Конечные поля

Министерство образования  и науки

ФГБОУ ВПО Нижегородский  государственный педагогический университет имени Козьмы Минина

Факультет математики, информатики  и физики

Кафедра алгебры и геометрии

 

 

 

 

Курсовая работа на тему:

«Конечные поля»

              

 

 

 

 

     курсовая работа

студентки II  курса 322 гр.

                                                                                    очной формы обучения

Лаптевой В.С.

                                                                                            Научный руководитель:

                                                                    Глуздов В.А.

 

 

 

 

Содержание

Стр.

Введение……………………………………………………………………....3

§ 1. Конечные расширения полей………………………………………….4

§ 2. Изоморфизм полей разложения……………………………………….8

§ 3. Конечные     поля……………………………………………………………………………13

§4. Подполя и автоморфизмы конечного поля…………………………………………………………………………....16

§5.Практическая часть…………………………………………………………………………...24

Заключение…………………………………………………………………..28

Список литературы………………………………………………………….29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Конечные поля стали изучаться  в начале XIX в. Этому предшествовали исследования выдающихся математиков XVII и XVIII в. Но бесспорные заслуги в формировании этого понятия принадлежат Гауссу и Галуа. Длительное время конечные поля изучались и находили применение только в алгебре и теории чисел, однако в последние десятилетия грани соприкосновения теории конечных полей с разными областями математики и ее прикладными разделами существенно расширились. Теория чисел, теория полей, теория групп, алгебраическая геометрия, комбинаторика, теория кодирования — вот далеко не полный перечень разделов математики, с которыми эта теория успешно взаимодействует.

В связи с вышеперечисленным  выбранная нами тема « Конечные поля» является очень актуальной  и интересной для курсового исследования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 1. Конечные расширения полей

Примитивные элементы и степени расширении. Если F — поле, содержащее подполе Р, то F называется также расширением поля Р [ВА I, гл. 4, § 3]. Мы ограничимся вначале простейшим случаем, когда расширение F = Р(θ) получено из поля Р присоединением (внутри заданного поля F) единственного элемента θ F. Говорят, что Р(θ) — простое расширение поля Р, а θ — примитивный элемент этого расширения. По своему смыслу Р(θ) — поле отношений целостного кольца Р [θ]. Элемент θ трансцендентен над Р тогда и только тогда, когда расширение Р(θ) изоморфно полю рациональных дробей. Если, однако, θ — алгебраический элемент, то Р(θ) P[X]/(f(X)) (гл. 4, § 1, теорема 2). Здесь f(X) — неприводимый многочлен степени п > 0, корнем которого является θ. Обратно: если f[X] — неприводимый многочлен, то, как мы знаем из гл. 4, каноническим образом строится поле F,в котором f обладает хотя бы одним корнем (назовём его θ). Из построения видно, что F отождествляется с множеством элементов вида

 

Для элементов кольца Р[θ] это очевидно (разделить ɡ(Х) на f(X) с остатком и подставить X = θ ); деление же в Р [θ] осуществляется так: если , то неприводимость f влечёт равенство НОД(f,ɡ)=1 и существование многочленов u(X),υ(X) степени

< n, для которых fu+ɡυ = 1; отсюда ɡ(θ)υ(θ) = 1 и 1 /ɡ(θ) = υ(θ).Число п можно считать размерностью векторного пространства над Р с базисными элементами 1,θ,…,.

В случае произвольного расширения F Р также целесообразно рассмотреть F как векторное пространство над Р. Его размерность dim_pF (возможно, бесконечную) мы обозначим через [F : Р] и назовём степенью расширения F над Р. Если F = Р(θ), то [F : Р] называется также степенью примитивного элемента. Понятно, что для трансцендентного элемента θ F семейство линейно независимо над Р и [P(θ):P ] = . С другой стороны, из сказанного выше вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть F — какое-то расширение поля Р. Элемент

θ F алгебраичен над Р тогда и только тогда, когда [Р(θ) : Р] <

. Кроме того, алгебраичностъ θ влечёт равенство Р(θ) = Р[θ].

Назовём К F Р двухэтажной башней расширений. Она позволяет говорить о трёх векторных пространствах: К/Р (К над Р), К/F (К над F) и F/P (F над Р). Их размерности связаны соотношением, аналогичным соотношению для индексов подгрупп.

Теорема 2. В башне расширений К F Р степень [К : Р] конечна тогда и только тогда, когда конечны степени [К : F] и

 [F : Р]. В случае их конечности справедливо соотношение

[К : Р]= [К : F][F : Р].

Доказательство. Предположив сначала конечность [К : F] и

[F : Р], выберем Р-базис f₁,…f_m в F/Р и Р-базис e₁,...,е_n в

К/F. Тогда любой элемент х К записывается в виде

. В свою очередь . Следовательно, , и мы видим, что тп элементов линейно порождают К над Р. Предположим наличие линейной зависимости при некоторых pij . Тогда

 

для всех i = 1,...,m; j=1,...,n, поскольку e_i,..., е_n линейно независимы над F, а f₁,..., f_m линейно независимы над Р. Стало быть, mn элементов составляют базис векторного пространства К/Р и [K:P]=nm = [K:F][F:P].

