Автор работы: Пользователь скрыл имя, 02 Июля 2013 в 15:52, курсовая работа
В работе были рассмотрены следующие теоремы и определения: "конечные расширения полей; изоморфизм полей разложения; существование примитивного элемента; конечные поля; подполя и автоморфизмы конечного поля; формула обращения Мёбиуса" и самостоятельно решены следующие задачи: " на применение формулы Мёбиуса; конечные расширения полей ".
Введение……………………………………………………………………....3
§ 1. Конечные расширения полей………………………………………….4
§ 2. Изоморфизм полей разложения……………………………………….8
§ 3. Конечные поля……………………………………………………………………………13
§4. Подполя и автоморфизмы конечного поля…………………………………………………………………………....16
§5.Практическая часть…………………………………………………………………………...24
Заключение…………………………………………………………………..28
Список литературы………………………………………………………….29
X р — а — несепарабельный многочлен, а значит, Р — несовершенное поле.
Обратно: предположим, что f(X) — несепарабельный неприводимый многочлен в Р[X], т.е. НОД(f, f')1. Тогда f(X) =a0+aрХР + a2рХ2р + . . . Если ai = для любого i ,то f(X) = (b0 + biX + b2Х2 + …)р — противоречие с неприводимостью f(X). Следовательно, ai Рр для некоторого i , а поэтому Рр Р.
Конечное алгебраическое расширение F Р, получающееся присоединением к Р конечного числа сепарабельных элементов (корней неприводимых сепарабельных многочленов), называется сепарабельным расширением. Если не привлекать к рассмотрению алгебраические замыкания поля Р, то можно ограничиться полями алгебраических чисел, вложенными по определению в ℂ.
Теорема 5. Пусть F — конечное расширение поля Р. Примитивный элемент θ F (когда F = Р(θ)) существует в точности тогда, когда число промежуточных полей Е (F Е Р) конечно. Если F сепарабельно над Р, то примитивный элемент в существует.
Доказательство. Для конечного поля Р всё ясно, поскольку
F*=, и θ будет примитивным элементом. Считаем Р бесконечным.
Предположим сначала, что число промежуточных полей конечно. Пусть α, β F. Заставив с пробегать по элементам из Р, мы получим по условию лишь конечное число полей типа Р(α+cβ). Следовательно, найдутся
c1,c2 Р, с1 c2, такие, что
Е :=P(α+c1 β )= P(α+c2β).
Заметим, что
α + c1 β, α + c2 β E⇒(c1 – c2) β Е ⇒ β E ⇒ α Е,
т.е. Р(α , β)= Е = Р(α + c1 β). Действуя по индукции, приходим к выводу, что если F = P (α1,..., αn), то найдутся c2,..., cn Р, для которых
F = Р(θ), θ = α1 + c2 α2 + ... + сп αn.
Это доказывает половину первого утверждения.
Обратно: предположим, что F = Р(θ) для некоторого θ и f = fθ(X) — минимальный многочлен для θ. Пусть Р Е F, и пусть ɡE,θ — минимальный многочлен для θ над Е. Очевидно, ɡE,θ делит fθ. Но F[X] — факториальное кольцо; любой нормализованный многочлен из F[X]делящий f (X), равен произведению некоторого числа множителей
X — αi, где α1,.., αn<span
class="dash041e_0441_043d_