Контрольная работа по "Финансовой математике"

1. На какой срок должен быть выпущен сберегательный сертификат номиналом 235 руб., если сумма погашения при 12% годовых составляет 305 руб.? Год невисокосный

 

Дано: , , ,

Найти:

 

Решение

Сумму погашения  можно представить в виде двух слагаемых: номинала и суммы процентов :

,

где

где  - срок ссуды в долях года;

  - число дней в году (временная база);

   - срок операции в днях.

   - годовая процентная ставка

Тогда

Откуда

 дней

 

Ответ: 906 дней

 

 

2. По сертификату, выданному на 120 дней начисляется дисконт в размере 17% от суммы погашения. Год невисокосный. Определить учетную и процентную ставку.

 

Дано: , .

Найти , - ?

 

Решение

Простая годовая учетная ставка находится по формуле:

,

где  - первоначальная сумма;

- сумма погашения;

- срок ссуды в долях года;

- число дней в году (временная  база);

  - срок операции в днях.

или 51,7%

Определим процентную ставку

 

Из равенства выражений  имеем

,

откуда

 или 77,0%

Ответ: учетная ставка-51,7%, процентная-77,0%

 

3. Предприятие на условиях потребительского кредита продало товар с оформлением простого векселя, номинальная стоимость которого 0,75 тыс. руб., срок векселя – 54 дня, ставка процента за предоставленный кредит – 7% годовых. Через 15 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке, предложенная банком дисконтная ставка составляет:
1. 5%
2. 11%

Рассчитать суммы, получаемые предприятием и банком.

 

Решение

Определим будущую стоимость  векселя к погашению:

где  - первоначальная сумма ссуды;

  - общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты ( ; дней);

  - годовая ставка процента;

руб.

При учете векселя банк выплатит фирме (векселедержателю) сумму:

где  - сумма, получаемая при учете обязательства

  - срок от момента учета  до погашения долга ( ; дней);

- учетная ставка.

а) При :

 руб.

При погашении векселя банк реализует  дисконт

 руб.

б) При  :

 руб.

При погашении векселя  банк реализует дисконт

 руб.

 

 

 

 

4. В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 600 тыс. руб. через 45 дней. Первоначальная сумма долга – 120 тыс. руб. Определить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой ставки процента и учетной ставки ( ).

 

Дано: , , ,

Найти: , - ?

 

Решение:

,

где

- наращенная сумма (сумма  погашения обязательства);

- первоначальная сумма;

- сумма процентов.

где  - срок ссуды в долях года;

  - число дней в году (временная база);

   - срок операции в днях. 

- годовая ставка процента

Тогда

Отсюда годовая ставка процента:

 или 3200%

Простая годовая учетная  ставка находится по формуле:

 или 640 %

 

Ответ: i-3200 %, d-640%

 

5. По муниципальной облигации номиналом 50 тыс. руб., выпущенной на 4 года, предусматривается следующий порядок начисления процентов: первый год – 15%, в каждом последующем квартале ставка повышается на 0,3%.

Необходимо:

1. определить наращенную стоимость облигации по простой и сложной процентной и учетной ставкам;
2. составить план наращения первоначальной стоимости по простым и сложным процентам;
3. построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам на базе процентной и учетной ставок.

 

Решение

Наращенная стоимость  облигации по простой процентной ставке

где  , , … - ставка процентов в периоде с номером , ;

   - продолжительность периода начисления по ставке

руб.

Наращенная стоимость облигации по сложной процентной ставке:

 руб.

Ответ: S по простой процентной ставке - 109250 руб., S по сложной процентной ставке – 154465,73 руб.

 

Рассчитать эффективную годовую  процентную ставку при различной  частоте начисления процентов, если номинальная ставка равна 18%.

 

Дано: 

 

Если проценты начисляются по сложной ставке раз в год, каждый раз со ставкой , то можно записать равенство для множителей наращения:

  ,

где  - эффективная ставка;

- номинальная ставка.