Обратно неравенство [К : Р] < влечёт конечность [F : Р], поскольку F/Р — подпространство пространства К/Р. Если (a₁,…,a_r) — Р - базис для К, то произвольный элемент х К будет линейной комбинацией a₁,…,a_r с коэффициентами в Р и тем более — с коэффициентами в F. Над F число линейно независимых элементов среди a₁,…,a_r может лишь уменьшиться. Таким образом, [К : F] < .

Следствие. Пусть F — расширение поля Р, А — множество всех тех элементов из F, которые алгебраичны над Р. Тогда А — подполе в F, содержащее Р.

Доказательство. Каждый элемент t Р является корнем линейного многочлена X — t Р[Х], так что Р А. Пусть, далее, и, υ А. Тогда по теореме 1 имеем [Р(и) : Р] < . Элемент υ, алгебраический над Р, будет алгебраическим и над Р(и), т.е.

[P(u,υ):P(u)] = [P(u)(υ):P(u)] ˂.

Согласно теореме 2

[P(u,υ):P] = [P(u,υ):P(u)][P(u):P]˂.

Так как и — υ, uυ Р(и,υ), то снова по теореме 1 имеем и — υ, uυ A, т.е. A — подкольцо в F. Оно является полем, поскольку

0 и А [Р(u^-1) : Р] = Р(и) :Р < .

Расширение F Р называется алгебраическим над Р, если все элементы из F алгебраичны над Р. Каждый элемент α алгебраического расширения является корнем некоторого отличного от нуля нормализованного (т. е. со старшим коэффициентом 1) многочлена f Р[Х], зависящего от α. Если f(α) = 0 и ɡ(α) 0 для любого 0 ɡ Р[Х] с deg ɡ < deg f, то f — f_α называется минимальным многочленом элемента α. Минимальный многочлен неприводим над Р , однозначно определён и его степень совпадает со степенью элемента α (часто многочлен, получающийся из минимального умножением на константу, также называется минимальным). Все различные корни многочлена f_α считаются сопряжёнными с α. Объяснение этой терминологии даёт ниже Теорема 3. Если char Р = 0, то число различных корней совпадает с deg f_α.

Расширение F Р конечной степени [F : Р] является конечным алгебраическим, т. е. оно получается из Р присоединением конечного числа алгебраических элементов α₁,...,α_m. Обратно: всякое конечное алгебраическое расширение F = P(α₁,...,α_m) имеет конечную степень. В самом деле, f_k(α_k) = 0, 1≤ к ≤ m, f_k Р[Х]. Элемент α_k алгебраический над Р, будет, естественно, алгебраическим и над P(α₁,...,α_k-1). Значит, [P(α₁,...,α_k):P(α₁,...,α_k-1)] < и в соответствии с теоремой 2

[F : Р]=[P(α₁,...,α_m):Р] = 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 2.  Изоморфизм полей разложения

  Все поля разложения над Р многочлена f изоморфны. Чтобы уточнить это высказывание, рассмотрим общую ситуацию. Согласно теореме 3 § 2, гл. 5(Пусть А и К произвольные коммутативные кольца, t ─ элемент из К и φ: АК─гомоморфизм, тогда существует, и притом единственное, продолжение φ до гомоморфизма φt: А[X] K кольца многочленов A[X] в К, переводящего переменную Х в t ) любое изоморфное отображение φполя Р на поле продолжается единственным образом до изоморфизма Р[X] на [Х], так что

f(X)

 

Теорема 3. Пусть φ: Р — изоморфизм полей; f Р[Х] — нормализованный многочлен степени п > 0, — его образ при изоморфизме ; F, — поля разложения многочленов f, над Р и над соответственно. Тогда φ продолжается до изоморфизма Ф : F   k ≤ [F : Р] способами, причём k = [F : Р], если все корни многочлена f(X) различны.

Доказательство. Этап I. Вначале рассмотрим случай произвольных расширений К Р, . Пусть θ К — алгебраический элемент с минимальным многочленом ɡ= ɡ_θ Р[Х]. Утверждается, что изоморфизм φ : Р   продолжается до мономорфизма ρ : Р(θ) в точности тогда, когда обладает корнем в К, причём число продолжений совпадает с числом различных корней многочлена в .

Действительно, из существования ρ следует, что элемент ρ (θ) должен быть корнем :

ɡ(θ)=0⇒ .

