Контрольная работа по "Линейной алгебре"

Коэффициенты уравнения 1 разделим на -1.

x1

-

4/5

x3

+

6/5

x4

-

3/5

x5

=

9/5

x2

-

34/5

x3

+

31/5

x4

+

7/5

x5

=

19/5

1     0   - 4     5   6     5 - 3     5   9     5   0     1   - 34     5   31     5   7     5   19     5

Ответ :

x1

=

4/5

x3

-

6/5

x4

+

3/5

x5

+

9/5

x2

=

34/5

x3

-

31/5

x4

-

7/5

x5

+

19/5

x3 x4 x5 - свободные переменные

Система имеет бесконечное множество решений. Запишем ответ в десятичных дробях :     x1 =   0.8 x3 - 1.2 x4 + 0.6 x5 + 1.8       x2 =   6.8 x3 - 6.2 x4 - 1.4 x5 + 3.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 6. Найти  два опорных решения канонической системы уравнений.

2х₁ + 7х₃ + х₄ = 4

3х₁ - х₂ + х₅ = 7

-3х₁ + 8х₂ + х₃ = 9

Запишем систему в виде:

2	0	7	4	0	4
3	1	0	0	1	7
3	8	1	0	0	9

 

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который  лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен (2).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом  столбце  записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в  вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

РЭ - разрешающий элемент (2), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ  и РЭ.

Представим расчет каждого  элемента в виде таблицы:

 

x1	x2	x3	x4	x5	B
2 / 2 = 1	0 / 2 = 0	7 / 2 = 3.5	4 / 2 = 2	0 / 2 = 0	4 / 2 = 2

 

1	0	3.5	2	0	2
0	1	-10.5	-6	1	1
0	8	-9.5	-6	0	3

Разрешающий элемент равен (1).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом  столбце  записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в  вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого  элемента в виде таблицы:

 

x1	x2	x3	x4	x5	B
0 / 1 = 0	1 / 1 = 1	-10.5 / 1 = -10.5	-6 / 1 = -6	1 / 1 = 1	1 / 1 = 1

 

1	0	3.5	2	0	2
0	1	-10.5	-6	1	1
0	0	74.5	42	-8	-5

Разрешающий элемент равен (74.5).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом  столбце  записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в  вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.Представим расчет каждого элемента в виде таблицы

x1	x2	x3	x4	x5	B
0 / 74.5 = 0	0 / 74.5 = 0	74.5 / 74.5 = 1	42 / 74.5 = 0.56	-8 / 74.5 = -0.11	-5 / 74.5 = -0.0671

 

1	0	0	0.0268	0.38	2.23
0	1	0	-0.0805	-0.13	0.3
0	0	1	0.56	-0.11	-0.0671

Теперь исходную систему  можно записать как:

x₁ = 2.23 - 0.0268x₄ + 0.38x₅

x₂ = 0.3 + 0.0805x₄ - 0.13x₅

x₃ = -0.0671 - 0.56x₄ - 0.11x₅

Необходимо переменные x₄,x₅  принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.

Приравняем переменные x₄,x₅  к 0

x₁ = 2.23

x₂ = 0.3

x₃ = -0.0671

Ответ: Среди базисных переменных есть отрицательные значения. Следовательно, данное решение не опорное.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 7. Найти  собственные значения и собственные  векторы данной матрицы.

        3  4  0

А =  4  2  4

        0  1  3

Исходная матрица имеет  вид:

 

Составляем систему для  определения координат собственных  векторов:

(3 - λ)x₁ + 4x₂ + 0x₃ = 0

4x₁ + (2 - λ)x₂ + 4x₃ = 0

0x₁ + 1x₂ + (3 - λ)x₃ = 0

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

 

- λ³ + 8λ² - λ - 42 = 0

Один из корней уравнения  равен λ₁ = -2

Тогда характеристическое уравнение  можно записать как (λ + 2)( - λ² + 10λ - 21)=0.

- λ² +10 λ - 21 = 0

D = 10² - 4 • (-1) • (-21) = 16

 

 

Рассмотрим пример нахождения собственного вектора для λ₁.

Составляем систему для  определения координат собственных  векторов:

Подставляя λ = -2 в систему, имеем:

5x₁ + 4x₂ + 0x₃ = 0

4x₁ + 4x₂ + 4x₃ = 0

0x₁ + 1x₂ + 5x₃ = 0

Решим систему методом  Гаууса.

Перепишем систему уравнений  в матричном виде и решим его  методом Гаусса

	5	4	0	0
	4	4	4	0
	0	1	5	0

 

1-ую строку делим на 5

	1	0.8	0	0
	4	4	4	0
	0	1	5	0