Комбінаторні задачі математичних олімпіад

     Будь-яку  шахову фігуру можна розглядати як об’єднання декількох    (p,q)-коней при рівних значеннях p і q. Наприклад, шаховий король є об’єднанням (0, 1)-, (1, 0)- і (1, 1)-коней. Тому двох шахматних королів різного кольору можна поставити на m×n дошку

     2=8mn-6m-6n+4

     способами, щоб вони били один одного. З цього  слідує, поставити їх, щоб вони не били один одного, можна 

     -9mn+6m+6n-4 способами.

     Шахматних ферзь є об’єднанням (1, 1)-, (2, 2)-, …, (p, p)-коней, де p – найменше із чисел m-1, n-1. Припустимо, що m ≤ n. Тоді p=m-1, і двох ферзів різного кольору можна поставити

     4

способами, щоб вони били один одного. Розкривши  дужки і використовуючи формули  для суми натуральних чисел від 1 до m-1 і суми квадратів цих чисел, отримуємо, що число способів можна записати так:

     . При m ≥ n треба поміняти ролі m і n. У частинному випадку, якщо m=n, то отримуємо способів.

     Для тур легше підрахувати число  способів розміщення іншим чином. Білу туру можна поставити на будь-яке  із mn полів. Після цього вона тримає під прицілом m+n-2 полів, на будь-яке із яких її можна поставити чорну туру. Тому усього отримаємо mn(m+n-2) способів розміщення, при яких тури б’ють один одного.

     Так як ферзя можна розглядати як об’єднання тури і слона, то на m×n дошці при   m ≤ n можна

     m(m-1)(3n-m-1)+mn(m+n-2)

     Способами поставити двох ферзів так, щоб вони били один одного. При m=n це рівняння приймає вигляд

      m(m-1)(5m-1). 

     Щасливі тролейбусні квитки.

     Деякі люди вважають шести значні номери тролейбусних квитків «щасливими», якщо сума чисел, які знаходяться  на парних місцях, рівна сумі чисел, які знаходяться на непарних місцях. Наприклад, квиток 631752 вважається «щасливим», так як 6+1+5=3+7+2=12. Необхідно знайти число «щасливих» номерів від 000000 до 999999.

     Розв’язання.

     Для цього спочатку знайдемо, скільки  тризначних чисел має дану суму чисел  N (при цьому ми відносимо до тризначних і числа виду 075 і навіть 000). Ця задача має три доданки, сума рівна N, а доданки – від 0 до 9. Позначимо число її розв’язання через F (3, 9; N). Тоді має місце рекурентне співвідношення

     F(3, 9; N)=F(2, 9; N)+F(2, 9; N-1)+F(2, 9; N-2)+F(2, 9;N-3)+F(2, 9; N-4)+       +F(2, 9; N-5)+F(2, 9; N-6)+F(2, 9; N-7)+F(2, 9; N-8)+F(2, 9; N-9).

     Так само

     F(2, 9; N)=F(1, 9; N)+F(1,9; N-1)+…+F(1, 9; N-9).

     Зрозуміло, що F(1, 9; N)=1, якщо 0 ≤ N ≤ 9, і F(1, 9; N)=0 в іншому випадку. Користуючись цими співвідношеннями, ми легко заповнюємо наступну таблицю: 
 
 
 

     Щоб знайти тепер число «щасливих» квитків, потрібно піднести до квадрату числа  третього рядку і додати отримані результати. На справді, кожен «щасливий» квиток має одну й ту ж саму суму чисел, які стоять на парних і на непарних місцях. Нехай ця сума рівна  N. Число, яке знаходиться на N-му місці третього рядку нашої таблиці, показує, скільки тризначних чисел має суму чисел N. Іншими словами, воно показує, скількома способами можна обрати числа, які стоять на парних місцях (тобто другу, четверту і шосту). Стількома ж способами можна обрати числа на непарних місцях (першому, третьому і п’ятому). Так як ці вибірки не залежать один від одного, то по правилам творення «щасливих» номерів їх сумою чисел на парних місцях, рівної N, буде . А тоді по правилу суми загальне число «щасливих» номерів рівне

     2

     Підраховуючи  цю суму, отримаємо відповідь, 5525 
 
 

     Висновок. 

     В даній роботі я дослідила розв’язок  олімпіадних задач за допомого формул комбінаторики, а також дослідила деякі елементи комбінаторики та навела приклади розв’язування олімпіадних задач.

     Дана  робота спрямована на формування в учнів навичок самостійної пізнавальної діяльності і невіддільного від них стійкого інтересу до навчання на уроках математики.

     Значна  роль в успішному розв’язанні олімпіадних задач належить не тільки урокам, а й різним видам позакласних занять. Саме тому ефективною формою позакласних занять з математики є математичний гурток, своєрідний підсумок роботи якого являють собою математичні олімпіади різного рівня: шкільні, міські, районні, обласні, державні та міжнародні.

     Олімпіада – змагання, що стимулює потяг учнів  до самоосвіти, викликає поглиблений  інтерес до математики, настирливість, вміння долати труднощі, знайомить  дітей з навичками роботи з  довідковою та науково-популярною літературою.

     На  математичних олімпіадах пропонуються задачі, які мають виявити рівень математичної підготовки учнів, їхнє вміння логічно мислити, аналізувати, порівнювати, зіставляти, виконувати узагальнення. Саме такі задачі і представлені в даній курсовій роботі. 
 
 
 
 
 
 
 

     Список  використаних джерел та літератури. 

1. Виленкин  Н.Я. «Комбинаторика», - М., 1969. – с.328.
2. Гуленко Н. «Шкільна математична олімпіада»// Математика. – 2006. - № 36. – с. 17-23.
3. Маланюк М.П., Лукавецький В.І. «Олімпіади юних математиків».
4. Москаленко Ю.Д., Марченко В.О., Барболіна Н.М., Барболіна Т.М., Ляшенко Н.І. «Полтавські математичні олімпіади 1998 – 1999 навчального року», - Полтава, 1999, - с.28.
5. Математичні олімпіади // Коба В. Позакласна робота з математики в школі. – с. 133-163.
6. Математические олимпиады // Балк Б. Математик после уроков. – с.121-124.