Обратно: если ɡ(ω) = 0, то Ker ɡ(Х)Р[Х], где : Р[Х] — гомоморфизм, определённый соответствием и(Х) . Как и в случае групп, индуцирует гомоморфизм

  : Р[Х]/ɡ(Х)Р[Х]

(и(Х) + ɡ(Х)Р[Х] если это не совсем ясно, то нужно снова обратиться к результатам гл. 4). Заметим, что ввиду неприводимоети ɡ(Х) факторкольцо Р[Х]/ɡ(Х)Р[Х] — поле, так что — мономорфизм. Точно таким же способом определяется изоморфизм полей

: Р[Х]/ɡ(Х)Р[Х] Р(θ) (и(Х) + ɡ(Х)Р[Х] и(θ)). Композиция ρ = о является мономорфным отображением Р(θ) в (ρ(и(θ)) = й(ω)). Так как Р(θ) порождается над Р элементом θ, то ρ — единственное продолжение φ, переводящее θ в ω. Это и означает, что число различных мономорфизмов ρ с ограничением ρ|p= φ равно числу различных корней многочлена

 (Х) в .

Этап II. Поле разложения строилось последовательным присоединением корней неприводимых многочленов. Используем далее индукцию по размерности [F : Р]. При [F : Р] = 1 многочлен f разлагается на линейные множители уже в Р[Х] : f(X) = (X — с₁) _… (X —с_n). В таком случае (X) = (φxf)(X) = (X —)... (X — ). Корни ,..., многочлена содержатся в ,а поскольку   порождается ими над , то = , так что Ф = φx— единственное продолжение.

      При [F : Р] > 1 разложим f(X) над Р на нормализованные неприводимые множители, среди которых должен быть хотя бы один многочлен степени т > 1. Обозначим его ɡ(Х). Так как

f(X) = ɡ(X)h(X) ⇒(X) = (φxf)(X)= (X) (X),

то над полями разложения F и , имеют место разложения многочленов

ɡ(Х) = (Х-θ₁)...(Х-θ_m),

 (Х) = (X – ω₁)... (X – ω_m), т≤п.

Ввиду неприводимости ɡ(Х) является минимальным многочленом элемента θ₁над Р и [Р(θ₁):Р]=m.

   Если среди ω₁... ,ω_m имеется l различных, то согласно этапу 1 найдётся l мономорфных отображений ρ₁,..., ρ_l расширения L = Р(θ₁) в с ограничением ρ_i|p=φ. Конструкция поля разложения такова, что F можно считать полем разложения над L многочлена f L[X],а можно считать полем разложения над ρ_i (L) многочлена (X) при любом i =1,2,…,l . По теореме 2 имеем неравенство

[F: L] = ,

так что по предположению индукции каждый из ρ_iможно продолжить до изоморфизма Ф_ij : F , причём число таких продолжений (число индексов j) не превосходит [F : L] и равно этой верхней границе, если все корни в многочлена различны. Так как

Ф_ij |L= ρ_i 1≤ j ≤ [F: L] ,   ρ_i|p=φ,

то Ф_i,j – продолжение φ, причём ρ_i ρ_s = Ф_i,j Ф_s,t  при is.

Стало быть, всего получается k ≤ m[F : L] = [ F : Р] продолжений изоморфизма φ. Это неравенство переходит в равенство, если все корни многочлена различны.

Этап III. Пусть, наконец, Ф : F — произвольное продолжение изоморфизма φ. Как и в этапе II, ограничение Ф | _L, будучи мономорфным отображением L в  , совпадает с одним из ρ_i,а в таком случае Ф совпадает с одним из Ф_i,j.

Следствие 1. Любые два поля разложения F, над Р многочлена

f  Р[Х] изоморфны.

Действительно, достаточно положить = Р в теореме 3 и взять за φ единичное отображение поля Р на себя.

Следствие 2. Группа автоморфизмов Aut F/Р любого поля разложения F над Р многочлена f    Р[Х] конечна и имеет порядок

≤ [F : Р]. Если все корни многочлена f(X) различны, то |Aut F/Р| = [F : Р].

Доказательство непосредственно следует из теоремы 3.

Замечание. Хотя поле разложения F над Q (или над любым другим числовым полем) многочлена f    Q[Х] можно считать вложенным в поле С комплексных чисел и тем самым однозначно определённым, следствие 2 показывает, что и в этом случае имело смысл разобрать доказательство теоремы 3.

Расширение /Р называется алгебраическим замыканием поля Р, если оно алгебраично и поле алгебраически замкнуто. Сравнительно нетрудно доказать, что всякое поле Р обладает алгебраически замкнутым расширением, однозначно определённым с точностью до Р-изоморфизма. Любое алгебраическое расширение F/Р можно вложить ≤ [F : Р] способами в алгебраическое замыкание поля Р.

1. Существование примитивного элемента. Многочлен из Р[Х] называется сепарабельным, если его неприводимые множители имеют различные корни. Поле Р называется совершенным, коль скоро каждый многочлен f    P[Х] сепарабельный. Понятно, что любое поле Р нулевой характеристики будет совершенным. С другой стороны, верна

Теорема 4. Пусть Р — поле характеристики р > 0. Тогда Р будет совершенным в точности при Р = Р^р (множество р-х степеней всех элементов из Р).

Доказательство. Если P ^р и а Р \ P ^р, то многочлен X ^р — а неприводим (см. ниже упр. 4). Кроме того, (X ^р — а)^’ = рХ ^p-1 = 0, так что