Контрольна робота з «Математичне моделювання технологічних процесів»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольна  робота

з дисципліни

«Математичне  моделювання технологічних процесів»

Варіант № 10

 

 

 

 

Виконав: студент

 

 

 

 

 

 

___________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КИЇВ 2013р.

 

Таблиця 2 питання 10

Опишіть значення понять “модель”, ”математична модель”. Перелічіть основні типи математичних моделей і коротко їх охарактеризуйте.

 

Останніми роками поняття  «модель» використовується широко і  різноманітно в самих різних напрямках  науки, техніки, природознавства, в  гуманітарних областях знання, в мистецтві  і літературі. Слово модель походить від  латинського слова modulus   - міра, зразок    Це слово має   багато значень і смислових відтінків.

Наприклад, таке   смислове значення моделі як зразок, взірець, використовуваний як еталон реальних об’єктів чи їх якостей (промислові зразки, зразки одягу, напр.., захисного, засобів індивідуального захисту, топ-моделі, як взірець краси тощо),

а  друге смислове значення слова «модель» це будь-який образ (уявний або умовний: копія, зображення, опис, схема, креслення, графік, план, карта і т. ін.) будь-якого об'єкта, процесу або явища ("оригіналу" даної моделі), використовуваний у якості його "замінника", "заступника", "представника".

Скульптура, креслення  машини, схема приймача, іграшка  – автомобіль, літак, все це моделі.

Якщо узяти для розгляду принципову схему, блок-схему, монтажну схему електронного комутатора системи запалення, то слід зазначити, що всі вони є моделями цього пристрою, проте їх особливість у тому, що вони далекі від реального об'єкту, щоб бути зразком. Але вони дають можливість уявити, які блоки (електричні вузли) повинні входити в нього, вибрати і розрахувати компоненти схеми, провести монтаж елементів, зробити необхідні електричні з'єднання. На основі електричної схеми можна розробити моделі іншого типу, наприклад, математичного і на цій  основі розробити алгоритми і програми контролю і пошуку несправностей, а також оптимізувати розрахунки принципової схеми.    Таким чином, моделі відображають різні сторони об'єкту, вони простіше і повинні відповідати необхідним конкретним вимогам. Моделі складних систем і явищ можуть потребувати  великих витрат на їх створіння, але ще більших витрат може бути потрібно для виготовлення  експериментальних зразків для натурних випробувань. В деяких випадках створення об'єкту неможливе без проведення досліджень на моделях (космонавтика, ядерна енергетика і ін.). Навіть на неможливість точно  врахувати все різноманіття взаємодіючих чинників в системі,  моделі можуть бути створені та використані  для вирішення задач вивчення, оптимізації, управління системами.

Ураховуючи сказане  можна зробити такі висновки:

- модель – це відображення реальних об’єктів, процесів, явищ , яке призначене для використання у якості їх замінника.

- модель завжди імітує  об'єкт моделювання і вона не  обов’язково     повинна абсолютно повно відображати об’єкт вивчення.

В наукових дослідженнях можуть використовуватись моделі створені різними засобами. Як що при цьому  використані засоби математичної науки, то таку модель називають математичною моделлю (ММ).

В цьому випадку опис об'єкту, що вивчається, виконується на формальній мові, тобто за допомогою чисел, рівнянь різного вигляду (лінійних, нелінійних, кінцевих, диференціальних, інтегральних, комплексних і інших) або нерівностей або логічних відносин.

Для опису математичних моделей можуть застосовуватись: словесний опис, математичні вирази та символіка, креслення та графічні елементи, графічні залежності, таблиці та номограми, алгоритми або/чи логічні блок-схеми з зазначенням порядку дій для випадків виникнення різноманітних ситуацій, тощо.

Таким чином математична  модель - це приблизний опис якого-небудь явища, процесу чи об'єкта який підлягає вивченню, виражений за допомогою сукупності математичних засобів, які відображають основні та необхідні якості об'єкта моделювання та середовища, або умов, в яких він знаходиться. І остаточно, поняття (ММ) можна сформулювати таким чином.

Математична модель (ММ) – це приблизний опис будь-якого об’єкта, процесу чи явища, виражений за допомогою сукупності математичних засобів, який відображає основні та необхідні властивості об'єкта моделювання і середовища, або умов, в яких він знаходиться.