Отсюда

	1	2	4	12	365
	0,1800	0,1881	0,1925	0,1956	0,1972

 

При , при различных частотах начисления процентов

 

 

6. Вексель выдан на сумму 175 руб. с уплатой 16.10. Векселедержатель учел вексель в банке 19.07 по ставке 8%. Требуется определить сумму, полученную векселедержателем и размер дисконта в пользу банка.

 

Дано: ,

Найти: , - ?

 

Решение

Принимаем K=360.

Посчитаем количество дней до погашения  векселя. По таблице порядковых номеров дней в году,  определяем, что 16.10 – это 289 день в году, а 19.07 – 200 день. Следовательно, количество дней до погашения:

Сумма, полученная владельцем векселя, определяется по формуле:

- сумма погашения;

- срок ссуды в долях года;

- сумма дисконта;

- учетная ставка.

Тогда сумма, полученная векселедержателем равна

 руб.

Размер дисконта в  пользу банка

 руб.

 

Ответ: P- 171,54 руб.,D- 3,46 руб.

 

 

 

7. Найти размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, если при разработке условий контракта была установлена договоренность о доходности кредита в 28% годовых.

 

Дано:

Найти:

 

Решение

Начисление процентов  по номинальной ставке производится по формуле:

где   - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- годовая ставка процентов;

- число периодов начисления  в году;

- общее число периодов начисления ( , где - число лет начисления)

Отсюда:

 или  24,94%

 

Ответ:j- 24,94%

 

 

8. Найти величину учетной ставки, эквивалентной годовой процентной ставке 9% при условии, что срок учета равен 240 дней; 3 года.

 

Дано: , ,

Найти: ,

 

Решение:

Наращенная сумма определяется по формулам

 

где  - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- годовая процентная ставка;

- учетная ставка процента

- срок наращения.

Из равенства выражений имеем

,

откуда

 

Тогда

 или 9,6%

 или 12,3%

 

Ответ: ,

 

9. Депозитный сертификат номиналом 100 руб. выдан 5 мая с погашением 7 ноября под 25% годовых.

Определить сумму начисленных  процентов и сумму погашения  долгового обязательства (3-мя способами).

 

Сумму погашения  можно представить в виде двух слагаемых: номинала и суммы процентов :

,

где

где  - срок ссуды в долях года;

  - число дней в году (временная база);

   - срок операции в днях.

Рассмотрим различные  варианты расчета:

1. Точные проценты с точным числом дней депозита

Точное количество дней определим по таблице порядковых номеров дней в году:  5 мая –  это 125 день в году, а 7 ноября – 311 день. Следовательно, точное количество дней: дней

Временная база дней

 руб.

 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней депозита

Точное количество дней  , временная база дней

 руб.

 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней депозита

Найдем приближенно число дней, считая что в мае по ноябрь содержится по 30 дней:

5 мес. · 30 дн. + (30 дн. – 5 дн.) + 7 дн. = 182 дн.

Временная база дней

 руб.

 руб.

 

 

 

 

 

 

10.  Вексель с обязательством 15 тыс. руб. учитывается банком за 3 месяца до погашения с дисконтом 3 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента.

 

Дано: , ,

Найти:

 

Решение

Простая годовая учетная  ставка находится по формуле:

где  - наращенная сумма;

- первоначальная сумма;

- учетная ставка процента

- период времени от момента  учета векселя до даты его  погашения в годах.

 или 66,7%

Годовая процентная ставка находится из равенства следующих соотношений

 

Отсюда:

,  

 или 80%

Ответ: i-80%

 

11. Облигация номиналом 80 тыс. руб. под 6,5% годовых погашается по тройному номиналу. На какой срок размещается займ при условии наращения по процентной ставке?

 

Дано: , ,

Найти: -? 

 

Решение

 день

Ответ: t-11231 день

 

 

 

 

12.  Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 10 млн. руб. определить наращение суммы вклада через 3 года, если проценты начисляю ежеквартально из расчета 17% годовых.