додавання.

Операція додавання на множині асоціативна і комутативна, оскільки додaвaння двох поcлiдовностей із множини зводиться до додавання їх членів з одинаковими індексами, тобто до додавання елемeнтiв кільця рівність (1), а операція додавання на кільці – асоціативна і комутативна.

3⁰. Існування нульового елемента.

 У множині є нульовий елемент – послідовність 0 = (0, 0, 0…)

f (х) + 0 = f (х).

  4⁰. Існування протилежного елемента.

Для кожного елемента в множині є протилежний елемент .

Отже, є абельовою групою за додаванням.

Операція  множення на , задана співвідношенням (2), асоціативна, комутативна і пов’язана дистрибутивним законом з операцією додавання.

5⁰. Формула (2) визначає бінарну операцію множення на множині .

6⁰. Комутативність операції множення.

Комутативність операції множення випливає безпосередньо з формули

 

в яку  елементи і входять симетрично, та комутативності операції множення на кільці .

7⁰. Асоціативність операції множення

Доведемо  асоціативність операції множення. Нехай

 три довільні елементи множини . Тоді де

 

а де

 
Крім того, де

 

 

Оскільки  і, отже, операція множення на асоціативна.

8⁰. Дистрибутивність операції множення відносно операції додавання.

Дистрибутивність операції множення відносно операції додавання:  випливає з очевидної рівності:

 

Властивості 1⁰−8⁰ означають, що є комутативним кільцем. Послідовність е = (1, 0, 0…) є одиничним елементом цього кільця: для будь-якого справджуються рівності ►

б) Покажемо, що в кільці є підкільце , ізоморфне кільцю.

◄ Нехай є множина всіх елементів кільця вигляду ( Кожному елементу кільця поставимо у відповідність елемент ( множини . Цим задамо взаємно однозначне відображення : кільця на множину . Це відображення ізоморфне. Справді, нехай довільні елементи кільця Тоді

 

За  означенням відображення : та за формулами (1) і (2),

 

тобто

, тобто . Отже, відображення : ізоморфне. Таким чином, множина є ізоморфним образом кільця і тому, за теоремою (При всякому ізоморфному відображенні : кільця в кільце – підкільце кільця .), вона є підкільцем кільця . Отже, в кільці є підкільце , ізоморфне кільцю .►

Оскільки  ізоморфні кільця і з точки зору визначених на них операцій додавання і множення нерозрізненні, то кожен елемент кільця  ототожнимо з його прообразом при ізоморфізмі ; вважатимемо, що для будь-якого . При такому ототожненні елементів кілець і кільце стає підкільцем кільця .

Позначимо елемент (0, 1, 0, 0, …) кільця символом х і назвемо його змінною х.

Тоді за означенням операції множення на ,

х = (0, 1, 0, 0, …),

х² = х ∙ х = (0, 0, 1, 0, 0, …),

х³ = х² ∙ х = (0, 0, 0, 1, 0, 0, …),                                                (3)

………………………………….

 

 )(0, 0, 0 …0, 1, 0, 0 …) =

Нехай де якщо довільно вибраний елемент кільця . Використовуючи означення операції додавання на та рівності (3), дістанемо

 

 

тобто

 

Такий запис  для елементів  існує тільки один, оскільки в правій частині рівності (4) – це члени послідовності послідовності ж і рівні тількі тоді, коли

Отже, кільце складається з елементів

 

Де  – будь-яке ціе невід’ємне число, будь-які елементи кільця , а – будь-який елемент кільця , відмінний від нуля, якщо . Причому для кожного елемента кільця існує тільки один запис такого виляду.

Побудоване  кільце називається кільцем многочленів від змінної х над областю цілісності і позначається символом . Елементи цього кільця називаються многочленами від х над кільцем   або многочленами від х з коефіцієнтами із кільця і позначаються символами  тощо.

Теорема 1: Сукупність усіх многочленів над областю цілісності є область цілісності відносно операцій додавання та множення многочленів.