 

За типом змінних, які  входять в опис моделі, їх поділяють  на три класи:

- детерміновані;

- не детерміновані ( імовірності або стохастичні);

 

Детерміновані - це такі моделі, в яких залежності між окремими елементами моделі представлені відомими характеристиками. Змінні, які в них входять, піддаються (хоча б теоретично) точному вимірюванню та контролю і називаються детермінованими змінними.

Модель, яка базується  на детермінованих змінних часто, але  не завжди, вимагає застосування звичайного математичного аналізу.

Називатимемо систему  детермінованою або системою з детермінованим станом, якщо у будь-який момент часу k можна однозначно визначити її новий стан у момент k+1. Цю умову можна записати у вигляді

                                       X(k + 1) = d(х(k), u(k))

Де функція d називається  перехідною  функцією стану а  U і X векторні простори, тоді коли d лінійна  при:  X*U > X: ( х, u ) > d ( х, u ) матиме вигляд

d(х, u) = A*х +B*u. Аналогічна  залежність існує при не лінійності  функції. Приклад детермінованої  моделі – математичні формули  коливання маятника, обертання землі  та планет і ін.

,

Де А – амплітуда  коливань, t - час T – період, φ – початкова фаза

Недетерміновані (імовірності або стохастичні); (стохастичний -  грецький stochastіcos - вміючий відгадувати).

Існують також системи, в яких зовні залежності від, того, наскільки повно визначені стани  і наскільки точно відоме значення вхідних сигналів, не можна точно визначити подальші стани. Це так звані недетерміновані системи перехідна функція, яких може бути записана у вигляді d: X*U >2^х   

де d (х, u )    X - безліч можливих станів, в які система  переходить під впливом  вхідної дії. В динаміці перехідна функція має вид d: Х*U>ХР і описуються безліччю розподілів вірогідності ХР на Х .                                  

Таким чином це такі моделі, в яких характеристики функціонування окремих її елементів або вхідні чи вихідні параметри є випадковими величинами, тобто описуються законами розподілу випадкових величин. Модель, яка містить стохастичні змінні, вимагає застосування теорії ймовірностей і статистики.

Результати функціонування такої моделі можна прогнозувати тільки у імовірнісному вигляді. Результат подається як середнє значення (математичне сподівання) із зазначенням середньоквадратичного відхилення, довірчого інтервалу тощо або задається законом розподілу випадкових величин.

 

Таблиця 3 питання 1

Напишіть основні математичні вирази для моделювання процесу, що носить випадковий характер, якщо відомо, що змінна цього процесу описується нормальним законом розподілу випадкових величин і відомі середні та максимально можливі її значення. Наведіть алгоритм реалізації цих виразів на ПЕОМ.

 

Загальні  положення

На відміну від рівномірного закону розподілу випадкових величин, де усі можливі значення рівномірно розсіяні у заданому діапазоні, нормальний закон розподілу має ряд особливостей. Основні з них:

1.1  Площа під кривою розподілу дорівнює одиниці.

1.2  Точки перегину кривої віддалені від математичного сподівання на відстані ±σ.

1.3  98% від усіх можливих значень випадкової величини знаходяться в діапазоні ±3σ (правило трьох «сигм»).

 

Рис.  1.  Основні властивості нормального закону розподілу випадкових величин

Для одержання математичної моделі будь-якого процесу, що носить випадковий характер, і підпорядковується  нормальному закону розподілу випадкових величин, на практиці можна застосувати наступний наближений вираз:

, (1)

де   - псевдовипадкове число, яке розподілене за нормальним законом розподілу;

 - i-те псевдовипадкове число, яке розподілене за рівномірним законом розподілу;

 - кількість псевдовипадкових чисел, розподілених за рівномірним законом розподілу; від значення n залежить крутизна кривої нормального закону розподілу; для отримання нормального закону розподілу значення n приймають в діапазоні 10÷15.

Із виразу (1) очевидно, що найпростіше буде прийняти значення n=12. У такому випадку вираз (1) прийме наступний вигляд:

 (2)

Таким чином, для того, щоб за виразом (2) одержати одне псевдовипадкове  число, що підпорядковується нормальному закону розподілу випадкових величин, достатньо отримати дванадцять псевдовипадкових чисел, які підпорядковуються рівномірному закону розподілу в діапазоні від 0 до 1, знайти їх суму, і від суми необхідно відняти 6.

Проаналізуємо вираз (2) для того, щоб оцінити діапазон можливих значень одержуваних за цим виразом випадкових чисел. Якщо дванадцять раз підряд отримаємо псевдовипадкові числа, дуже близькі до 0, то мінімальне значення становитиме -6. Якщо дванадцять раз підряд отримаємо псевдовипадкові числа, дуже близькі до 1, то максимальне значення становитиме +6. Математичне сподівання одержуваних за виразом (2) псевдовипадкових чисел становитиме 0, а значення σ становитиме ±1.

 

 

Рис.  2.  Основні характеристики нормального закону розподілу випадкових величин, які моделюються за виразом (2)

Для практичного застосування необхідно  отримане значення випадкового числа  помножити на фактичне задане чи визначене  значення σ та отриманий результат додати до математичного сподівання.

Якщо необхідно розробити математичну  модель добових пробігів транспортних засобів автотранспортного підприємства (АТП), коли відомо чи задано, що значення добових пробігів є величинами випадковими, які підпорядковуються нормальному  закону розподілу випадкових величин, та відомі або задані значення середньодобового пробігу по АТП (математичне сподівання випадкової величини) та значення середньоквадратичного (стандартного) відхилення фактичних значень пробігів від середньодобового, то основа математичної моделі буде наступною:

, (3)

де   - змодельоване значення добового пробігу;

 - середньодобовий пробіг транспортних засобів по АТП;

 - середньоквадратичне (стандартне) відхилення фактичних значень пробігів від середньодобового;

Якщо значення σ не задане, чи невідоме – його можна приблизно визначити за «правилом трьох сігм». Наприклад, значення середньодобового пробігу становить 120 км. Значення максимальних добових пробігів становлять приблизно 180 км. Виходячи з «правила трьох сігм», приблизне значення σ становитиме . У такому разі приблизно 1% від усіх змодельованих значень добових пробігів можуть попасти в діапазон від 180 км до 240 км.

 

Рис.  4.  Приблизне визначення σ, виходячи із «правила трьох сігм»

Можливі випадки, коли задане чи приблизно визначене σ приймає значення, при якому 6∙σ ≥ m_a (більше від математичного сподівання). У таких випадках змодельоване значення добового пробігу може бути близьким до 0 або навіть і приймати від’ємні значення. У таких випадках у програмі моделювання можна задати умову ігнорування таких значень, або приймати, що пробіг дорівнює 0 – тобто, автомобіль на лінію не виїжджав.

Для моделювання значень  добових пробігів, необхідно для  кожного транспортного засобу знайти суму дванадцяти псевдовипадкових чисел, кожне з яких отримують за допомогою  функції-генератора псевдовипадкових чисел RND(1), відняти від результату 6 та помножити на задане значення середньоквадратичного (стандартного) відхилення. В результаті цього отримаємо значення відхилення добового пробігу конкретного автомобіля від значення середньодобового, яке може бути як позитивним, так і негативним. Це значення необхідно додати чи відняти (в залежності від його знаку) до значення середньодобового пробігу по АТП.

Для виконання роботи необхідно будь-яка універсальна мова програмування.

Запустити виконуваний  модуль Basic. За необхідності перейти у режим безпосереднього виконання операторів. Для QB – це нижнє вікно, у яке можна перейти за допомогою миші або функціональної клавіші «F6»; для Gwbasic – достатньо набирати оператор без зазначення номера рядка. Виконати у цьому режимі послідовно декілька разів оператор PRINT RND(1).

В залежності від персонального  комп’ютера та від версії програмного  забезпечення будемо отримувати на моніторі послідовність псевдовипадкових чисел. Напр.:

0,1213501

0,651861

0,8688611

0,7297625

0,798853

0,07369807

0,4903128

0,4545189

0,1072469

0,9505102

…

Таким чином, отримуємо  послідовність псевдовипадкових чисел  від 0 до 1, виключаючи значення 0,0 та 1,0.