Формули (1) і (2), що визначають суму і добуток  многоченів з кільця у нових символах, записують так: якщо

 і

 

Причому

 

Де 

 

Де 

 

 

2.2. Єдиність кільця многчленів. Існування та єдиність простих трансцендентних розширень.

 

Наша мета − довести, що будь-яка область цілісності має щонайменше одне просте трансцендентнерозширення і що, з точністю до ізоморфізму, таке розширення єдине.

Продовжимо  вивчення будови кільця многоченів . Для цього введемо ще деякі поняття.

Нехай − довільне комутативне кільце з одиницею і – деяке його ненульове підкільце, що містить одиницю. Вибермо в кільці деякий елемент , що не належить підкільцю : У кільці є підкільця, що містять підкільце і елемент : таким, зокрема, є саме кільце . Перетин всіх таких підкілець позначимо символом B. Очевидно, B є підкільце кільця . Підкільце B містить і в ньому немає підкільця, відмінного від нього самого, яке також містило б і : в противному разі B не було б перетином всіх підкілець, що містить Таким чином, B є мінімальним (в розумінні вкючення) підкільцем кільця , що містить і елемент .

Вважатимемо, що кільце B утворено приєднанням до кільця элемента с і записуватимемо B = .

Елемент с кільця називається алгебраїчним над кільцем (відносно кільця , якщо в кільці є елементи які не всі дорівнюють нулю й такі, що

 

Елемент с називається трансцендентним  над кільцем , якщо рівність (7) справджується лише тоді, коли .

Кільце  називається простим алгебраїчним розширенням кільця , якщо x - алгебраїчний елемент над. Якщо ж x трансцендентний елемент над, то кільце називається простим трансцендентним розширенням кільця.

Покажемо, що елемент х = (0, 1, 0, 0, …) кільця трансцендентний над кільцем .

◄ Справді, за останньою з рівностей (3) і формулою (1),

 

 

тобто

 

Тому рівність рівносильна рівності

 і, отже, справджується лише тоді, коли

. Це й означає, що елемент х трансцендентний над кільцем . ►

Доведемо, що кільце утворюється приєднанням до кільця трансцендентного відносно елемента  х, тобто що в кільці немає вімінного від нього самого підкільця, яке також містило б кільце й трансцендентний над елемент  х.

◄ Нехай B – підкільце кільця , в якому міститься кільце й трансцендентний над елемент x, і нехай довільно вибраний елемент кільця . Оскільки елементи , як елементи кільця , містяться в підкільці B і , то й елемент міститься в підкільці B.

Отже, кожний елемент кільця міститься підкільці B і тому підкільці B зберігається з кільцем . ►

Таким чином, кільце многочленів – це кільце, утворене приєднанням до кільця трансцендентного над елемента x.

Звичайно, не можна твердити, що описана вище конструкція кільця многочленів є єдино можливою. Проте, яким би способом не було побудоване кільце F, утворене приєднанням до кільця трансцендентного над елемента, воно, як показує наступна теорема, за своїми алгебраїчними властивостями нічим не відрізняється від кільця .

Теорема 2. Будь-яке кільце F, утворене приєднанням до комутативного кільця з одиницею трансцендентного над елемента, ізоморфне кільцю .

Нехай F – деяке кільце, утворене приєднанням до кільця з одиницею трансцендентного над елемента y. За означенням, сформульованим вище, є мінімальне підкільце деякого комутативного кільця з одиницею, що містить і y.

Розглянемо  множину  всіх елементів f кільця , які можна записати у вигляді

 

де  – будь-яке ціле невід’ємне число;  будь-які елементи кільця і будь-який елемент із, відмінний від нуля, якщо . Зрозуміло, що операції додавання і множення, які виконуються в правій частині рівності (8), − це операції  додавання і множення на кільці .

Покажемо, що для жодного елемента не існує двох записів вигляду (8). Припустимо, що для деякого є два різні записи:

 

 

Для певності вважатимемо, що . Використовуючи властивості операцій у комутативному кільці , віднімемо від рівності (9) рівність (10). Дістанемо